1. Systèmes de numération
1.1 Le système décimal (base 10)
Le système décimal utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Chaque position représente une puissance de 10.
Exemple : décomposition de 3725
3725 = 3 x 10^3 + 7 x 10^2 + 2 x 10^1 + 5 x 10^0
= 3 x 1000 + 7 x 100 + 2 x 10 + 5 x 1
= 3000 + 700 + 20 + 5
= 3725
1.2 Le système binaire (base 2)
Le système binaire utilise 2 chiffres : 0 et 1. Chaque chiffre binaire s'appelle un bit (binary digit).
Chaque position représente une puissance de 2.
Table des puissances de 2 (à connaître par coeur) :
| Puissance | 2^0 | 2^1 | 2^2 | 2^3 | 2^4 | 2^5 | 2^6 | 2^7 | 2^8 | 2^9 | 2^10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Exemple : décomposition de 1011 0110 en base 2
Position : 7 6 5 4 3 2 1 0
Bits : 1 0 1 1 0 1 1 0
Puissance : 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0
Valeur : 128 64 32 16 8 4 2 1
1.3 Le système octal (base 8)
Le système octal utilise 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Chaque position représente une puissance de 8.
Table des puissances de 8 :
| Puissance | 8^0 | 8^1 | 8^2 | 8^3 | 8^4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valeur | 1 | 8 | 64 | 512 | 4096 |
1.4 Le système hexadécimal (base 16)
Le système hexadécimal utilise 16 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Correspondance des lettres :
| Hexadécimal | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Décimal | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Table des puissances de 16 :
| Puissance | 16^0 | 16^1 | 16^2 | 16^3 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur | 1 | 16 | 256 | 4096 |
2. Conversions entre bases
2.1 Décimal vers binaire (divisions successives par 2)
Méthode : On divise le nombre par 2 de manière répétée. On note le reste à chaque division. Le résultat binaire se lit de bas en haut (du dernier quotient au premier reste).
Exemple : convertir 156 en binaire
156 / 2 = 78 reste 0
78 / 2 = 39 reste 0
39 / 2 = 19 reste 1
19 / 2 = 9 reste 1
9 / 2 = 4 reste 1
4 / 2 = 2 reste 0
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
Lecture de bas en haut : 156 = 1001 1100 en binaire
Vérification :
1x128 + 0x64 + 0x32 + 1x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0
= 156 (correct)
Exemple : convertir 237 en binaire
237 / 2 = 118 reste 1
118 / 2 = 59 reste 0
59 / 2 = 29 reste 1
29 / 2 = 14 reste 1
14 / 2 = 7 reste 0
7 / 2 = 3 reste 1
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
Lecture de bas en haut : 237 = 1110 1101 en binaire
Vérification :
1x128 + 1x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1
= 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 237 (correct)
2.2 Binaire vers décimal (somme des puissances de 2)
Méthode : On multiplie chaque bit par la puissance de 2 correspondant à sa position (en partant de 0 à droite), puis on additionne le tout.
Exemple : convertir 1101 0011 en décimal
Position : 7 6 5 4 3 2 1 0
Bits : 1 1 0 1 0 0 1 1
Calcul :
1 x 2^7 = 1 x 128 = 128
1 x 2^6 = 1 x 64 = 64
0 x 2^5 = 0 x 32 = 0
1 x 2^4 = 1 x 16 = 16
0 x 2^3 = 0 x 8 = 0
0 x 2^2 = 0 x 4 = 0
1 x 2^1 = 1 x 2 = 2
1 x 2^0 = 1 x 1 = 1
Total = 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 211
1101 0011 en binaire = 211 en décimal
Exemple : convertir 1010 1010 en décimal
Position : 7 6 5 4 3 2 1 0
Bits : 1 0 1 0 1 0 1 0
Calcul :
1 x 128 = 128
0 x 64 = 0
1 x 32 = 32
0 x 16 = 0
1 x 8 = 8
0 x 4 = 0
1 x 2 = 2
0 x 1 = 0
Total = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 170
1010 1010 en binaire = 170 en décimal
2.3 Décimal vers hexadécimal (divisions successives par 16)
Méthode : On divise le nombre par 16 de manière répétée. On note le reste (en le convertissant en lettre si besoin). Le résultat se lit de bas en haut.
Exemple : convertir 750 en hexadécimal
750 / 16 = 46 reste 14 (14 = E)
46 / 16 = 2 reste 14 (14 = E)
2 / 16 = 0 reste 2 (2 = 2)
Lecture de bas en haut : 750 = 2EE en hexadécimal
Vérification :
2 x 16^2 + E x 16^1 + E x 16^0
= 2 x 256 + 14 x 16 + 14 x 1
= 512 + 224 + 14
= 750 (correct)
Exemple : convertir 43981 en hexadécimal
43981 / 16 = 2748 reste 13 (13 = D)
2748 / 16 = 171 reste 12 (12 = C)
171 / 16 = 10 reste 11 (11 = B)
10 / 16 = 0 reste 10 (10 = A)
Lecture de bas en haut : 43981 = ABCD en hexadécimal
Vérification :
A x 16^3 + B x 16^2 + C x 16^1 + D x 16^0
= 10 x 4096 + 11 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1
= 40960 + 2816 + 192 + 13
= 43981 (correct)
2.4 Hexadécimal vers décimal (somme des puissances de 16)
Méthode : On multiplie chaque chiffre hexadécimal par la puissance de 16 correspondant à sa position.
Exemple : convertir 1F4 en décimal
Position : 2 1 0
Chiffres : 1 F 4
1 x 16^2 = 1 x 256 = 256
F x 16^1 = 15 x 16 = 240
4 x 16^0 = 4 x 1 = 4
Total = 256 + 240 + 4 = 500
1F4 en hexadécimal = 500 en décimal
Exemple : convertir FF en décimal
F x 16^1 = 15 x 16 = 240
F x 16^0 = 15 x 1 = 15
Total = 240 + 15 = 255
FF en hexadécimal = 255 en décimal
2.5 Binaire vers hexadécimal (groupement par 4 bits)
Méthode : On regroupe les bits par paquets de 4 en partant de la droite (on complète avec des zéros à gauche si nécessaire). Chaque groupe de 4 bits correspond à un chiffre hexadécimal.
Table de correspondance 4 bits / hexadécimal :
| Binaire | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hexa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Binaire | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hexa | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Exemple : convertir 11010111011 en hexadécimal
Etape 1 : grouper par 4 en partant de la droite
110 1011 1011
Etape 2 : compléter à gauche avec des zéros
0110 1011 1011
Etape 3 : convertir chaque groupe
0110 = 6
1011 = B
1011 = B
Résultat : 11010111011 en binaire = 6BB en hexadécimal
Exemple : convertir 10011110 en hexadécimal
Groupement : 1001 1110
1001 = 9
1110 = E
Résultat : 10011110 en binaire = 9E en hexadécimal
2.6 Hexadécimal vers binaire (expansion de chaque chiffre en 4 bits)
Méthode : On remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent en 4 bits.
Exemple : convertir A3F en binaire
A = 1010
3 = 0011
F = 1111
Résultat : A3F en hexadécimal = 1010 0011 1111 en binaire
Exemple : convertir 2B7 en binaire
2 = 0010
B = 1011
7 = 0111
Résultat : 2B7 en hexadécimal = 0010 1011 0111 en binaire
2.7 Décimal vers octal (divisions successives par 8)
Méthode : On divise le nombre par 8 de manière répétée. On note le reste. Le résultat se lit de bas en haut.
Exemple : convertir 350 en octal
350 / 8 = 43 reste 6
43 / 8 = 5 reste 3
5 / 8 = 0 reste 5
Lecture de bas en haut : 350 = 536 en octal
Vérification :
5 x 8^2 + 3 x 8^1 + 6 x 8^0
= 5 x 64 + 3 x 8 + 6 x 1
= 320 + 24 + 6
= 350 (correct)
2.8 Octal vers décimal (somme des puissances de 8)
Exemple : convertir 745 en octal vers décimal
7 x 8^2 = 7 x 64 = 448
4 x 8^1 = 4 x 8 = 32
5 x 8^0 = 5 x 1 = 5
Total = 448 + 32 + 5 = 485
745 en octal = 485 en décimal
2.9 Octal vers binaire (expansion de chaque chiffre en 3 bits)
Méthode : On remplace chaque chiffre octal par son équivalent en 3 bits.
Table de correspondance 3 bits / octal :
| Octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Binaire | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
Exemple : convertir 537 en octal vers binaire
5 = 101
3 = 011
7 = 111
Résultat : 537 en octal = 101 011 111 en binaire
2.10 Binaire vers octal (groupement par 3 bits)
Méthode : On regroupe les bits par paquets de 3 en partant de la droite.
Exemple : convertir 110101110 en octal
Groupement : 110 101 110
110 = 6
101 = 5
110 = 6
Résultat : 110101110 en binaire = 656 en octal
3. Représentation des nombres négatifs
3.1 Complément à 1
Méthode : On inverse tous les bits (les 0 deviennent des 1 et inversement).
Le bit le plus à gauche (bit de poids fort) indique le signe :
- 0 = nombre positif
- 1 = nombre négatif
Problème du complément à 1 : il existe deux représentations du zéro (+0 et -0).
Exemple : représenter -45 en complément à 1 sur 8 bits
Etape 1 : écrire 45 en binaire sur 8 bits
45 / 2 = 22 reste 1
22 / 2 = 11 reste 0
11 / 2 = 5 reste 1
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
45 = 00101101
Etape 2 : inverser tous les bits
00101101 --> 11010010
Résultat : -45 en complément à 1 sur 8 bits = 11010010
Plage de valeurs sur n bits en complément à 1 :
- De -(2^(n-1) - 1) à +(2^(n-1) - 1)
- Sur 8 bits : de -127 à +127
3.2 Complément à 2
Méthode : On calcule le complément à 1, puis on ajoute 1.
C'est la méthode utilisée par les ordinateurs car elle n'a qu'une seule représentation du zéro et simplifie les calculs.
Exemple : représenter -45 en complément à 2 sur 8 bits
Etape 1 : écrire 45 en binaire sur 8 bits
45 = 00101101
Etape 2 : inverser tous les bits (complément à 1)
00101101 --> 11010010
Etape 3 : ajouter 1
11010010
+ 1
----------
11010011
Résultat : -45 en complément à 2 sur 8 bits = 11010011
Vérification : La somme d'un nombre et de son complément à 2 doit donner 0 (modulo 2^n).
00101101 (45)
+ 11010011 (-45)
----------
1 00000000 (le 1 de débordement est ignoré sur 8 bits = 0)
Exemple : représenter -100 en complément à 2 sur 8 bits
Etape 1 : écrire 100 en binaire sur 8 bits
100 / 2 = 50 reste 0
50 / 2 = 25 reste 0
25 / 2 = 12 reste 1
12 / 2 = 6 reste 0
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
100 = 01100100
Etape 2 : inverser tous les bits
01100100 --> 10011011
Etape 3 : ajouter 1
10011011
+ 1
----------
10011100
Résultat : -100 en complément à 2 sur 8 bits = 10011100
Pour retrouver la valeur décimale d'un nombre négatif en complément à 2 :
Exemple : que vaut 11100110 en complément à 2 ?
Le bit de poids fort est 1, donc c'est un nombre négatif.
Etape 1 : inverser tous les bits
11100110 --> 00011001
Etape 2 : ajouter 1
00011001
+ 1
----------
00011010
Etape 3 : convertir en décimal
00011010 = 16 + 8 + 2 = 26
Résultat : 11100110 en complément à 2 = -26
Plage de valeurs sur n bits en complément à 2 :
- De -2^(n-1) à +(2^(n-1) - 1)
- Sur 8 bits : de -128 à +127
- Sur 16 bits : de -32768 à +32767
4. Arithmétique binaire
4.1 Addition binaire
Règles de base :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (on écrit 0 et on retient 1)
1 + 1 + 1 = 11 (on écrit 1 et on retient 1)
Exemple : 1011 0110 + 0101 1011
Retenues : 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0
+ 0 1 0 1 1 0 1 1
-------------------
Détail colonne par colonne (de droite à gauche) :
Colonne 0 : 0 + 1 = 1 --> 1
Colonne 1 : 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 2 : 1 + 0 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 3 : 0 + 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 4 : 1 + 1 + 1 = 11 --> 1, retenue 1
Colonne 5 : 1 + 0 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 6 : 0 + 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 7 : 1 + 0 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Résultat : 1 0001 0001
Vérification :
1011 0110 = 182
0101 1011 = 91
182 + 91 = 273
1 0001 0001 = 256 + 16 + 1 = 273 (correct)
4.2 Soustraction binaire
Méthode 1 : soustraction directe
Règles :
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 avec emprunt de 1 (on emprunte 10 binaire = 2 décimal)
Méthode 2 : addition du complément à 2 (méthode privilégiée par les ordinateurs)
Pour calculer A - B, on calcule A + (-B), où -B est le complément à 2 de B.
Exemple : 1101 0010 - 0100 1001
Etape 1 : calculer le complément à 2 de 0100 1001
Inversion : 1011 0110
Ajout de 1 : 1011 0111
Etape 2 : additionner
1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 0 1 1 0 1 1 1
-------------------
Détail :
Colonne 0 : 0 + 1 = 1
Colonne 1 : 1 + 1 = 10, retenue 1
Colonne 2 : 0 + 1 + 1 = 10, retenue 1
Colonne 3 : 0 + 0 + 1 = 1
Colonne 4 : 0 + 1 = 1
Colonne 5 : 1 + 0 = 1
Colonne 6 : 1 + 1 = 10, retenue 1
Colonne 7 : 1 + 1 + 1 = 11, retenue 1
Résultat (en ignorant la retenue finale) : 1000 1001
Vérification :
1101 0010 = 210
0100 1001 = 73
210 - 73 = 137
1000 1001 = 128 + 8 + 1 = 137 (correct)
4.3 Multiplication binaire
Méthode : identique à la multiplication posée en décimal, mais avec les règles :
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Exemple : 1101 x 1011
1 1 0 1 (= 13)
x 1 0 1 1 (= 11)
---------
1 1 0 1 (1101 x 1)
1 1 0 1 0 (1101 x 1, décalé d'une position)
0 0 0 0 0 0 0 (1101 x 0, décalé de deux positions)
1 1 0 1 0 0 0 0 (1101 x 1, décalé de trois positions)
---------------
Addition des lignes :
0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0
Etape 1 : 01101 + 011010
0 1 1 0 1
+ 1 1 0 1 0
-----------
1 0 0 1 1 1
Etape 2 : 100111 + 0000000 = 0100111
Etape 3 : 0100111 + 11010000
0 0 1 0 0 1 1 1
+ 1 1 0 1 0 0 0 0
-------------------
1 0 0 0 1 1 1 1
Résultat : 1101 x 1011 = 1000 1111
Vérification :
13 x 11 = 143
1000 1111 = 128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143 (correct)
5. Division euclidienne
5.1 Définition
Pour deux entiers naturels a (dividende) et b (diviseur, b différent de 0), il existe un unique couple d'entiers (q, r) tels que :
a = b x q + r avec 0 <= r < b
- q est le quotient
- r est le reste
5.2 Exemples détaillés
Exemple 1 : division euclidienne de 157 par 12
157 = 12 x ? + ?
On cherche le plus grand multiple de 12 inférieur ou égal à 157 :
12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
12 x 6 = 72
12 x 7 = 84
12 x 8 = 96
12 x 9 = 108
12 x 10 = 120
12 x 11 = 132
12 x 12 = 144
12 x 13 = 156 <-- le plus grand inférieur ou égal à 157
12 x 14 = 168 <-- trop grand
Donc q = 13
Reste : r = 157 - 12 x 13 = 157 - 156 = 1
Résultat : 157 = 12 x 13 + 1
quotient = 13
reste = 1
Exemple 2 : division euclidienne de 2023 par 17
2023 = 17 x ? + ?
17 x 100 = 1700 --> 2023 - 1700 = 323
17 x 10 = 170 --> on cherche combien de fois 17 entre dans 323
17 x 19 = 323 --> essayons : 17 x 18 = 306, 17 x 19 = 323
Donc 17 x 119 = 17 x (100 + 19) = 1700 + 323 = 2023
Résultat : 2023 = 17 x 119 + 0
quotient = 119
reste = 0
(17 divise exactement 2023)
Exemple 3 : division euclidienne de 543 par 25
25 x 20 = 500
543 - 500 = 43
25 x 1 = 25
43 - 25 = 18
Donc 25 x 21 = 525
543 - 525 = 18
Résultat : 543 = 25 x 21 + 18
quotient = 21
reste = 18
6. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
6.1 Définition
Le PGCD de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
6.2 Algorithme d'Euclide
Principe : PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b), jusqu'à ce que le reste soit 0. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Exemple 1 : PGCD(252, 198)
Etape 1 : 252 = 198 x 1 + 54
(252 / 198 = 1 quotient, reste = 252 - 198 = 54)
Etape 2 : 198 = 54 x 3 + 36
(198 / 54 = 3 quotient, reste = 198 - 162 = 36)
Etape 3 : 54 = 36 x 1 + 18
(54 / 36 = 1 quotient, reste = 54 - 36 = 18)
Etape 4 : 36 = 18 x 2 + 0
(36 / 18 = 2 quotient, reste = 0)
Le reste est 0, on s'arrête.
Le dernier reste non nul est 18.
PGCD(252, 198) = 18
Vérification :
252 / 18 = 14 (entier, OK)
198 / 18 = 11 (entier, OK)
Exemple 2 : PGCD(1260, 924)
Etape 1 : 1260 = 924 x 1 + 336
(1260 - 924 = 336)
Etape 2 : 924 = 336 x 2 + 252
(924 - 672 = 252)
Etape 3 : 336 = 252 x 1 + 84
(336 - 252 = 84)
Etape 4 : 252 = 84 x 3 + 0
(252 - 252 = 0)
PGCD(1260, 924) = 84
Exemple 3 : PGCD(4539, 1958)
Etape 1 : 4539 = 1958 x 2 + 623
(4539 - 3916 = 623)
Etape 2 : 1958 = 623 x 3 + 89
(1958 - 1869 = 89)
Etape 3 : 623 = 89 x 7 + 0
(623 - 623 = 0)
PGCD(4539, 1958) = 89
6.3 Application : simplification de fractions
Exemple : simplifier 252/198
PGCD(252, 198) = 18 (calculé ci-dessus)
252 / 18 = 14
198 / 18 = 11
252/198 = 14/11
6.4 Application : la cryptographie RSA
Le PGCD intervient dans RSA pour vérifier que deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1). Cela garantit l'existence de l'inverse modulaire nécessaire au déchiffrement. Le détail de RSA dépasse le cadre de cette fiche, mais le calcul du PGCD en est une brique fondamentale.
7. PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
7.1 Définition
Le PPCM de deux entiers a et b est le plus petit entier strictement positif qui est multiple à la fois de a et de b.
7.2 Formule avec le PGCD
PPCM(a, b) = (a x b) / PGCD(a, b)
Exemple 1 : PPCM(252, 198)
PGCD(252, 198) = 18 (calculé précédemment)
PPCM(252, 198) = (252 x 198) / 18
= 49896 / 18
= 2772
Vérification :
2772 / 252 = 11 (entier, OK)
2772 / 198 = 14 (entier, OK)
Exemple 2 : PPCM(12, 18)
PGCD(12, 18) :
18 = 12 x 1 + 6
12 = 6 x 2 + 0
PGCD = 6
PPCM(12, 18) = (12 x 18) / 6
= 216 / 6
= 36
7.3 Applications
- Synchronisation de tâches périodiques (deux événements de périodes a et b se retrouvent simultanément tous les PPCM(a,b) cycles)
- Addition de fractions (dénominateur commun)
8. Nombres premiers
8.1 Définition
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Remarque : 2 est le seul nombre premier pair. 1 n'est pas premier.
8.2 Tester si un nombre est premier
Pour tester si n est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun entier de 2 à la racine carrée de n (arrondie à l'entier inférieur).
Exemple : 97 est-il premier ?
Racine carrée de 97 ≈ 9,85
Il faut tester les diviseurs de 2 à 9.
97 / 2 = 48,5 (pas entier)
97 / 3 = 32,33... (pas entier)
97 / 4 : inutile (si divisible par 4, déjà divisible par 2)
97 / 5 = 19,4 (pas entier)
97 / 6 : inutile
97 / 7 = 13,86... (pas entier)
97 / 8 : inutile
97 / 9 = 10,78... (pas entier)
Aucun diviseur trouvé. 97 est premier.
8.3 Crible d'Eratosthène
Méthode : Pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à N :
- Ecrire tous les entiers de 2 à N
- Le premier nombre non barré (2) est premier. Barrer tous ses multiples.
- Le prochain nombre non barré (3) est premier. Barrer tous ses multiples.
- Continuer jusqu'à avoir dépassé la racine carrée de N.
- Les nombres restants (non barrés) sont premiers.
Exemple : trouver les nombres premiers jusqu'à 30
Liste initiale : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Racine carrée de 30 ≈ 5,47 --> on traite 2, 3, 5.
Etape 1 : 2 est premier. On barre les multiples de 2 (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30).
Restent : 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Etape 2 : 3 est premier. On barre les multiples de 3 (9, 15, 21, 27).
Restent : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29
Etape 3 : 5 est premier. On barre les multiples de 5 (25).
Restent : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Nombres premiers jusqu'à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
8.4 Décomposition en facteurs premiers
Méthode : On divise successivement le nombre par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11...) jusqu'à obtenir 1.
Exemple : décomposer 360 en facteurs premiers
360 / 2 = 180
180 / 2 = 90
90 / 2 = 45
45 / 3 = 15
15 / 3 = 5
5 / 5 = 1
360 = 2^3 x 3^2 x 5^1
= 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5
Exemple : décomposer 2520 en facteurs premiers
2520 / 2 = 1260
1260 / 2 = 630
630 / 2 = 315
315 / 3 = 105
105 / 3 = 35
35 / 5 = 7
7 / 7 = 1
2520 = 2^3 x 3^2 x 5 x 7
Calcul du PGCD et du PPCM par décomposition :
Exemple : PGCD et PPCM de 360 et 2520
360 = 2^3 x 3^2 x 5^1 x 7^0
2520 = 2^3 x 3^2 x 5^1 x 7^1
PGCD = produit des facteurs communs avec l'exposant minimal
= 2^3 x 3^2 x 5^1 x 7^0
= 8 x 9 x 5 x 1
= 360
PPCM = produit des facteurs avec l'exposant maximal
= 2^3 x 3^2 x 5^1 x 7^1
= 8 x 9 x 5 x 7
= 2520
9. Arithmétique modulaire (congruences)
9.1 Définition
On dit que a est congru à b modulo n (noté a ≡ b [n]) si n divise (a - b), autrement dit si a et b ont le même reste dans la division par n.
Exemples :
17 ≡ 2 [5] car 17 - 2 = 15, et 15 / 5 = 3 (entier)
ou encore : 17 = 5 x 3 + 2 et 2 = 5 x 0 + 2 (même reste 2)
23 ≡ 3 [10] car 23 = 10 x 2 + 3 (reste 3)
100 ≡ 0 [4] car 100 = 4 x 25 + 0 (reste 0, donc 4 divise 100)
9.2 Propriétés des congruences
Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors :
- a + c ≡ b + d [n] (addition)
- a - c ≡ b - d [n] (soustraction)
- a x c ≡ b x d [n] (multiplication)
- a^k ≡ b^k [n] (puissance)
Exemple : calculer le reste de 7^100 divisé par 5
7 ≡ 2 [5]
Donc 7^100 ≡ 2^100 [5]
Cherchons un cycle pour les puissances de 2 modulo 5 :
2^1 = 2 ≡ 2 [5]
2^2 = 4 ≡ 4 [5]
2^3 = 8 ≡ 3 [5]
2^4 = 16 ≡ 1 [5]
2^5 = 32 ≡ 2 [5] --> le cycle recommence !
Le cycle est de longueur 4 : (2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, ...)
100 / 4 = 25 reste 0
Donc 2^100 ≡ 2^4 ≡ 1 [5]
Le reste de 7^100 divisé par 5 est 1.
9.3 Application : clé de contrôle du numéro de Sécurité sociale
Le numéro de Sécurité sociale comporte 13 chiffres, suivis d'une clé de contrôle de 2 chiffres.
Formule :
clé = 97 - (numéro à 13 chiffres) mod 97
Exemple : numéro = 1 85 05 78 006 084
Le nombre à 13 chiffres : 1850578006084
Etape 1 : calculer 1850578006084 mod 97
1850578006084 / 97 = 19076061918,39...
Partie entière : 19076061918
19076061918 x 97 = 1850378006046
Correction : calculons plus précisément.
1850578006084 = 97 x 19076061919 + r
97 x 19076061919 = 97 x 19000000000 + 97 x 76061919
= 1843000000000 + 7378006143
= 1850378006143
1850578006084 - 1850378006143 = ...
Méthode pratique (par morceaux) :
18505 mod 97 :
18505 / 97 = 190 reste 75 (97 x 190 = 18430, 18505 - 18430 = 75)
On concatène le reste avec la suite : 7580060
7580060 mod 97 :
7580060 / 97 = 78145 reste −
97 x 78000 = 7566000
7580060 - 7566000 = 14060
97 x 144 = 13968
14060 - 13968 = 92
Donc 97 x 78144 = 7579968
7580060 - 7579968 = 92
On concatène : 9284
9284 mod 97 :
97 x 95 = 9215
9284 - 9215 = 69
Clé = 97 - 69 = 28
La clé est 28. Le numéro complet est 1 85 05 78 006 084 28.
9.4 Application : code ISBN-10
Un code ISBN-10 est valide si la somme pondérée de ses 10 chiffres est divisible par 11.
S = 1xd1 + 2xd2 + 3xd3 + ... + 10xd10 ≡ 0 [11]
Le dernier chiffre peut valoir X (= 10).
Exemple : vérifier ISBN 2-07-040850-4
Chiffres : 2 0 7 0 4 0 8 5 0 4
S = 1x2 + 2x0 + 3x7 + 4x0 + 5x4 + 6x0 + 7x8 + 8x5 + 9x0 + 10x4
= 2 + 0 + 21 + 0 + 20 + 0 + 56 + 40 + 0 + 40
= 179
179 / 11 = 16 reste 3 (11 x 16 = 176, 179 - 176 = 3)
179 mod 11 = 3
3 n'est pas 0, donc cet ISBN n'est pas valide.
9.5 Application : clé RIB
Le RIB (Relevé d'Identité Bancaire) comporte un code banque (5 chiffres), un code guichet (5 chiffres), un numéro de compte (11 caractères) et une clé de 2 chiffres.
Formule :
clé = 97 - ((89 x code_banque + 15 x code_guichet + 3 x numéro_compte) mod 97)
Les lettres du numéro de compte sont remplacées par des chiffres (A=1, B=2, ... I=9, J=1, K=2, ... R=9, S=2, T=3, ... Z=9).
10. Applications informatiques
10.1 Adresses IP et masques de sous-réseau
Une adresse IPv4 est composée de 4 octets, écrits en décimal séparés par des points. Chaque octet va de 0 à 255.
Exemple : convertir l'adresse IP 192.168.1.100 en binaire
192 en binaire :
192 / 2 = 96 reste 0
96 / 2 = 48 reste 0
48 / 2 = 24 reste 0
24 / 2 = 12 reste 0
12 / 2 = 6 reste 0
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
192 = 11000000
168 en binaire :
168 / 2 = 84 reste 0
84 / 2 = 42 reste 0
42 / 2 = 21 reste 0
21 / 2 = 10 reste 1
10 / 2 = 5 reste 0
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
168 = 10101000
1 en binaire : 00000001
100 en binaire :
100 / 2 = 50 reste 0
50 / 2 = 25 reste 0
25 / 2 = 12 reste 1
12 / 2 = 6 reste 0
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
100 = 01100100
192.168.1.100 = 11000000.10101000.00000001.01100100
Calcul de l'adresse réseau (ET logique entre IP et masque) :
IP : 192.168.1.100 = 11000000.10101000.00000001.01100100
Masque : 255.255.255.0 = 11111111.11111111.11111111.00000000
ET logique bit à bit :
11000000.10101000.00000001.01100100
& 11111111.11111111.11111111.00000000
= 11000000.10101000.00000001.00000000
Adresse réseau : 192.168.1.0
Calcul de l'adresse de diffusion (broadcast) :
On met tous les bits de la partie hôte à 1.
Adresse réseau : 11000000.10101000.00000001.00000000
Bits hôte à 1 : 11000000.10101000.00000001.11111111
Broadcast : 192.168.1.255
Nombre d'hôtes possibles :
Nombre de bits pour la partie hôte : 8
Nombre d'adresses : 2^8 = 256
Nombre d'hôtes utilisables : 256 - 2 = 254
(on retire l'adresse réseau et l'adresse de broadcast)
10.2 Masque en notation CIDR
Le masque /24 signifie que les 24 premiers bits sont à 1.
/24 = 11111111.11111111.11111111.00000000 = 255.255.255.0
/16 = 11111111.11111111.00000000.00000000 = 255.255.0.0
/8 = 11111111.00000000.00000000.00000000 = 255.0.0.0
/26 = 11111111.11111111.11111111.11000000 = 255.255.255.192
Détail pour /26 :
26 bits à 1, puis 6 bits à 0
Dernier octet : 11000000
11000000 en décimal :
= 1x128 + 1x64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
= 192
Nombre d'hôtes : 2^6 - 2 = 62
10.3 Codage des couleurs RGB en hexadécimal
Les couleurs sont codées sur 3 octets : Rouge, Vert, Bleu. Chaque composante va de 0 à 255 (00 à FF en hexa).
Exemple : convertir la couleur RGB (255, 165, 0) en hexadécimal
Rouge : 255
255 / 16 = 15 reste 15
15 / 16 = 0 reste 15
255 = FF
Vert : 165
165 / 16 = 10 reste 5
10 / 16 = 0 reste 10
165 = A5
Bleu : 0
0 = 00
Couleur : #FFA500 (orange)
Exemple : que représente la couleur #1E90FF ?
1E : 1x16 + 14 = 30 (Rouge = 30)
90 : 9x16 + 0 = 144 (Vert = 144)
FF : 15x16 + 15 = 255 (Bleu = 255)
RGB(30, 144, 255) = bleu dodger
10.4 Stockage mémoire
Unités fondamentales :
1 bit = 0 ou 1
1 octet = 8 bits
1 Ko (kilooctet) = 1024 octets = 2^10 octets
1 Mo (mégaoctet) = 1024 Ko = 2^20 octets = 1 048 576 octets
1 Go (gigaoctet) = 1024 Mo = 2^30 octets = 1 073 741 824 octets
1 To (téraoctet) = 1024 Go = 2^40 octets
Attention : les fabricants de disques durs utilisent souvent des puissances de 10 (1 Go = 10^9 = 1 000 000 000 octets), d'où la différence affichée par le système d'exploitation.
Exemple : un fichier fait 3 500 000 octets. Quelle est sa taille en Mo ?
3 500 000 / 1024 = 3417,97 Ko
3417,97 / 1024 = 3,34 Mo (environ)
Nombre de valeurs codables sur n bits :
Sur n bits, on peut coder 2^n valeurs différentes.
Sur 1 bit : 2^1 = 2 valeurs (0, 1)
Sur 2 bits : 2^2 = 4 valeurs (00, 01, 10, 11)
Sur 8 bits : 2^8 = 256 valeurs (0 à 255)
Sur 16 bits : 2^16 = 65 536 valeurs
Sur 32 bits : 2^32 = 4 294 967 296 valeurs (environ 4 milliards)
11. Exercices corrigés
Exercice 1 : Conversion décimal vers binaire
Enoncé : Convertir 201 en binaire.
Correction :
201 / 2 = 100 reste 1
100 / 2 = 50 reste 0
50 / 2 = 25 reste 0
25 / 2 = 12 reste 1
12 / 2 = 6 reste 0
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
Lecture de bas en haut : 201 = 1100 1001
Vérification :
128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 201 (correct)
Exercice 2 : Conversion binaire vers décimal
Enoncé : Convertir 1111 0001 en décimal.
Correction :
1 x 128 = 128
1 x 64 = 64
1 x 32 = 32
1 x 16 = 16
0 x 8 = 0
0 x 4 = 0
0 x 2 = 0
1 x 1 = 1
Total = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 241
Exercice 3 : Conversion décimal vers hexadécimal
Enoncé : Convertir 1000 en hexadécimal.
Correction :
1000 / 16 = 62 reste 8 (8 = 8)
62 / 16 = 3 reste 14 (14 = E)
3 / 16 = 0 reste 3 (3 = 3)
Lecture de bas en haut : 1000 = 3E8
Vérification :
3 x 256 + 14 x 16 + 8 x 1 = 768 + 224 + 8 = 1000 (correct)
Exercice 4 : Conversion hexadécimal vers binaire
Enoncé : Convertir 4F2C en binaire.
Correction :
4 = 0100
F = 1111
2 = 0010
C = 1100
4F2C = 0100 1111 0010 1100
Exercice 5 : Complément à 2
Enoncé : Représenter -73 en complément à 2 sur 8 bits.
Correction :
Etape 1 : 73 en binaire
73 / 2 = 36 reste 1
36 / 2 = 18 reste 0
18 / 2 = 9 reste 0
9 / 2 = 4 reste 1
4 / 2 = 2 reste 0
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
73 = 01001001
Etape 2 : complément à 1 (inversion des bits)
01001001 --> 10110110
Etape 3 : ajouter 1
10110110
+ 1
----------
10110111
-73 en complément à 2 = 10110111
Vérification :
01001001 (73)
+ 10110111 (-73)
----------
1 00000000 (= 0 sur 8 bits, correct)
Exercice 6 : Addition binaire
Enoncé : Effectuer l'addition 1100 1010 + 0011 1001.
Correction :
Retenues : 1 0 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 0 1 0
+ 0 0 1 1 1 0 0 1
-------------------
Colonne 0 : 0 + 1 = 1
Colonne 1 : 1 + 0 = 1
Colonne 2 : 0 + 0 = 0
Colonne 3 : 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 4 : 0 + 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 5 : 0 + 0 + 1 = 1
Colonne 6 : 1 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Colonne 7 : 1 + 0 + 1 = 10 --> 0, retenue 1
Résultat : 1 0000 0011
Vérification :
1100 1010 = 202
0011 1001 = 57
202 + 57 = 259
1 0000 0011 = 256 + 2 + 1 = 259 (correct)
Exercice 7 : PGCD par algorithme d'Euclide
Enoncé : Calculer PGCD(546, 390).
Correction :
Etape 1 : 546 = 390 x 1 + 156
(546 - 390 = 156)
Etape 2 : 390 = 156 x 2 + 78
(390 - 312 = 78)
Etape 3 : 156 = 78 x 2 + 0
(156 - 156 = 0)
PGCD(546, 390) = 78
Vérification :
546 / 78 = 7 (entier)
390 / 78 = 5 (entier)
Exercice 8 : PPCM
Enoncé : Calculer PPCM(546, 390).
Correction :
PGCD(546, 390) = 78 (exercice précédent)
PPCM(546, 390) = (546 x 390) / 78
= 212940 / 78
= 2730
Vérification :
2730 / 546 = 5 (entier)
2730 / 390 = 7 (entier)
Exercice 9 : Décomposition en facteurs premiers
Enoncé : Décomposer 1764 en facteurs premiers.
Correction :
1764 / 2 = 882
882 / 2 = 441
441 / 3 = 147
147 / 3 = 49
49 / 7 = 7
7 / 7 = 1
1764 = 2^2 x 3^2 x 7^2
= 4 x 9 x 49
= 1764 (correct)
Remarque : 1764 = (2 x 3 x 7)^2 = 42^2
Donc 1764 est un carré parfait et sa racine carrée est 42.
Exercice 10 : Adresse IP et masque de sous-réseau
Enoncé : Soit l'adresse IP 172.16.45.200 avec le masque /20. Déterminer l'adresse réseau, l'adresse de broadcast et le nombre d'hôtes.
Correction :
Etape 1 : le masque /20
20 bits à 1, puis 12 bits à 0
11111111.11111111.11110000.00000000
= 255.255.240.0
Etape 2 : convertir le 3e octet de l'IP en binaire
45 en binaire :
45 / 2 = 22 reste 1
22 / 2 = 11 reste 0
11 / 2 = 5 reste 1
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
45 = 00101101
Etape 3 : ET logique pour le 3e octet
IP : 00101101 (45)
Masque : 11110000 (240)
ET : 00100000 (32)
Les deux premiers octets restent identiques (masqués par 255).
Le 4e octet donne 0 (masqué par 0).
Adresse réseau : 172.16.32.0
Etape 4 : adresse de broadcast
On met les 12 bits de la partie hôte à 1.
3e octet : 0010 1111 = 47
4e octet : 1111 1111 = 255
Broadcast : 172.16.47.255
Etape 5 : nombre d'hôtes
Bits pour la partie hôte : 32 - 20 = 12
Nombre d'adresses : 2^12 = 4096
Nombre d'hôtes utilisables : 4096 - 2 = 4094
Exercice 11 : Couleur RGB en hexadécimal
Enoncé : Convertir la couleur #C8A2FF en RGB décimal, puis décrire les composantes.
Correction :
C8 :
C x 16 + 8 = 12 x 16 + 8 = 192 + 8 = 200
Rouge = 200
A2 :
A x 16 + 2 = 10 x 16 + 2 = 160 + 2 = 162
Vert = 162
FF :
F x 16 + F = 15 x 16 + 15 = 240 + 15 = 255
Bleu = 255
RGB(200, 162, 255) = violet clair / lavande
Exercice 12 : Congruences et clé de contrôle
Enoncé : Calculer la clé de contrôle du numéro de Sécurité sociale 2 93 08 75 108 042.
Correction :
Formule : clé = 97 - (N mod 97) où N = 2930875108042
Calcul de 2930875108042 mod 97 par étapes :
Etape 1 : 29308 mod 97
97 x 302 = 29294
29308 - 29294 = 14
29308 mod 97 = 14
Etape 2 : on concatène avec la suite : 1475108
1475108 mod 97
97 x 15206 = 1474982
1475108 - 1474982 = 126
126 mod 97 = 29
Etape 3 : on concatène : 29042
29042 mod 97
97 x 299 = 29003
29042 - 29003 = 39
N mod 97 = 39
Clé = 97 - 39 = 58
Le numéro complet est 2 93 08 75 108 042 58.
Exercice 13 : Arithmétique modulaire
Enoncé : Quel est le reste de la division de 3^50 par 7 ?
Correction :
Cherchons les puissances de 3 modulo 7 :
3^1 = 3 ≡ 3 [7]
3^2 = 9 ≡ 2 [7] (9 - 7 = 2)
3^3 = 27 ≡ 6 [7] (27 - 28 = -1, donc 27 = 7x3 + 6)
3^4 = 81 ≡ 4 [7] (81 = 7x11 + 4)
3^5 = 243 ≡ 5 [7] (243 = 7x34 + 5)
3^6 = 729 ≡ 1 [7] (729 = 7x104 + 1)
Le cycle est de longueur 6 : (3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, ...)
50 / 6 = 8 reste 2
Donc 3^50 ≡ 3^2 ≡ 2 [7]
Le reste de 3^50 divisé par 7 est 2.
Exercice 14 : Conversion complète entre bases
Enoncé : Convertir 511 en binaire, octal et hexadécimal.
Correction :
Décimal vers binaire :
511 / 2 = 255 reste 1
255 / 2 = 127 reste 1
127 / 2 = 63 reste 1
63 / 2 = 31 reste 1
31 / 2 = 15 reste 1
15 / 2 = 7 reste 1
7 / 2 = 3 reste 1
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1
511 = 1 1111 1111 en binaire (9 bits, tous à 1)
Vérification : 2^9 - 1 = 512 - 1 = 511 (correct)
Décimal vers octal :
511 / 8 = 63 reste 7
63 / 8 = 7 reste 7
7 / 8 = 0 reste 7
511 = 777 en octal
Vérification : 7x64 + 7x8 + 7 = 448 + 56 + 7 = 511 (correct)
Décimal vers hexadécimal :
511 / 16 = 31 reste 15 (F)
31 / 16 = 1 reste 15 (F)
1 / 16 = 0 reste 1
511 = 1FF en hexadécimal
Vérification : 1x256 + 15x16 + 15 = 256 + 240 + 15 = 511 (correct)
Exercice 15 : Soustraction en complément à 2
Enoncé : Calculer 150 - 89 en binaire en utilisant le complément à 2 sur 8 bits.
Correction :
Etape 1 : convertir 150 en binaire
150 / 2 = 75 reste 0
75 / 2 = 37 reste 1
37 / 2 = 18 reste 1
18 / 2 = 9 reste 0
9 / 2 = 4 reste 1
4 / 2 = 2 reste 0
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
150 = 10010110
Etape 2 : convertir 89 en binaire
89 / 2 = 44 reste 1
44 / 2 = 22 reste 0
22 / 2 = 11 reste 0
11 / 2 = 5 reste 1
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
89 = 01011001
Etape 3 : complément à 2 de 89
Inversion : 10100110
Ajout de 1 :
10100110
+ 1
----------
10100111
Etape 4 : addition de 150 et (-89)
10010110 (150)
+ 10100111 (-89 en complément à 2)
----------
Colonne 0 : 0 + 1 = 1
Colonne 1 : 1 + 1 = 10, retenue 1
Colonne 2 : 1 + 1 + 1 = 11, retenue 1
Colonne 3 : 0 + 0 + 1 = 1
Colonne 4 : 1 + 0 = 1
Colonne 5 : 0 + 1 = 1
Colonne 6 : 0 + 0 = 0
Colonne 7 : 1 + 1 = 10, retenue 1
Résultat (ignorant la retenue finale) : 00111101
Etape 5 : vérification
00111101 = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 61
150 - 89 = 61 (correct)
Exercice 16 : Multiplication binaire
Enoncé : Calculer 1010 x 110 en binaire.
Correction :
1 0 1 0 (= 10)
x 1 1 0 (= 6)
---------
0 0 0 0 0 (1010 x 0)
1 0 1 0 0 (1010 x 1, décalé de 1)
1 0 1 0 0 0 (1010 x 1, décalé de 2)
-------------
Addition :
0 0 0 0 0
+ 1 0 1 0 0
-----------
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0
+ 1 0 1 0 0 0
-------------
1 1 1 1 0 0
Résultat : 1010 x 110 = 111100
Vérification :
10 x 6 = 60
111100 = 32 + 16 + 8 + 4 = 60 (correct)
Exercice 17 : Stockage mémoire
Enoncé : Un fichier image de 2400 x 1600 pixels utilise 3 octets par pixel (RGB). Calculer la taille du fichier en Mo.
Correction :
Nombre de pixels : 2400 x 1600 = 3 840 000 pixels
Taille en octets : 3 840 000 x 3 = 11 520 000 octets
Conversion en Ko : 11 520 000 / 1024 = 11 250 Ko
Conversion en Mo : 11 250 / 1024 = 10,99 Mo (environ 11 Mo)
Exercice 18 : Exercice de synthèse
Enoncé : On donne deux nombres en hexadécimal : A = 1C8 et B = FA. Calculer A + B en hexadécimal, puis vérifier en décimal.
Correction :
Etape 1 : conversion en décimal pour vérification
A = 1C8 = 1x256 + 12x16 + 8 = 256 + 192 + 8 = 456
B = FA = 15x16 + 10 = 240 + 10 = 250
Etape 2 : addition en hexadécimal
1 C 8
+ F A
-------
Colonne 0 : 8 + A = 8 + 10 = 18
18 / 16 = 1 reste 2
On écrit 2, retenue 1
Colonne 1 : C + F + 1 = 12 + 15 + 1 = 28
28 / 16 = 1 reste 12 (C)
On écrit C, retenue 1
Colonne 2 : 1 + 0 + 1 = 2
On écrit 2
Résultat : 1C8 + FA = 2C2
Vérification :
2C2 = 2x256 + 12x16 + 2 = 512 + 192 + 2 = 706
456 + 250 = 706 (correct)
12. Résumé des méthodes essentielles
| Conversion | Méthode |
|---|---|
| Décimal vers binaire | Divisions successives par 2, lecture des restes de bas en haut |
| Binaire vers décimal | Somme des puissances de 2 |
| Décimal vers hexa | Divisions successives par 16 |
| Hexa vers décimal | Somme des puissances de 16 |
| Binaire vers hexa | Grouper par 4 bits |
| Hexa vers binaire | Remplacer chaque chiffre par 4 bits |
| Décimal vers octal | Divisions successives par 8 |
| Octal vers binaire | Remplacer chaque chiffre par 3 bits |
| Nombre négatif | Complément à 2 = inversion + 1 |
| PGCD | Algorithme d'Euclide (divisions successives) |
| PPCM | (a x b) / PGCD(a, b) |
| Test premier | Diviser par tous les premiers jusqu'à racine carrée |
13. Erreurs fréquentes à éviter
-
Oublier de lire les restes de bas en haut lors des conversions par divisions successives.
-
Confondre complément à 1 et complément à 2. Le complément à 2 = complément à 1 + 1.
-
Ne pas compléter les groupes de bits à gauche. Pour la conversion binaire vers hexa, si le nombre de bits n'est pas multiple de 4, ajouter des zéros à gauche.
-
Oublier la retenue dans les additions binaires.
-
Confondre PGCD et PPCM. PGCD = plus grand commun diviseur (toujours inférieur ou égal aux deux nombres). PPCM = plus petit commun multiple (toujours supérieur ou égal aux deux nombres).
-
Confondre Ko (1024 octets) et kB (1000 octets). En informatique, on utilise les puissances de 2.
-
Oublier de retirer 2 adresses (réseau et broadcast) pour calculer le nombre d'hôtes dans un sous-réseau.
Ce document couvre l'intégralité du programme d'arithmétique du BTS SIO SLAM. Chaque méthode doit être maîtrisée avec la capacité de détailler chaque étape de calcul. En cas de doute lors de l'examen, toujours vérifier le résultat en reconvertissant en décimal.