1. Definitions fondamentales
1.1 Qu'est-ce qu'une matrice ?
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, organise en lignes et en colonnes.
On note une matrice A de dimensions m x n (m lignes, n colonnes) :
colonne 1 colonne 2 ... colonne n
ligne 1 [ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ ]
ligne 2 [ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ ]
... [ ... ... ... ... ]
ligne m [ aₘ₁ aₘ₂ ... aₘₙ ]
Le coefficient situe a la ligne i et a la colonne j se note aᵢⱼ.
Exemple : la matrice A de dimensions 2 x 3 :
A = [ 1 4 7 ]
[ 2 5 8 ]
A a 2 lignes et 3 colonnes. Le coefficient a₁₂ = 4 (ligne 1, colonne 2). Le coefficient a₂₃ = 8 (ligne 2, colonne 3).
1.2 Types de matrices
Matrice ligne : matrice a une seule ligne (1 x n).
L = [ 3 -1 7 ] (dimensions 1 x 3)
Matrice colonne : matrice a une seule colonne (m x 1).
C = [ 2 ]
[ 5 ] (dimensions 3 x 1)
[ -1]
Matrice carree : matrice ou le nombre de lignes est egal au nombre de colonnes (n x n). On dit qu'elle est d'ordre n.
A = [ 1 3 ]
[ 4 2 ] (matrice carree d'ordre 2)
Matrice nulle : tous les coefficients sont egaux a 0.
O = [ 0 0 ]
[ 0 0 ]
Matrice identite (notee Iₙ) : matrice carree d'ordre n avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
I₂ = [ 1 0 ] I₃ = [ 1 0 0 ]
[ 0 1 ] [ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
Propriete fondamentale : pour toute matrice carree A d'ordre n, on a A x Iₙ = Iₙ x A = A.
Matrice diagonale : matrice carree dont tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls.
D = [ 3 0 0 ]
[ 0 -2 0 ]
[ 0 0 5 ]
Matrice triangulaire superieure : tous les coefficients sous la diagonale sont nuls.
U = [ 2 1 4 ]
[ 0 3 -1]
[ 0 0 5 ]
Matrice triangulaire inferieure : tous les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls.
L = [ 2 0 0 ]
[ 1 3 0 ]
[ 4 -1 5 ]
Matrice symetrique : matrice carree telle que aᵢⱼ = aⱼᵢ pour tout i, j (autrement dit A = Aᵀ).
S = [ 1 3 5 ]
[ 3 2 7 ] s₁₂ = 3 = s₂₁, s₁₃ = 5 = s₃₁, s₂₃ = 7 = s₃₂
[ 5 7 4 ]
2. Operations sur les matrices
2.1 Addition de matrices
Condition : les deux matrices doivent avoir les memes dimensions (m x n).
Regle : on additionne les coefficients situes a la meme position.
Si A et B sont de dimensions m x n, alors C = A + B est definie par cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.
Exemple pas a pas :
A = [ 1 3 ] B = [ 5 -2 ]
[ -2 4 ] [ 0 7 ]
Calcul de C = A + B :
c₁₁ = a₁₁ + b₁₁ = 1 + 5 = 6
c₁₂ = a₁₂ + b₁₂ = 3 + (-2) = 1
c₂₁ = a₂₁ + b₂₁ = (-2) + 0 = -2
c₂₂ = a₂₂ + b₂₂ = 4 + 7 = 11
Resultat :
C = A + B = [ 6 1 ]
[ -2 11 ]
2.2 Soustraction de matrices
Meme condition : dimensions identiques. On soustrait coefficient par coefficient.
Exemple pas a pas :
A = [ 4 1 ] B = [ 2 3 ]
[ 0 5 ] [ -1 2 ]
Calcul de D = A - B :
d₁₁ = a₁₁ - b₁₁ = 4 - 2 = 2
d₁₂ = a₁₂ - b₁₂ = 1 - 3 = -2
d₂₁ = a₂₁ - b₂₁ = 0 - (-1) = 1
d₂₂ = a₂₂ - b₂₂ = 5 - 2 = 3
Resultat :
D = A - B = [ 2 -2 ]
[ 1 3 ]
2.3 Multiplication par un scalaire
On multiplie chaque coefficient de la matrice par le scalaire k.
Si C = k x A, alors cᵢⱼ = k x aᵢⱼ.
Exemple pas a pas :
k = 3 A = [ 2 -1 ]
[ 4 0 ]
[ -3 5 ]
Calcul de C = 3 x A :
c₁₁ = 3 x 2 = 6
c₁₂ = 3 x (-1) = -3
c₂₁ = 3 x 4 = 12
c₂₂ = 3 x 0 = 0
c₃₁ = 3 x (-3) = -9
c₃₂ = 3 x 5 = 15
Resultat :
C = 3A = [ 6 -3 ]
[ 12 0 ]
[ -9 15 ]
3. Multiplication de matrices
3.1 Condition de compatibilite
Le produit A x B est defini si et seulement si le nombre de colonnes de A est egal au nombre de lignes de B.
Si A est de dimensions m x p et B est de dimensions p x n, alors C = A x B est de dimensions m x n.
A : m x p B : p x n => C = AB : m x n
↑ ↑
doivent etre egaux
Exemple : A est 2 x 3 et B est 3 x 2. Le produit AB existe et donne une matrice 2 x 2. Mais BA n'est pas forcement defini avec les memes dimensions (ici BA serait 3 x 3, donc il existe aussi, mais AB et BA sont differents).
Attention : en general, AB est different de BA. La multiplication matricielle n'est pas commutative.
3.2 Regle de calcul : ligne par colonne
Le coefficient cᵢⱼ du produit C = AB est obtenu en multipliant terme a terme les elements de la ligne i de A par les elements de la colonne j de B, puis en additionnant.
cᵢⱼ = aᵢ₁ x b₁ⱼ + aᵢ₂ x b₂ⱼ + ... + aᵢₚ x bₚⱼ
3.3 Exemple detaille : multiplication 2 x 2
A = [ 1 3 ] B = [ 2 0 ]
[ 2 4 ] [ 1 5 ]
A est 2 x 2, B est 2 x 2. Le produit AB est 2 x 2.
Calcul de c₁₁ (ligne 1 de A, colonne 1 de B) :
c₁₁ = a₁₁ x b₁₁ + a₁₂ x b₂₁
= 1 x 2 + 3 x 1
= 2 + 3
= 5
Calcul de c₁₂ (ligne 1 de A, colonne 2 de B) :
c₁₂ = a₁₁ x b₁₂ + a₁₂ x b₂₂
= 1 x 0 + 3 x 5
= 0 + 15
= 15
Calcul de c₂₁ (ligne 2 de A, colonne 1 de B) :
c₂₁ = a₂₁ x b₁₁ + a₂₂ x b₂₁
= 2 x 2 + 4 x 1
= 4 + 4
= 8
Calcul de c₂₂ (ligne 2 de A, colonne 2 de B) :
c₂₂ = a₂₁ x b₁₂ + a₂₂ x b₂₂
= 2 x 0 + 4 x 5
= 0 + 20
= 20
Resultat :
AB = [ 5 15 ]
[ 8 20 ]
3.4 Exemple detaille : multiplication 2 x 3 par 3 x 2
A = [ 1 0 2 ] B = [ 3 1 ]
[ -1 3 1 ] [ 0 2 ]
[ 4 -1]
A est 2 x 3, B est 3 x 2. Le produit AB est 2 x 2.
Calcul de c₁₁ (ligne 1 de A, colonne 1 de B) :
c₁₁ = 1 x 3 + 0 x 0 + 2 x 4
= 3 + 0 + 8
= 11
Calcul de c₁₂ (ligne 1 de A, colonne 2 de B) :
c₁₂ = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x (-1)
= 1 + 0 + (-2)
= -1
Calcul de c₂₁ (ligne 2 de A, colonne 1 de B) :
c₂₁ = (-1) x 3 + 3 x 0 + 1 x 4
= -3 + 0 + 4
= 1
Calcul de c₂₂ (ligne 2 de A, colonne 2 de B) :
c₂₂ = (-1) x 1 + 3 x 2 + 1 x (-1)
= -1 + 6 + (-1)
= 4
Resultat :
AB = [ 11 -1 ]
[ 1 4 ]
3.5 Exemple detaille : multiplication 3 x 3
A = [ 1 2 0 ] B = [ 2 1 0 ]
[ 0 1 3 ] [ 0 3 1 ]
[ 1 0 2 ] [ 1 0 2 ]
Calcul de chaque coefficient de C = AB (matrice 3 x 3) :
c₁₁ = 1x2 + 2x0 + 0x1 = 2 + 0 + 0 = 2
c₁₂ = 1x1 + 2x3 + 0x0 = 1 + 6 + 0 = 7
c₁₃ = 1x0 + 2x1 + 0x2 = 0 + 2 + 0 = 2
c₂₁ = 0x2 + 1x0 + 3x1 = 0 + 0 + 3 = 3
c₂₂ = 0x1 + 1x3 + 3x0 = 0 + 3 + 0 = 3
c₂₃ = 0x0 + 1x1 + 3x2 = 0 + 1 + 6 = 7
c₃₁ = 1x2 + 0x0 + 2x1 = 2 + 0 + 2 = 4
c₃₂ = 1x1 + 0x3 + 2x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₃₃ = 1x0 + 0x1 + 2x2 = 0 + 0 + 4 = 4
Resultat :
AB = [ 2 7 2 ]
[ 3 3 7 ]
[ 4 1 4 ]
4. Transposee d'une matrice
4.1 Definition
La transposee de A, notee Aᵀ (ou parfois ᵗA), est la matrice obtenue en echangeant lignes et colonnes. Si A est m x n, alors Aᵀ est n x m.
Le coefficient en position (i, j) de Aᵀ est le coefficient en position (j, i) de A.
Exemple :
A = [ 1 4 7 ] Aᵀ = [ 1 2 ]
[ 2 5 8 ] [ 4 5 ]
[ 7 8 ]
A est 2 x 3 Aᵀ est 3 x 2
4.2 Proprietes
- (Aᵀ)ᵀ = A
- (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
- (kA)ᵀ = k(Aᵀ)
- (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (attention a l'inversion de l'ordre)
5. Determinant
5.1 Determinant d'une matrice 2 x 2
Pour une matrice :
A = [ a b ]
[ c d ]
Le determinant est :
det(A) = ad - bc
Exemple pas a pas :
A = [ 3 2 ]
[ 1 5 ]
det(A) = 3 x 5 - 2 x 1
= 15 - 2
= 13
Autre exemple :
B = [ 4 6 ]
[ 2 3 ]
det(B) = 4 x 3 - 6 x 2
= 12 - 12
= 0
Quand le determinant vaut 0, la matrice est dite singuliere (non inversible).
5.2 Determinant d'une matrice 3 x 3 : regle de Sarrus
Pour une matrice :
A = [ a₁ b₁ c₁ ]
[ a₂ b₂ c₂ ]
[ a₃ b₃ c₃ ]
On recopie les deux premieres colonnes a droite :
a₁ b₁ c₁ | a₁ b₁
a₂ b₂ c₂ | a₂ b₂
a₃ b₃ c₃ | a₃ b₃
Les 3 diagonales descendantes (produits positifs) :
D₁ = a₁ x b₂ x c₃
D₂ = b₁ x c₂ x a₃
D₃ = c₁ x a₂ x b₃
Les 3 diagonales montantes (produits negatifs) :
D₄ = c₁ x b₂ x a₃
D₅ = a₁ x c₂ x b₃
D₆ = b₁ x a₂ x c₃
Formule :
det(A) = D₁ + D₂ + D₃ - D₄ - D₅ - D₆
Exemple pas a pas :
A = [ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
[ 7 8 0 ]
Diagonales descendantes :
D₁ = 1 x 5 x 0 = 0
D₂ = 2 x 6 x 7 = 84
D₃ = 3 x 4 x 8 = 96
Diagonales montantes :
D₄ = 3 x 5 x 7 = 105
D₅ = 1 x 6 x 8 = 48
D₆ = 2 x 4 x 0 = 0
Calcul :
det(A) = 0 + 84 + 96 - 105 - 48 - 0
= 180 - 153
= 27
5.3 Determinant 3 x 3 : developpement par cofacteurs
On peut developper selon n'importe quelle ligne ou colonne. Developpons selon la premiere ligne :
det(A) = a₁₁ x C₁₁ + a₁₂ x C₁₂ + a₁₃ x C₁₃
ou Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) x Mᵢⱼ, et Mᵢⱼ est le mineur (determinant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j).
Exemple avec la meme matrice :
A = [ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
[ 7 8 0 ]
Developpement selon la ligne 1 :
Cofacteur C₁₁ : on supprime ligne 1 et colonne 1 :
M₁₁ = det[ 5 6 ] = 5 x 0 - 6 x 8 = 0 - 48 = -48
[ 8 0 ]
C₁₁ = (-1)^(1+1) x (-48) = 1 x (-48) = -48
Cofacteur C₁₂ : on supprime ligne 1 et colonne 2 :
M₁₂ = det[ 4 6 ] = 4 x 0 - 6 x 7 = 0 - 42 = -42
[ 7 0 ]
C₁₂ = (-1)^(1+2) x (-42) = (-1) x (-42) = 42
Cofacteur C₁₃ : on supprime ligne 1 et colonne 3 :
M₁₃ = det[ 4 5 ] = 4 x 8 - 5 x 7 = 32 - 35 = -3
[ 7 8 ]
C₁₃ = (-1)^(1+3) x (-3) = 1 x (-3) = -3
Calcul final :
det(A) = 1 x (-48) + 2 x 42 + 3 x (-3)
= -48 + 84 + (-9)
= -48 + 84 - 9
= 27
On retrouve bien 27, comme avec la regle de Sarrus.
5.4 Proprietes du determinant
- det(Iₙ) = 1
- Si une ligne (ou colonne) est nulle, det(A) = 0
- Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques, det(A) = 0
- Si on echange deux lignes, le determinant change de signe
- Si on multiplie une ligne par k, le determinant est multiplie par k
- det(AB) = det(A) x det(B)
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(kA) = kⁿ x det(A) pour une matrice n x n
6. Matrice inverse
6.1 Definition et condition d'existence
La matrice inverse de A, notee A⁻¹, est l'unique matrice telle que :
A x A⁻¹ = A⁻¹ x A = Iₙ
Condition : A est inversible si et seulement si det(A) est different de 0.
Si det(A) = 0, la matrice A n'admet pas d'inverse.
6.2 Inverse d'une matrice 2 x 2 : formule directe
Pour :
A = [ a b ]
[ c d ]
Si det(A) = ad - bc est different de 0 :
A⁻¹ = (1 / det(A)) x [ d -b ]
[ -c a ]
Methode : on echange a et d, on change les signes de b et c, et on divise tout par le determinant.
Exemple pas a pas :
A = [ 2 1 ]
[ 5 3 ]
Etape 1 : calculer le determinant.
det(A) = 2 x 3 - 1 x 5 = 6 - 5 = 1
Le determinant vaut 1, donc A est inversible.
Etape 2 : appliquer la formule.
A⁻¹ = (1/1) x [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
A⁻¹ = [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
Etape 3 : verification A x A⁻¹ = I₂.
c₁₁ = 2 x 3 + 1 x (-5) = 6 - 5 = 1
c₁₂ = 2 x (-1) + 1 x 2 = -2 + 2 = 0
c₂₁ = 5 x 3 + 3 x (-5) = 15 - 15 = 0
c₂₂ = 5 x (-1) + 3 x 2 = -5 + 6 = 1
A x A⁻¹ = [ 1 0 ] = I₂ (verifie)
[ 0 1 ]
6.3 Inverse d'une matrice 3 x 3 : methode de la comatrice
Pour une matrice A 3 x 3, l'inverse se calcule par :
A⁻¹ = (1 / det(A)) x Com(A)ᵀ
ou Com(A) est la matrice des cofacteurs, et Com(A)ᵀ est sa transposee.
Exemple pas a pas :
A = [ 1 2 0 ]
[ 0 1 3 ]
[ 1 0 2 ]
Etape 1 : calculer det(A) par Sarrus.
Diagonales descendantes :
D₁ = 1 x 1 x 2 = 2
D₂ = 2 x 3 x 1 = 6
D₃ = 0 x 0 x 0 = 0
Diagonales montantes :
D₄ = 0 x 1 x 1 = 0
D₅ = 1 x 3 x 0 = 0
D₆ = 2 x 0 x 2 = 0
det(A) = 2 + 6 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8
det(A) = 8, donc A est inversible.
Etape 2 : calculer chaque cofacteur Cᵢⱼ.
Rappel : Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) x (determinant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j).
C₁₁ = (+1) x det[ 1 3 ] = 1 x 2 - 3 x 0 = 2 - 0 = 2
[ 0 2 ]
C₁₂ = (-1) x det[ 0 3 ] = (-1) x (0 x 2 - 3 x 1) = (-1) x (-3) = 3
[ 1 2 ]
C₁₃ = (+1) x det[ 0 1 ] = 0 x 0 - 1 x 1 = 0 - 1 = -1
[ 1 0 ]
C₂₁ = (-1) x det[ 2 0 ] = (-1) x (2 x 2 - 0 x 0) = (-1) x 4 = -4
[ 0 2 ]
C₂₂ = (+1) x det[ 1 0 ] = 1 x 2 - 0 x 1 = 2 - 0 = 2
[ 1 2 ]
C₂₃ = (-1) x det[ 1 2 ] = (-1) x (1 x 0 - 2 x 1) = (-1) x (-2) = 2
[ 1 0 ]
C₃₁ = (+1) x det[ 2 0 ] = 2 x 3 - 0 x 1 = 6 - 0 = 6
[ 1 3 ]
C₃₂ = (-1) x det[ 1 0 ] = (-1) x (1 x 3 - 0 x 0) = (-1) x 3 = -3
[ 0 3 ]
C₃₃ = (+1) x det[ 1 2 ] = 1 x 1 - 2 x 0 = 1 - 0 = 1
[ 0 1 ]
Etape 3 : ecrire la matrice des cofacteurs.
Com(A) = [ 2 3 -1 ]
[ -4 2 2 ]
[ 6 -3 1 ]
Etape 4 : transposer la matrice des cofacteurs.
Com(A)ᵀ = [ 2 -4 6 ]
[ 3 2 -3 ]
[ -1 2 1 ]
Etape 5 : diviser par det(A) = 8.
A⁻¹ = (1/8) x [ 2 -4 6 ]
[ 3 2 -3 ]
[ -1 2 1 ]
A⁻¹ = [ 2/8 -4/8 6/8 ] [ 1/4 -1/2 3/4 ]
[ 3/8 2/8 -3/8 ] = [ 3/8 1/4 -3/8 ]
[ -1/8 2/8 1/8 ] [-1/8 1/4 1/8 ]
Etape 6 : verification A x A⁻¹ = I₃.
Calculons le coefficient (1,1) de A x A⁻¹ :
1 x (1/4) + 2 x (3/8) + 0 x (-1/8)
= 1/4 + 6/8 + 0
= 1/4 + 3/4
= 1
Calculons le coefficient (1,2) :
1 x (-1/2) + 2 x (1/4) + 0 x (1/4)
= -1/2 + 2/4 + 0
= -1/2 + 1/2
= 0
Les autres coefficients se verifient de la meme maniere. Le produit donne bien I₃.
7. Systemes d'equations lineaires
7.1 Ecriture matricielle AX = B
Tout systeme d'equations lineaires peut s'ecrire sous forme matricielle.
Exemple avec un systeme de 2 equations a 2 inconnues :
{ 2x + y = 5
{ 5x + 3y = 13
Ecriture matricielle :
A = [ 2 1 ] X = [ x ] B = [ 5 ]
[ 5 3 ] [ y ] [ 13 ]
AX = B
Exemple avec un systeme de 3 equations a 3 inconnues :
{ x + 2y = 1
{ y + 3z = 9
{ x + 2z = 5
Ecriture matricielle :
A = [ 1 2 0 ] X = [ x ] B = [ 1 ]
[ 0 1 3 ] [ y ] [ 9 ]
[ 1 0 2 ] [ z ] [ 5 ]
7.2 Resolution par inversion : X = A⁻¹B
Si det(A) est different de 0, le systeme admet une unique solution :
X = A⁻¹ x B
Exemple pas a pas (systeme 2 x 2) :
Systeme :
{ 2x + y = 5
{ 5x + 3y = 13
Etape 1 : determinant.
det(A) = 2 x 3 - 1 x 5 = 6 - 5 = 1
Etape 2 : inverse de A.
A⁻¹ = [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
Etape 3 : calcul de X = A⁻¹ x B.
x = 3 x 5 + (-1) x 13 = 15 - 13 = 2
y = (-5) x 5 + 2 x 13 = -25 + 26 = 1
Solution : x = 2 et y = 1.
Verification dans le systeme original :
2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 (verifie)
5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13 (verifie)
Exemple pas a pas (systeme 3 x 3) :
Systeme :
{ x + 2y = 1
{ y + 3z = 9
{ x + 2z = 5
On a calcule precedemment :
A⁻¹ = [ 1/4 -1/2 3/4 ]
[ 3/8 1/4 -3/8 ]
[-1/8 1/4 1/8 ]
Calcul de X = A⁻¹ x B :
x = (1/4) x 1 + (-1/2) x 9 + (3/4) x 5
= 1/4 - 9/2 + 15/4
= 1/4 - 18/4 + 15/4
= (1 - 18 + 15) / 4
= -2/4
= -1/2
y = (3/8) x 1 + (1/4) x 9 + (-3/8) x 5
= 3/8 + 9/4 - 15/8
= 3/8 + 18/8 - 15/8
= (3 + 18 - 15) / 8
= 6/8
= 3/4
z = (-1/8) x 1 + (1/4) x 9 + (1/8) x 5
= -1/8 + 9/4 + 5/8
= -1/8 + 18/8 + 5/8
= (-1 + 18 + 5) / 8
= 22/8
= 11/4
Solution : x = -1/2, y = 3/4, z = 11/4.
Verification dans la premiere equation : x + 2y = -1/2 + 2 x (3/4) = -1/2 + 3/2 = 2/2 = 1. Correct.
7.3 Methode de Cramer
Pour un systeme AX = B de n equations a n inconnues, si det(A) est different de 0, la solution est :
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
ou Aᵢ est la matrice A dans laquelle on a remplace la colonne i par le vecteur B.
Exemple pas a pas (systeme 2 x 2) :
{ 3x + 2y = 7
{ x - y = 1
Etape 1 : det(A).
A = [ 3 2 ]
[ 1 -1 ]
det(A) = 3 x (-1) - 2 x 1 = -3 - 2 = -5
Etape 2 : det(A₁) — on remplace la colonne 1 de A par B.
A₁ = [ 7 2 ]
[ 1 -1 ]
det(A₁) = 7 x (-1) - 2 x 1 = -7 - 2 = -9
Etape 3 : det(A₂) — on remplace la colonne 2 de A par B.
A₂ = [ 3 7 ]
[ 1 1 ]
det(A₂) = 3 x 1 - 7 x 1 = 3 - 7 = -4
Etape 4 : solutions.
x = det(A₁) / det(A) = -9 / (-5) = 9/5
y = det(A₂) / det(A) = -4 / (-5) = 4/5
Verification : 3 x (9/5) + 2 x (4/5) = 27/5 + 8/5 = 35/5 = 7. Correct.
Exemple pas a pas (systeme 3 x 3 avec Cramer) :
{ 2x + y - z = 3
{ x - y + 2z = 1
{ 3x + 2y + z = 10
Matrice A et vecteur B :
A = [ 2 1 -1 ] B = [ 3 ]
[ 1 -1 2 ] [ 1 ]
[ 3 2 1 ] [ 10 ]
Etape 1 : det(A) par Sarrus.
D₁ = 2 x (-1) x 1 = -2
D₂ = 1 x 2 x 3 = 6
D₃ = (-1) x 1 x 2 = -2
D₄ = (-1) x (-1) x 3 = 3
D₅ = 2 x 2 x 2 = 8
D₆ = 1 x 1 x 1 = 1
det(A) = (-2) + 6 + (-2) - 3 - 8 - 1 = 2 - 12 = -10
Etape 2 : det(A₁) — colonne 1 remplacee par B.
A₁ = [ 3 1 -1 ]
[ 1 -1 2 ]
[ 10 2 1 ]
D₁ = 3 x (-1) x 1 = -3
D₂ = 1 x 2 x 10 = 20
D₃ = (-1) x 1 x 2 = -2
D₄ = (-1) x (-1) x 10 = 10
D₅ = 3 x 2 x 2 = 12
D₆ = 1 x 1 x 1 = 1
det(A₁) = (-3) + 20 + (-2) - 10 - 12 - 1 = 15 - 23 = -8
Correction, recalculons proprement :
det(A₁) = -3 + 20 + (-2) - 10 - 12 - 1
= -3 + 20 - 2 - 10 - 12 - 1
= 20 - 28
= -8
Etape 3 : det(A₂) — colonne 2 remplacee par B.
A₂ = [ 2 3 -1 ]
[ 1 1 2 ]
[ 3 10 1 ]
D₁ = 2 x 1 x 1 = 2
D₂ = 3 x 2 x 3 = 18
D₃ = (-1) x 1 x 10 = -10
D₄ = (-1) x 1 x 3 = -3
D₅ = 2 x 2 x 10 = 40
D₆ = 3 x 1 x 1 = 3
det(A₂) = 2 + 18 + (-10) - (-3) - 40 - 3
= 2 + 18 - 10 + 3 - 40 - 3
= 23 - 53
= -30
Etape 4 : det(A₃) — colonne 3 remplacee par B.
A₃ = [ 2 1 3 ]
[ 1 -1 1 ]
[ 3 2 10 ]
D₁ = 2 x (-1) x 10 = -20
D₂ = 1 x 1 x 3 = 3
D₃ = 3 x 1 x 2 = 6
D₄ = 3 x (-1) x 3 = -9
D₅ = 2 x 1 x 2 = 4
D₆ = 1 x 1 x 10 = 10
det(A₃) = (-20) + 3 + 6 - (-9) - 4 - 10
= -20 + 3 + 6 + 9 - 4 - 10
= -16
Etape 5 : solutions.
x = det(A₁) / det(A) = -8 / (-10) = 4/5
y = det(A₂) / det(A) = -30 / (-10) = 3
z = det(A₃) / det(A) = -16 / (-10) = 8/5
Verification dans l'equation 1 :
2 x (4/5) + 3 - (8/5) = 8/5 + 3 - 8/5 = 3. Correct.
Verification dans l'equation 3 :
3 x (4/5) + 2 x 3 + (8/5) = 12/5 + 6 + 8/5 = 20/5 + 6 = 4 + 6 = 10. Correct.
7.4 Pivot de Gauss (elimination de Gauss-Jordan)
Methode systematique qui transforme le systeme en un systeme triangulaire, puis on remonte pour trouver les inconnues.
On travaille sur la matrice augmentee [A | B].
Exemple pas a pas :
Systeme :
{ x + 2y + z = 9
{ 2x - y + 3z = 8
{ 3x + y + 2z = 15
Etape 1 : ecrire la matrice augmentee.
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 2 -1 3 | 8 ] L₂
[ 3 1 2 | 15 ] L₃
Etape 2 : eliminer x de L₂ et L₃.
Operation : L₂ ← L₂ - 2 x L₁
Nouveau L₂ :
colonne 1 : 2 - 2 x 1 = 2 - 2 = 0
colonne 2 : -1 - 2 x 2 = -1 - 4 = -5
colonne 3 : 3 - 2 x 1 = 3 - 2 = 1
second membre : 8 - 2 x 9 = 8 - 18 = -10
Operation : L₃ ← L₃ - 3 x L₁
Nouveau L₃ :
colonne 1 : 3 - 3 x 1 = 3 - 3 = 0
colonne 2 : 1 - 3 x 2 = 1 - 6 = -5
colonne 3 : 2 - 3 x 1 = 2 - 3 = -1
second membre : 15 - 3 x 9 = 15 - 27 = -12
Matrice apres etape 2 :
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 0 -5 1 | -10 ] L₂
[ 0 -5 -1 | -12 ] L₃
Etape 3 : eliminer y de L₃.
Operation : L₃ ← L₃ - L₂
Nouveau L₃ :
colonne 1 : 0 - 0 = 0
colonne 2 : -5 - (-5) = -5 + 5 = 0
colonne 3 : -1 - 1 = -2
second membre : -12 - (-10) = -12 + 10 = -2
Matrice apres etape 3 :
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 0 -5 1 | -10 ] L₂
[ 0 0 -2 | -2 ] L₃
Etape 4 : remonter (substitution arriere).
De L₃ : -2z = -2, donc z = (-2) / (-2) = 1.
De L₂ : -5y + z = -10, donc -5y + 1 = -10, donc -5y = -10 - 1 = -11, donc y = -11 / (-5) = 11/5.
De L₁ : x + 2y + z = 9, donc x + 2 x (11/5) + 1 = 9, donc x + 22/5 + 1 = 9, donc x = 9 - 1 - 22/5 = 8 - 22/5 = 40/5 - 22/5 = 18/5.
Solution : x = 18/5, y = 11/5, z = 1.
Verification dans l'equation 1 :
18/5 + 2 x (11/5) + 1 = 18/5 + 22/5 + 5/5 = 45/5 = 9. Correct.
Verification dans l'equation 2 :
2 x (18/5) - (11/5) + 3 x 1 = 36/5 - 11/5 + 15/5 = 40/5 = 8. Correct.
Verification dans l'equation 3 :
3 x (18/5) + (11/5) + 2 x 1 = 54/5 + 11/5 + 10/5 = 75/5 = 15. Correct.
8. Puissances de matrices
8.1 Definition
Pour une matrice carree A :
A⁰ = I (matrice identite)
A¹ = A
A² = A x A
A³ = A x A x A = A² x A
Aⁿ = A x A x ... x A (n fois)
8.2 Exemple : calcul de A²
A = [ 1 2 ]
[ 0 3 ]
A² = A x A :
c₁₁ = 1 x 1 + 2 x 0 = 1 + 0 = 1
c₁₂ = 1 x 2 + 2 x 3 = 2 + 6 = 8
c₂₁ = 0 x 1 + 3 x 0 = 0 + 0 = 0
c₂₂ = 0 x 2 + 3 x 3 = 0 + 9 = 9
A² = [ 1 8 ]
[ 0 9 ]
8.3 Exemple : calcul de A³
A³ = A² x A :
c₁₁ = 1 x 1 + 8 x 0 = 1 + 0 = 1
c₁₂ = 1 x 2 + 8 x 3 = 2 + 24 = 26
c₂₁ = 0 x 1 + 9 x 0 = 0 + 0 = 0
c₂₂ = 0 x 2 + 9 x 3 = 0 + 27 = 27
A³ = [ 1 26 ]
[ 0 27 ]
8.4 Cas particulier : matrice diagonale
Si D est diagonale, alors Dⁿ est obtenue en elevant chaque element diagonal a la puissance n.
D = [ 2 0 ] D³ = [ 2³ 0 ] = [ 8 0 ]
[ 0 5 ] [ 0 5³ ] [ 0 125 ]
9. Matrices et graphes
9.1 Matrice d'adjacence
Pour un graphe oriente a n sommets, la matrice d'adjacence M est une matrice n x n ou mᵢⱼ = 1 s'il existe un arc du sommet i vers le sommet j, et mᵢⱼ = 0 sinon.
Exemple :
Graphe a 3 sommets {A, B, C} avec les arcs : A vers B, A vers C, B vers C, C vers A.
A B C
M = [ 0 1 1 ] A
[ 0 0 1 ] B
[ 1 0 0 ] C
Lecture : m₁₂ = 1 signifie qu'il y a un arc de A vers B. m₂₁ = 0 signifie qu'il n'y a pas d'arc de B vers A.
Pour un graphe non oriente, la matrice est symetrique (mᵢⱼ = mⱼᵢ).
9.2 Nombre de chemins de longueur k
Propriete fondamentale : le coefficient (i, j) de la matrice Mᵏ donne le nombre de chemins de longueur k allant du sommet i au sommet j.
Exemple : nombre de chemins de longueur 2.
Avec la matrice M precedente, calculons M² = M x M :
c₁₁ = 0x0 + 1x0 + 1x1 = 0 + 0 + 1 = 1
c₁₂ = 0x1 + 1x0 + 1x0 = 0 + 0 + 0 = 0
c₁₃ = 0x1 + 1x1 + 1x0 = 0 + 1 + 0 = 1
c₂₁ = 0x0 + 0x0 + 1x1 = 0 + 0 + 1 = 1
c₂₂ = 0x1 + 0x0 + 1x0 = 0 + 0 + 0 = 0
c₂₃ = 0x1 + 0x1 + 1x0 = 0 + 0 + 0 = 0
c₃₁ = 1x0 + 0x0 + 0x1 = 0 + 0 + 0 = 0
c₃₂ = 1x1 + 0x0 + 0x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₃₃ = 1x1 + 0x1 + 0x0 = 1 + 0 + 0 = 1
M² = [ 1 0 1 ]
[ 1 0 0 ]
[ 0 1 1 ]
Interpretation :
- m²₁₁ = 1 : il existe 1 chemin de longueur 2 de A vers A (A -> C -> A).
- m²₁₃ = 1 : il existe 1 chemin de longueur 2 de A vers C (A -> B -> C).
- m²₃₂ = 1 : il existe 1 chemin de longueur 2 de C vers B (C -> A -> B).
Chemins de longueur 3 : calculons M³ = M² x M :
c₁₁ = 1x0 + 0x0 + 1x1 = 0 + 0 + 1 = 1
c₁₂ = 1x1 + 0x0 + 1x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₁₃ = 1x1 + 0x1 + 1x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₂₁ = 1x0 + 0x0 + 0x1 = 0 + 0 + 0 = 0
c₂₂ = 1x1 + 0x0 + 0x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₂₃ = 1x1 + 0x1 + 0x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₃₁ = 0x0 + 1x0 + 1x1 = 0 + 0 + 1 = 1
c₃₂ = 0x1 + 1x0 + 1x0 = 0 + 0 + 0 = 0
c₃₃ = 0x1 + 1x1 + 1x0 = 0 + 1 + 0 = 1
M³ = [ 1 1 1 ]
[ 0 1 1 ]
[ 1 0 1 ]
Interpretation : m³₁₂ = 1 signifie qu'il existe 1 chemin de longueur 3 de A vers B (par exemple A -> C -> A -> B).
9.3 Matrice de transition (chaines de Markov)
Dans une chaine de Markov, on associe a chaque graphe pondere une matrice de transition T ou tᵢⱼ est la probabilite de passer du sommet i au sommet j.
Propriete : la somme de chaque ligne vaut 1.
Exemple :
T = [ 0.3 0.7 ]
[ 0.4 0.6 ]
Lecture : depuis l'etat 1, probabilite 0.3 de rester en 1 et 0.7 d'aller en 2.
Verification : 0.3 + 0.7 = 1 et 0.4 + 0.6 = 1.
Si la distribution initiale est P₀ = [1 0] (on est dans l'etat 1), la distribution apres 1 etape est :
P₁ = P₀ x T = [1 0] x [ 0.3 0.7 ] = [ 1 x 0.3 + 0 x 0.4, 1 x 0.7 + 0 x 0.6 ] = [ 0.3 0.7 ]
[ 0.4 0.6 ]
Apres 2 etapes : P₂ = P₁ x T.
P₂ = [0.3 0.7] x [ 0.3 0.7 ]
[ 0.4 0.6 ]
composante 1 : 0.3 x 0.3 + 0.7 x 0.4 = 0.09 + 0.28 = 0.37
composante 2 : 0.3 x 0.7 + 0.7 x 0.6 = 0.21 + 0.42 = 0.63
P₂ = [ 0.37 0.63 ]
10. Applications informatiques
10.1 Transformations geometriques
Les matrices permettent de representer des transformations du plan.
Translation (en coordonnees homogenes) :
Pour translater un point (x, y) de (tx, ty) :
[ 1 0 tx ] [ x ] [ x + tx ]
[ 0 1 ty ] [ y ] = [ y + ty ]
[ 0 0 1 ] [ 1 ] [ 1 ]
Rotation d'angle theta autour de l'origine :
[ cos(theta) -sin(theta) ] [ x ] [ x.cos(theta) - y.sin(theta) ]
[ sin(theta) cos(theta) ] [ y ] = [ x.sin(theta) + y.cos(theta) ]
Exemple : rotation de 90 degres (cos 90 = 0, sin 90 = 1).
R = [ 0 -1 ]
[ 1 0 ]
Appliquee au point (3, 2) :
[ 0 -1 ] [ 3 ] [ 0 x 3 + (-1) x 2 ] [ -2 ]
[ 1 0 ] [ 2 ] = [ 1 x 3 + 0 x 2 ] = [ 3 ]
Le point (3, 2) est transforme en (-2, 3).
Homothetie (mise a l'echelle) de facteur k :
[ k 0 ] [ x ] [ kx ]
[ 0 k ] [ y ] = [ ky ]
10.2 PageRank simplifie
Le PageRank de Google modelise le web comme un graphe. Chaque page est un sommet, chaque lien est un arc. La matrice de transition T represente les probabilites de naviguer d'une page a une autre.
Principe : si une page a n liens sortants, chaque lien transmet une probabilite 1/n.
Exemple avec 3 pages :
- Page 1 pointe vers Page 2 et Page 3.
- Page 2 pointe vers Page 3.
- Page 3 pointe vers Page 1.
Matrice de transition :
P1 P2 P3
T = [ 0 1/2 1/2 ] P1 (2 liens sortants, chacun vaut 1/2)
[ 0 0 1 ] P2 (1 lien sortant)
[ 1 0 0 ] P3 (1 lien sortant)
En partant de la distribution uniforme P₀ = [1/3 1/3 1/3], on itere P_{n+1} = P_n x T.
P₁ = [1/3 1/3 1/3] x T
composante 1 : (1/3) x 0 + (1/3) x 0 + (1/3) x 1 = 0 + 0 + 1/3 = 1/3
composante 2 : (1/3) x (1/2) + (1/3) x 0 + (1/3) x 0 = 1/6 + 0 + 0 = 1/6
composante 3 : (1/3) x (1/2) + (1/3) x 1 + (1/3) x 0 = 1/6 + 1/3 + 0 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
P₁ = [1/3 1/6 1/2]
La Page 3 a le score le plus eleve (1/2), ce qui est logique car elle recoit des liens de la Page 1 et de la Page 2.
10.3 Chaines de Markov : distribution stationnaire
La distribution stationnaire pi est le vecteur tel que pi x T = pi et la somme des composantes vaut 1.
Cela revient a resoudre un systeme d'equations lineaires.
Exemple avec la matrice :
T = [ 0.2 0.8 ]
[ 0.5 0.5 ]
On cherche pi = [pi₁ pi₂] tel que pi x T = pi et pi₁ + pi₂ = 1.
pi₁ = 0.2 x pi₁ + 0.5 x pi₂
pi₂ = 0.8 x pi₁ + 0.5 x pi₂
Premiere equation :
pi₁ = 0.2 pi₁ + 0.5 pi₂
pi₁ - 0.2 pi₁ = 0.5 pi₂
0.8 pi₁ = 0.5 pi₂
pi₂ = (0.8/0.5) pi₁ = 1.6 pi₁
Avec pi₁ + pi₂ = 1 :
pi₁ + 1.6 pi₁ = 1
2.6 pi₁ = 1
pi₁ = 1/2.6 = 5/13
pi₂ = 1.6 x (5/13) = 8/13
Distribution stationnaire : pi = [5/13, 8/13], soit environ [0.385, 0.615].
11. Exercices d'examen corriges
Exercice 1 : Addition et scalaire
Soit A = [2 -1 ; 3 4] et B = [1 5 ; -2 0]. Calculer 2A + 3B.
Correction :
Etape 1 : calculer 2A.
2A = [ 2 x 2 2 x (-1) ] = [ 4 -2 ]
[ 2 x 3 2 x 4 ] [ 6 8 ]
Etape 2 : calculer 3B.
3B = [ 3 x 1 3 x 5 ] = [ 3 15 ]
[ 3 x (-2) 3 x 0 ] [ -6 0 ]
Etape 3 : additionner.
2A + 3B = [ 4 + 3 -2 + 15 ] = [ 7 13 ]
[ 6 + (-6) 8 + 0 ] [ 0 8 ]
Exercice 2 : Multiplication 2 x 2
Soit A = [3 1 ; 2 4] et B = [1 -2 ; 0 5]. Calculer AB et BA. Verifier que AB est different de BA.
Correction :
Calcul de AB :
c₁₁ = 3 x 1 + 1 x 0 = 3 + 0 = 3
c₁₂ = 3 x (-2) + 1 x 5 = -6 + 5 = -1
c₂₁ = 2 x 1 + 4 x 0 = 2 + 0 = 2
c₂₂ = 2 x (-2) + 4 x 5 = -4 + 20 = 16
AB = [ 3 -1 ]
[ 2 16 ]
Calcul de BA :
c₁₁ = 1 x 3 + (-2) x 2 = 3 - 4 = -1
c₁₂ = 1 x 1 + (-2) x 4 = 1 - 8 = -7
c₂₁ = 0 x 3 + 5 x 2 = 0 + 10 = 10
c₂₂ = 0 x 1 + 5 x 4 = 0 + 20 = 20
BA = [ -1 -7 ]
[ 10 20 ]
AB est different de BA. La multiplication matricielle n'est pas commutative.
Exercice 3 : Determinant 2 x 2
Calculer le determinant de M = [4 -3 ; 6 2].
Correction :
det(M) = 4 x 2 - (-3) x 6
= 8 - (-18)
= 8 + 18
= 26
Exercice 4 : Determinant 3 x 3 par Sarrus
Calculer le determinant de :
A = [ 2 1 3 ]
[ 0 -1 4 ]
[ 1 2 1 ]
Correction :
Diagonales descendantes :
D₁ = 2 x (-1) x 1 = -2
D₂ = 1 x 4 x 1 = 4
D₃ = 3 x 0 x 2 = 0
Diagonales montantes :
D₄ = 3 x (-1) x 1 = -3
D₅ = 2 x 4 x 2 = 16
D₆ = 1 x 0 x 1 = 0
det(A) = (-2) + 4 + 0 - (-3) - 16 - 0
= -2 + 4 + 0 + 3 - 16 - 0
= 5 - 16
= -11
Exercice 5 : Inverse d'une matrice 2 x 2
Calculer l'inverse de A = [5 2 ; 3 1]. Verifier.
Correction :
Determinant :
det(A) = 5 x 1 - 2 x 3 = 5 - 6 = -1
Inverse :
A⁻¹ = (1/(-1)) x [ 1 -2 ]
[ -3 5 ]
A⁻¹ = [ -1 2 ]
[ 3 -5 ]
Verification A x A⁻¹ :
c₁₁ = 5 x (-1) + 2 x 3 = -5 + 6 = 1
c₁₂ = 5 x 2 + 2 x (-5) = 10 - 10 = 0
c₂₁ = 3 x (-1) + 1 x 3 = -3 + 3 = 0
c₂₂ = 3 x 2 + 1 x (-5) = 6 - 5 = 1
A x A⁻¹ = [ 1 0 ] = I₂. Verifie.
[ 0 1 ]
Exercice 6 : Systeme 2 x 2 par inversion
Resoudre le systeme :
{ 5x + 2y = 12
{ 3x + y = 7
Correction :
Matrice A = [5 2 ; 3 1], B = [12 ; 7].
D'apres l'exercice 5, A⁻¹ = [-1 2 ; 3 -5].
X = A⁻¹ x B :
x = (-1) x 12 + 2 x 7 = -12 + 14 = 2
y = 3 x 12 + (-5) x 7 = 36 - 35 = 1
Solution : x = 2, y = 1.
Verification : 5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12. Correct. 3(2) + 1 = 7. Correct.
Exercice 7 : Systeme 2 x 2 par Cramer
Resoudre le systeme :
{ 4x - 3y = 1
{ 2x + 5y = 19
Correction :
det(A) = 4 x 5 - (-3) x 2 = 20 + 6 = 26
det(A₁) = det[ 1 -3 ] = 1 x 5 - (-3) x 19 = 5 + 57 = 62
[ 19 5 ]
det(A₂) = det[ 4 1 ] = 4 x 19 - 1 x 2 = 76 - 2 = 74
[ 2 19 ]
x = 62 / 26 = 31/13
y = 74 / 26 = 37/13
Verification : 4 x (31/13) - 3 x (37/13) = 124/13 - 111/13 = 13/13 = 1. Correct.
Exercice 8 : Pivot de Gauss 3 x 3
Resoudre le systeme par le pivot de Gauss :
{ x + y + z = 6
{ 2x + 3y + z = 14
{ x + 2y - z = 2
Correction :
Matrice augmentee :
[ 1 1 1 | 6 ] L₁
[ 2 3 1 | 14 ] L₂
[ 1 2 -1 | 2 ] L₃
L₂ ← L₂ - 2L₁ :
2 - 2x1 = 0, 3 - 2x1 = 1, 1 - 2x1 = -1, 14 - 2x6 = 2
L₃ ← L₃ - L₁ :
1 - 1 = 0, 2 - 1 = 1, -1 - 1 = -2, 2 - 6 = -4
[ 1 1 1 | 6 ] L₁
[ 0 1 -1 | 2 ] L₂
[ 0 1 -2 | -4 ] L₃
L₃ ← L₃ - L₂ :
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, -2 - (-1) = -1, -4 - 2 = -6
[ 1 1 1 | 6 ] L₁
[ 0 1 -1 | 2 ] L₂
[ 0 0 -1 | -6 ] L₃
Remontee :
De L₃ : -z = -6, donc z = 6.
De L₂ : y - z = 2, donc y - 6 = 2, donc y = 8.
De L₁ : x + y + z = 6, donc x + 8 + 6 = 6, donc x = 6 - 14 = -8.
Solution : x = -8, y = 8, z = 6.
Verification equation 2 : 2(-8) + 3(8) + 6 = -16 + 24 + 6 = 14. Correct. Verification equation 3 : (-8) + 2(8) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. Correct.
Exercice 9 : Puissance de matrice et graphe
Soit le graphe oriente de matrice d'adjacence :
M = [ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
[ 1 1 0 ]
a) Combien de chemins de longueur 2 vont du sommet 3 au sommet 1 ? b) Calculer M² et repondre.
Correction :
Calcul de M² = M x M :
c₁₁ = 0x0 + 1x0 + 0x1 = 0
c₁₂ = 0x1 + 1x0 + 0x1 = 0
c₁₃ = 0x0 + 1x1 + 0x0 = 1
c₂₁ = 0x0 + 0x0 + 1x1 = 1
c₂₂ = 0x1 + 0x0 + 1x1 = 1
c₂₃ = 0x0 + 0x1 + 1x0 = 0
c₃₁ = 1x0 + 1x0 + 0x1 = 0
c₃₂ = 1x1 + 1x0 + 0x1 = 1
c₃₃ = 1x0 + 1x1 + 0x0 = 1
M² = [ 0 0 1 ]
[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
Reponse a) : le coefficient m²₃₁ = 0. Il n'existe aucun chemin de longueur 2 du sommet 3 au sommet 1.
Reponse b) : m²₃₃ = 1 signifie qu'il existe 1 chemin de longueur 2 du sommet 3 a lui-meme (3 -> 1 -> ... non, verifions : 3 -> 2 -> 3 ? arc 3->2 existe (m₃₂=1), arc 2->3 existe (m₂₃=1). Oui, le chemin 3 -> 2 -> 3 est de longueur 2).
Exercice 10 : Chaine de Markov
Une machine peut etre dans deux etats : Fonctionnement (F) ou Panne (P). La matrice de transition est :
F P
T = [ 0.9 0.1 ] F
[ 0.6 0.4 ] P
Initialement, la machine est en fonctionnement : P₀ = [1 0].
a) Quelle est la distribution apres 1 etape ? b) Quelle est la distribution apres 2 etapes ? c) Determiner la distribution stationnaire.
Correction :
a) P₁ = P₀ x T :
composante F : 1 x 0.9 + 0 x 0.6 = 0.9
composante P : 1 x 0.1 + 0 x 0.4 = 0.1
P₁ = [0.9 0.1]
b) P₂ = P₁ x T :
composante F : 0.9 x 0.9 + 0.1 x 0.6 = 0.81 + 0.06 = 0.87
composante P : 0.9 x 0.1 + 0.1 x 0.4 = 0.09 + 0.04 = 0.13
P₂ = [0.87 0.13]
c) Distribution stationnaire pi = [pi_F, pi_P] telle que pi x T = pi.
pi_F = 0.9 pi_F + 0.6 pi_P
pi_F - 0.9 pi_F = 0.6 pi_P
0.1 pi_F = 0.6 pi_P
pi_F = 6 pi_P
Avec pi_F + pi_P = 1 :
6 pi_P + pi_P = 1
7 pi_P = 1
pi_P = 1/7
pi_F = 6/7
Distribution stationnaire : pi = [6/7, 1/7], soit environ [0.857, 0.143].
Interpretation : a long terme, la machine est en fonctionnement environ 85.7% du temps.
Exercice 11 : Determinant et inversibilite
Pour quelles valeurs de k la matrice suivante est-elle inversible ?
A = [ k 2 ]
[ k+1 k ]
Correction :
A est inversible si et seulement si det(A) est different de 0.
det(A) = k x k - 2 x (k+1)
= k² - 2k - 2
Resolvons k² - 2k - 2 = 0.
Discriminant :
Delta = (-2)² - 4 x 1 x (-2) = 4 + 8 = 12
k = (2 + racine(12)) / 2 ou k = (2 - racine(12)) / 2
= (2 + 2 racine(3)) / 2 = (2 - 2 racine(3)) / 2
= 1 + racine(3) = 1 - racine(3)
Conclusion : A est inversible pour tout k different de 1 + racine(3) et 1 - racine(3).
Exercice 12 : Inverse 3 x 3 et systeme
Resoudre le systeme en utilisant la matrice inverse :
{ 2x + y = 5
{ x + 2z = 5
{ y + z = 3
Correction :
Matrice A et vecteur B :
A = [ 2 1 0 ] B = [ 5 ]
[ 1 0 2 ] [ 5 ]
[ 0 1 1 ] [ 3 ]
Etape 1 : det(A) par Sarrus.
D₁ = 2 x 0 x 1 = 0
D₂ = 1 x 2 x 0 = 0
D₃ = 0 x 1 x 1 = 0
D₄ = 0 x 0 x 0 = 0
D₅ = 2 x 2 x 1 = 4
D₆ = 1 x 1 x 1 = 1
det(A) = 0 + 0 + 0 - 0 - 4 - 1 = -5
Etape 2 : cofacteurs.
C₁₁ = (+1) x det[ 0 2 ] = 0 x 1 - 2 x 1 = -2
[ 1 1 ]
C₁₂ = (-1) x det[ 1 2 ] = (-1) x (1 x 1 - 2 x 0) = (-1) x 1 = -1
[ 0 1 ]
C₁₃ = (+1) x det[ 1 0 ] = 1 x 1 - 0 x 0 = 1
[ 0 1 ]
C₂₁ = (-1) x det[ 1 0 ] = (-1) x (1 x 1 - 0 x 1) = (-1) x 1 = -1
[ 1 1 ]
C₂₂ = (+1) x det[ 2 0 ] = 2 x 1 - 0 x 0 = 2
[ 0 1 ]
C₂₃ = (-1) x det[ 2 1 ] = (-1) x (2 x 1 - 1 x 0) = (-1) x 2 = -2
[ 0 1 ]
C₃₁ = (+1) x det[ 1 0 ] = 1 x 2 - 0 x 0 = 2
[ 0 2 ]
C₃₂ = (-1) x det[ 2 0 ] = (-1) x (2 x 2 - 0 x 1) = (-1) x 4 = -4
[ 1 2 ]
C₃₃ = (+1) x det[ 2 1 ] = 2 x 0 - 1 x 1 = -1
[ 1 0 ]
Matrice des cofacteurs et transposee :
Com(A) = [ -2 -1 1 ]
[ -1 2 -2 ]
[ 2 -4 -1 ]
Com(A)ᵀ = [ -2 -1 2 ]
[ -1 2 -4 ]
[ 1 -2 -1 ]
Inverse :
A⁻¹ = (1/(-5)) x [ -2 -1 2 ] [ 2/5 1/5 -2/5 ]
[ -1 2 -4 ] = [ 1/5 -2/5 4/5 ]
[ 1 -2 -1 ] [ -1/5 2/5 1/5 ]
Etape 3 : X = A⁻¹ x B.
x = (2/5) x 5 + (1/5) x 5 + (-2/5) x 3
= 10/5 + 5/5 - 6/5
= (10 + 5 - 6) / 5
= 9/5
y = (1/5) x 5 + (-2/5) x 5 + (4/5) x 3
= 5/5 - 10/5 + 12/5
= (5 - 10 + 12) / 5
= 7/5
z = (-1/5) x 5 + (2/5) x 5 + (1/5) x 3
= -5/5 + 10/5 + 3/5
= (-5 + 10 + 3) / 5
= 8/5
Solution : x = 9/5, y = 7/5, z = 8/5.
Verification equation 1 : 2(9/5) + 7/5 = 18/5 + 7/5 = 25/5 = 5. Correct. Verification equation 2 : 9/5 + 2(8/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5. Correct. Verification equation 3 : 7/5 + 8/5 = 15/5 = 3. Correct.
Exercice 13 : Multiplication et transposee
Soit A = [1 2 ; 3 4] et B = [0 1 ; -1 2]. Verifier que (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
Correction :
Calcul de AB :
c₁₁ = 1 x 0 + 2 x (-1) = 0 - 2 = -2
c₁₂ = 1 x 1 + 2 x 2 = 1 + 4 = 5
c₂₁ = 3 x 0 + 4 x (-1) = 0 - 4 = -4
c₂₂ = 3 x 1 + 4 x 2 = 3 + 8 = 11
AB = [ -2 5 ]
[ -4 11 ]
Transposee :
(AB)ᵀ = [ -2 -4 ]
[ 5 11 ]
Maintenant calculons BᵀAᵀ :
Bᵀ = [ 0 -1 ] Aᵀ = [ 1 3 ]
[ 1 2 ] [ 2 4 ]
BᵀAᵀ :
c₁₁ = 0 x 1 + (-1) x 2 = 0 - 2 = -2
c₁₂ = 0 x 3 + (-1) x 4 = 0 - 4 = -4
c₂₁ = 1 x 1 + 2 x 2 = 1 + 4 = 5
c₂₂ = 1 x 3 + 2 x 4 = 3 + 8 = 11
BᵀAᵀ = [ -2 -4 ]
[ 5 11 ]
On verifie bien que (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
Exercice 14 : Matrice d'adjacence et chemins
Soit un graphe oriente a 4 sommets {1, 2, 3, 4} de matrice d'adjacence :
M = [ 0 1 0 1 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 1 0 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
a) Dessiner le graphe. b) Calculer M² et en deduire le nombre de chemins de longueur 2 du sommet 1 au sommet 3.
Correction :
a) Arcs du graphe :
- 1 -> 2 (m₁₂ = 1)
- 1 -> 4 (m₁₄ = 1)
- 2 -> 3 (m₂₃ = 1)
- 3 -> 1 (m₃₁ = 1)
- 4 -> 3 (m₄₃ = 1)
b) Calcul de M² = M x M :
m²₁₁ = 0x0 + 1x0 + 0x1 + 1x0 = 0
m²₁₂ = 0x1 + 1x0 + 0x0 + 1x0 = 0
m²₁₃ = 0x0 + 1x1 + 0x0 + 1x1 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2
m²₁₄ = 0x1 + 1x0 + 0x0 + 1x0 = 0
m²₂₁ = 0x0 + 0x0 + 1x1 + 0x0 = 1
m²₂₂ = 0x1 + 0x0 + 1x0 + 0x0 = 0
m²₂₃ = 0x0 + 0x1 + 1x0 + 0x1 = 0
m²₂₄ = 0x1 + 0x0 + 1x0 + 0x0 = 0
m²₃₁ = 1x0 + 0x0 + 0x1 + 0x0 = 0
m²₃₂ = 1x1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 1
m²₃₃ = 1x0 + 0x1 + 0x0 + 0x1 = 0
m²₃₄ = 1x1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 1
m²₄₁ = 0x0 + 0x0 + 1x1 + 0x0 = 1
m²₄₂ = 0x1 + 0x0 + 1x0 + 0x0 = 0
m²₄₃ = 0x0 + 0x1 + 1x0 + 0x1 = 0
m²₄₄ = 0x1 + 0x0 + 1x0 + 0x0 = 0
M² = [ 0 0 2 0 ]
[ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 1 ]
[ 1 0 0 0 ]
Reponse : m²₁₃ = 2. Il existe 2 chemins de longueur 2 du sommet 1 au sommet 3 :
- Chemin 1 : 1 -> 2 -> 3
- Chemin 2 : 1 -> 4 -> 3
Exercice 15 : Systeme 3 x 3 complet par Gauss
Resoudre par le pivot de Gauss :
{ 2x + y - z = 1
{ x - y + 2z = 5
{ 3x + 2y + z = 8
Correction :
Matrice augmentee :
[ 2 1 -1 | 1 ] L₁
[ 1 -1 2 | 5 ] L₂
[ 3 2 1 | 8 ] L₃
Pour simplifier, echangeons L₁ et L₂ (pour avoir un pivot de 1) :
[ 1 -1 2 | 5 ] L₁
[ 2 1 -1 | 1 ] L₂
[ 3 2 1 | 8 ] L₃
L₂ ← L₂ - 2L₁ :
2 - 2x1 = 0
1 - 2x(-1) = 1 + 2 = 3
-1 - 2x2 = -1 - 4 = -5
1 - 2x5 = 1 - 10 = -9
L₃ ← L₃ - 3L₁ :
3 - 3x1 = 0
2 - 3x(-1) = 2 + 3 = 5
1 - 3x2 = 1 - 6 = -5
8 - 3x5 = 8 - 15 = -7
[ 1 -1 2 | 5 ] L₁
[ 0 3 -5 | -9 ] L₂
[ 0 5 -5 | -7 ] L₃
L₃ ← L₃ - (5/3)L₂ :
0 - (5/3) x 0 = 0
5 - (5/3) x 3 = 5 - 5 = 0
-5 - (5/3) x (-5) = -5 + 25/3 = -15/3 + 25/3 = 10/3
-7 - (5/3) x (-9) = -7 + 45/3 = -7 + 15 = 8
[ 1 -1 2 | 5 ] L₁
[ 0 3 -5 | -9 ] L₂
[ 0 0 10/3 | 8 ] L₃
Remontee :
De L₃ : (10/3)z = 8, donc z = 8 x (3/10) = 24/10 = 12/5.
De L₂ : 3y - 5z = -9, donc 3y - 5 x (12/5) = -9, donc 3y - 12 = -9, donc 3y = 3, donc y = 1.
De L₁ : x - y + 2z = 5, donc x - 1 + 2 x (12/5) = 5, donc x - 1 + 24/5 = 5, donc x = 5 + 1 - 24/5 = 6 - 24/5 = 30/5 - 24/5 = 6/5.
Solution : x = 6/5, y = 1, z = 12/5.
Verification equation 1 : 2(6/5) + 1 - (12/5) = 12/5 + 5/5 - 12/5 = 5/5 = 1. Correct. Verification equation 2 : (6/5) - 1 + 2(12/5) = 6/5 - 5/5 + 24/5 = 25/5 = 5. Correct. Verification equation 3 : 3(6/5) + 2(1) + (12/5) = 18/5 + 10/5 + 12/5 = 40/5 = 8. Correct.
Exercice 16 : Transformation geometrique
On applique la rotation de 90 degres au triangle de sommets A(1, 0), B(2, 1), C(0, 3). Determiner les coordonnees des sommets transformes.
Correction :
Matrice de rotation de 90 degres :
R = [ 0 -1 ]
[ 1 0 ]
Sommet A(1, 0) :
[ 0 -1 ] [ 1 ] [ 0 x 1 + (-1) x 0 ] [ 0 ]
[ 1 0 ] [ 0 ] = [ 1 x 1 + 0 x 0 ] = [ 1 ]
A' = (0, 1).
Sommet B(2, 1) :
[ 0 -1 ] [ 2 ] [ 0 x 2 + (-1) x 1 ] [ -1 ]
[ 1 0 ] [ 1 ] = [ 1 x 2 + 0 x 1 ] = [ 2 ]
B' = (-1, 2).
Sommet C(0, 3) :
[ 0 -1 ] [ 0 ] [ 0 x 0 + (-1) x 3 ] [ -3 ]
[ 1 0 ] [ 3 ] = [ 1 x 0 + 0 x 3 ] = [ 0 ]
C' = (-3, 0).
Exercice 17 : Matrice de transition et PageRank
Quatre pages web A, B, C, D sont liees ainsi :
- A pointe vers B et C
- B pointe vers D
- C pointe vers A et D
- D pointe vers A
a) Ecrire la matrice de transition. b) A partir de P₀ = [1/4, 1/4, 1/4, 1/4], calculer P₁.
Correction :
a) Matrice de transition :
A B C D
T = [ 0 1/2 1/2 0 ] A (2 liens sortants)
[ 0 0 0 1 ] B (1 lien sortant)
[ 1/2 0 0 1/2 ] C (2 liens sortants)
[ 1 0 0 0 ] D (1 lien sortant)
b) P₁ = P₀ x T :
Composante A :
(1/4) x 0 + (1/4) x 0 + (1/4) x (1/2) + (1/4) x 1
= 0 + 0 + 1/8 + 1/4
= 1/8 + 2/8
= 3/8
Composante B :
(1/4) x (1/2) + (1/4) x 0 + (1/4) x 0 + (1/4) x 0
= 1/8 + 0 + 0 + 0
= 1/8
Composante C :
(1/4) x (1/2) + (1/4) x 0 + (1/4) x 0 + (1/4) x 0
= 1/8
Composante D :
(1/4) x 0 + (1/4) x 1 + (1/4) x (1/2) + (1/4) x 0
= 0 + 1/4 + 1/8 + 0
= 2/8 + 1/8
= 3/8
P₁ = [3/8, 1/8, 1/8, 3/8].
La page A et la page D ont les scores les plus eleves, ce qui est coherent car elles recoivent le plus de liens entrants.
12. Resume des formules essentielles
| Notion | Formule |
|---|---|
| Determinant 2x2 | det = ad - bc |
| Determinant 3x3 (Sarrus) | D₁+D₂+D₃-D₄-D₅-D₆ |
| Inverse 2x2 | (1/det) x [d, -b ; -c, a] |
| Inverse 3x3 | (1/det) x Com(A)ᵀ |
| Cramer | xᵢ = det(Aᵢ) / det(A) |
| Chemins de longueur k | Coefficient (i,j) de Mᵏ |
| Distribution a l'etape n | Pₙ = P₀ x Tⁿ |
| Distribution stationnaire | pi x T = pi, somme = 1 |
| Condition inversibilite | det(A) different de 0 |
| Compatibilite produit | Colonnes de A = Lignes de B |
13. Erreurs frequentes a eviter
-
Oublier de verifier la compatibilite avant de multiplier deux matrices. Le nombre de colonnes de la premiere doit etre egal au nombre de lignes de la seconde.
-
Croire que AB = BA. La multiplication matricielle n'est pas commutative. Toujours verifier l'ordre.
-
Confondre ligne et colonne dans la regle de multiplication. C'est ligne de la premiere matrice par colonne de la seconde.
-
Erreur de signe dans le determinant 3x3. Bien reperer les diagonales descendantes (positives) et montantes (negatives). Attention aux signes des cofacteurs : le signe alterne selon (-1)^(i+j).
-
Oublier la condition det(A) different de 0 avant d'inverser une matrice ou d'appliquer la methode de Cramer.
-
Ne pas verifier le resultat. Toujours verifier que A x A⁻¹ = I ou que la solution satisfait le systeme original.
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Erreur dans la transposee de la comatrice. Bien transposer (echanger lignes et colonnes) avant de diviser par le determinant.
-
Oublier de recopier les colonnes dans Sarrus. La regle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3x3 et necessite de recopier les deux premieres colonnes a droite.
-
Confondre matrice d'adjacence et matrice de transition. La matrice d'adjacence contient des 0 et des 1. La matrice de transition contient des probabilites dont la somme par ligne vaut 1.
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Erreur dans le pivot de Gauss. Bien appliquer l'operation a toute la ligne, y compris le second membre. Ne pas oublier de propager les fractions.