Mathématiques — Suites numériques

1. Definitions generales

1.1 Qu'est-ce qu'une suite ?

Une suite numerique est une fonction de N (ensemble des entiers naturels) vers R (ensemble des reels). Elle associe a chaque entier naturel n un nombre reel note U(n) ou Un.

On note la suite (Un) et chaque valeur U0, U1, U2, ... est un terme de la suite. L'entier n est appele indice ou rang du terme.

1.2 Suite definie de maniere explicite

Une suite est explicite lorsque l'on peut calculer directement n'importe quel terme a partir de son indice n, sans connaitre les termes precedents.

Exemple : Un = 3n + 2

U0 = 3 x 0 + 2 = 0 + 2 = 2
U1 = 3 x 1 + 2 = 3 + 2 = 5
U5 = 3 x 5 + 2 = 15 + 2 = 17
U100 = 3 x 100 + 2 = 300 + 2 = 302

On peut calculer U100 directement, sans calculer U0 a U99.

1.3 Suite definie par recurrence

Une suite est recurrente (ou definie par recurrence) lorsque chaque terme est calcule a partir du ou des termes precedents. Il faut connaitre le(s) premier(s) terme(s) (condition initiale).

Exemple : U0 = 1 et Un+1 = 2Un + 3

U0 = 1
U1 = 2 x U0 + 3 = 2 x 1 + 3 = 2 + 3 = 5
U2 = 2 x U1 + 3 = 2 x 5 + 3 = 10 + 3 = 13
U3 = 2 x U2 + 3 = 2 x 13 + 3 = 26 + 3 = 29

Pour calculer U100, il faut calculer tous les termes de U0 a U99.

1.4 Recapitulatif

Type	On connait	Pour calculer Un
Explicite	Une formule directe Un = f(n)	On remplace n dans la formule
Recurrente	U0 (ou U1) et une relation Un+1 = f(Un)	On calcule tous les termes precedents

2. Suites arithmetiques

2.1 Definition

Une suite (Un) est arithmetique si chaque terme s'obtient en ajoutant une constante r au terme precedent :

Un+1 = Un + r

Le nombre r est appele la raison de la suite.

Si r > 0, la suite est croissante (les termes augmentent).
Si r < 0, la suite est decroissante (les termes diminuent).
Si r = 0, la suite est constante.

2.2 Terme general

A partir de la definition, on peut developper :

U1 = U0 + r
U2 = U1 + r = (U0 + r) + r = U0 + 2r
U3 = U2 + r = (U0 + 2r) + r = U0 + 3r
U4 = U3 + r = (U0 + 3r) + r = U0 + 4r

On observe le motif : a chaque rang n, on a ajoute r exactement n fois a U0.

Formule du terme general : Un = U0 + n x r

Si la suite commence au rang 1 (premier terme U1), la formule devient :

Un = U1 + (n - 1) x r

2.3 Calcul de la raison r

Si l'on connait deux termes consecutifs :

r = Un+1 - Un

Si l'on connait deux termes quelconques Up et Uq (avec p different de q) :

r = (Uq - Up) / (q - p)

Exemple : U3 = 11 et U7 = 27. Calculer r.

r = (U7 - U3) / (7 - 3) = (27 - 11) / 4 = 16 / 4 = 4

La raison vaut r = 4.

2.4 Calcul de U0

Connaissant un terme Up et la raison r :

U0 = Up - p x r

Exemple : U5 = 23 et r = 4. Calculer U0.

U0 = U5 - 5 x r = 23 - 5 x 4 = 23 - 20 = 3

2.5 Verifier qu'une suite est arithmetique

On calcule Un+1 - Un pour tout n. Si le resultat est une constante (independante de n), la suite est arithmetique et cette constante est la raison.

Exemple : Un = 5n + 3. Est-ce arithmetique ?

Un+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8

Un+1 - Un = (5n + 8) - (5n + 3) = 5n + 8 - 5n - 3 = 5

Le resultat est 5, constante. La suite est arithmetique de raison r = 5.

3. Somme des termes d'une suite arithmetique

3.1 Formule

La somme des n premiers termes (de U1 a Un) est :

S = n x (U1 + Un) / 2

Variante : la somme des (n + 1) termes de U0 a Un est :

S = (n + 1) x (U0 + Un) / 2

Formule generale : la somme de (nombre de termes) termes est :

S = nombre de termes x (premier terme + dernier terme) / 2

3.2 Demonstration intuitive (methode de Gauss)

Calculons S = 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Ecrivons la somme dans les deux sens :

S =   1 +   2 +   3 + ... +  98 +  99 + 100
S = 100 +  99 +  98 + ... +   3 +   2 +   1

En additionnant terme a terme :

2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101

Il y a 100 termes, donc :

2S = 100 x 101 = 10 100

S = 10 100 / 2 = 5 050

Cela correspond a S = 100 x (1 + 100) / 2 = 100 x 101 / 2 = 5 050.

3.3 Nombre de termes

Le nombre de termes entre le rang p et le rang q (inclus) est :

Nombre de termes = q - p + 1

Exemple : De U3 a U10, il y a 10 - 3 + 1 = 8 termes.

3.4 Exemple pas a pas

Suite arithmetique : U0 = 2, r = 3. Calculer S = U0 + U1 + U2 + ... + U10.

Etape 1 : Calculer U10. U10 = U0 + 10 x r = 2 + 10 x 3 = 2 + 30 = 32

Etape 2 : Compter le nombre de termes. De U0 a U10 : 10 - 0 + 1 = 11 termes.

Etape 3 : Appliquer la formule. S = 11 x (U0 + U10) / 2 = 11 x (2 + 32) / 2 = 11 x 34 / 2 = 374 / 2 = 187

3.5 Somme des n premiers entiers

Cas particulier tres frequent : 1 + 2 + 3 + ... + n = n x (n + 1) / 2.

Exemple : 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50 x 51 / 2 = 2 550 / 2 = 1 275.

4. Suites geometriques

4.1 Definition

Une suite (Un) est geometrique si chaque terme s'obtient en multipliant le terme precedent par une constante q :

Un+1 = Un x q

Le nombre q est appele la raison de la suite.

Si q > 1, la suite est croissante (termes positifs) ou decroissante (termes negatifs).
Si 0 < q < 1, les termes se rapprochent de 0.
Si q = 1, la suite est constante.
Si q < 0, les termes alternent en signe.

4.2 Terme general

Developpons :

U1 = U0 x q
U2 = U1 x q = (U0 x q) x q = U0 x q^2
U3 = U2 x q = (U0 x q^2) x q = U0 x q^3
U4 = U3 x q = (U0 x q^3) x q = U0 x q^4

Formule du terme general : Un = U0 x q^n

Si la suite commence au rang 1 :

Un = U1 x q^(n-1)

4.3 Calcul de la raison q

Si l'on connait deux termes consecutifs (Un different de 0) :

q = Un+1 / Un

Si l'on connait deux termes quelconques Up et Uq (Up different de 0) :

q^(q-p) = Uq / Up, donc q = (Uq / Up)^(1/(q-p))

Exemple : U2 = 12 et U5 = 96. Calculer q.

q^(5-2) = U5 / U2 = 96 / 12 = 8

q^3 = 8

q = 8^(1/3) = 2

4.4 Calcul de U0

Connaissant un terme Up et la raison q :

U0 = Up / q^p

Exemple : U3 = 40 et q = 2. Calculer U0.

U0 = U3 / q^3 = 40 / 2^3 = 40 / 8 = 5

4.5 Verifier qu'une suite est geometrique

On calcule Un+1 / Un pour tout n (avec Un different de 0). Si le resultat est une constante, la suite est geometrique et cette constante est la raison.

Exemple : Un = 3 x 2^n. Est-ce geometrique ?

Un+1 = 3 x 2^(n+1) = 3 x 2^n x 2

Un+1 / Un = (3 x 2^n x 2) / (3 x 2^n) = 2

Le resultat est 2, constante. La suite est geometrique de raison q = 2.

5. Somme des termes d'une suite geometrique

5.1 Formule

La somme des (n + 1) premiers termes (de U0 a Un), avec q different de 1 :

S = U0 x (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Variante : la somme des n premiers termes (de U1 a Un) avec premier terme U1 :

S = U1 x (1 - q^n) / (1 - q)

Formule a retenir dans sa forme generale :

S = premier terme x (1 - q^(nombre de termes)) / (1 - q)

Si q = 1, tous les termes sont egaux et S = nombre de termes x U0.

5.2 Demonstration

Posons S = U0 + U0 x q + U0 x q^2 + ... + U0 x q^n.

Multiplions par q :

q x S = U0 x q + U0 x q^2 + U0 x q^3 + ... + U0 x q^(n+1)

Soustrayons :

S - q x S = U0 - U0 x q^(n+1)

S x (1 - q) = U0 x (1 - q^(n+1))

S = U0 x (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

5.3 Exemple pas a pas

Suite geometrique : U0 = 3, q = 2. Calculer S = U0 + U1 + ... + U6.

Etape 1 : Compter le nombre de termes. De U0 a U6 : 6 - 0 + 1 = 7 termes.

Etape 2 : Appliquer la formule. S = U0 x (1 - q^7) / (1 - q) S = 3 x (1 - 2^7) / (1 - 2) S = 3 x (1 - 128) / (1 - 2) S = 3 x (-127) / (-1) S = 3 x 127 S = 381

Verification :

U0 = 3
U1 = 3 x 2 = 6
U2 = 3 x 4 = 12
U3 = 3 x 8 = 24
U4 = 3 x 16 = 48
U5 = 3 x 32 = 96
U6 = 3 x 64 = 192

Somme = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381. Confirme.

5.4 Autre exemple

U0 = 1000, q = 0.5. Calculer S = U0 + U1 + U2 + U3 + U4.

Nombre de termes : 5 (de U0 a U4).

S = 1000 x (1 - 0.5^5) / (1 - 0.5) S = 1000 x (1 - 0.03125) / 0.5 S = 1000 x 0.96875 / 0.5 S = 968.75 / 0.5 S = 1 937.5

6. Sens de variation

6.1 Definitions

Une suite est croissante si pour tout n : Un+1 >= Un (ou de facon stricte : Un+1 > Un).
Une suite est decroissante si pour tout n : Un+1 <= Un (ou de facon stricte : Un+1 < Un).
Une suite est constante si pour tout n : Un+1 = Un.

6.2 Methode 1 : etudier Un+1 - Un

On calcule la difference Un+1 - Un :

Si Un+1 - Un > 0 pour tout n, la suite est strictement croissante.
Si Un+1 - Un < 0 pour tout n, la suite est strictement decroissante.
Si Un+1 - Un = 0 pour tout n, la suite est constante.

Exemple : Un = n^2 - 3n.

Un+1 = (n + 1)^2 - 3(n + 1) Un+1 = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 Un+1 = n^2 - n - 2

Un+1 - Un = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) Un+1 - Un = n^2 - n - 2 - n^2 + 3n Un+1 - Un = 2n - 2

Signe de 2n - 2 :

2n - 2 > 0 quand n > 1
2n - 2 = 0 quand n = 1
2n - 2 < 0 quand n < 1, c'est-a-dire n = 0

La suite est decroissante pour n = 0 (U1 < U0), puis croissante a partir de n = 2.

6.3 Methode 2 : etudier Un+1 / Un (termes strictement positifs)

Si tous les termes sont strictement positifs, on calcule Un+1 / Un :

Si Un+1 / Un > 1 pour tout n, la suite est strictement croissante.
Si Un+1 / Un < 1 pour tout n, la suite est strictement decroissante.
Si Un+1 / Un = 1 pour tout n, la suite est constante.

Cette methode est particulierement adaptee aux suites geometriques.

Exemple : Suite geometrique de raison q = 0.8 et U0 = 100 > 0.

Un+1 / Un = q = 0.8 < 1, donc la suite est strictement decroissante.

6.4 Methode 3 : etudier la fonction associee

Si Un = f(n), on peut etudier la fonction f sur [0 ; +inf[. Si f est croissante (respectivement decroissante), alors la suite l'est aussi.

7. Convergence et limites

7.1 Suite arithmetique

Pour une suite arithmetique Un = U0 + n x r :

Si r > 0 : lim(n->+inf) Un = +inf (la suite diverge vers +inf).
Si r < 0 : lim(n->+inf) Un = -inf (la suite diverge vers -inf).
Si r = 0 : Un = U0 pour tout n (la suite converge vers U0).

Une suite arithmetique (r different de 0) ne converge jamais.

7.2 Suite geometrique

Pour une suite geometrique Un = U0 x q^n (avec U0 different de 0) :

Condition sur q	Comportement de q^n	Limite de Un
-1 < q < 1 (soit \|q\| < 1)	q^n tend vers 0	Un tend vers 0
q = 1	q^n = 1	Un = U0 (constante)
q > 1	q^n tend vers +inf	Un tend vers +inf (si U0 > 0) ou -inf (si U0 < 0)
q = -1	q^n alterne entre 1 et -1	Pas de limite (diverge)
q < -1	q^n oscille avec amplitude croissante	Pas de limite (diverge)

Cas fondamental pour le BTS SIO : si |q| < 1, alors la suite geometrique converge vers 0.

7.3 Suite bornee

Une suite est majoree s'il existe un reel M tel que Un <= M pour tout n.
Une suite est minoree s'il existe un reel m tel que Un >= m pour tout n.
Une suite est bornee si elle est a la fois majoree et minoree.

Propriete : Toute suite croissante et majoree converge. Toute suite decroissante et minoree converge.

7.4 Somme infinie d'une suite geometrique

Si |q| < 1, la somme de tous les termes (somme infinie) converge :

S = U0 / (1 - q)

Exemple : U0 = 100, q = 0.5.

S = 100 / (1 - 0.5) = 100 / 0.5 = 200

8. Suites definies par recurrence : calcul et representation

8.1 Calcul des premiers termes

Pour une suite definie par U0 et Un+1 = f(Un), on calcule terme par terme.

Exemple : U0 = 2, Un+1 = 0.5 x Un + 3.

U0 = 2
U1 = 0.5 x 2 + 3 = 1 + 3 = 4
U2 = 0.5 x 4 + 3 = 2 + 3 = 5
U3 = 0.5 x 5 + 3 = 2.5 + 3 = 5.5
U4 = 0.5 x 5.5 + 3 = 2.75 + 3 = 5.75
U5 = 0.5 x 5.75 + 3 = 2.875 + 3 = 5.875

Les termes semblent se rapprocher de 6. En effet, si la suite converge vers une limite L, alors L = 0.5 x L + 3, soit 0.5L = 3, soit L = 6.

8.2 Representation graphique en escalier

Pour representer graphiquement la suite Un+1 = f(Un) :

Tracer la courbe y = f(x).
Tracer la droite y = x (premiere bissectrice).
Placer U0 sur l'axe des abscisses.
Monter verticalement jusqu'a la courbe y = f(x) : on lit U1 en ordonnee.
Aller horizontalement jusqu'a la droite y = x : on reporte U1 sur l'axe des abscisses.
Repeter : monter verticalement vers la courbe, puis horizontalement vers la droite.

Le dessin forme un motif en escalier si la suite est monotone (croissante ou decroissante). Il forme un motif en colimacon (spirale) si les termes oscillent autour de la limite.

8.3 Point fixe

Le point ou la courbe y = f(x) croise la droite y = x est appele point fixe. Si la suite converge, elle converge vers un point fixe. On le trouve en resolvant f(x) = x.

9. Suites et tableur

9.1 Suite arithmetique au tableur

Pour la suite Un = 2 + 3n (U0 = 2, r = 3) :

Cellule	Contenu	Resultat
A1	n	(en-tete)
B1	Un	(en-tete)
A2	0	0
A3	=A2+1	1
B2	2	2 (valeur de U0)
B3	=B2+3	5 (valeur de U1)

On tire les formules A3 et B3 vers le bas pour obtenir autant de termes que souhaite.

Methode explicite alternative pour B2 : =2+A2*3 (formule directe Un = 2 + 3n).

9.2 Suite geometrique au tableur

Pour la suite Un = 5 x 1.1^n (U0 = 5, q = 1.1) :

Cellule	Contenu	Resultat
A2	0	0
A3	=A2+1	1
B2	5	5 (valeur de U0)
B3	=B2*1.1	5.5 (valeur de U1)

Methode explicite : B2 = =5*1.1^A2.

9.3 Somme cumulee au tableur

Ajouter une colonne C pour la somme cumulee :

Cellule	Contenu
C2	=B2
C3	=C2+B3

Tirer C3 vers le bas. La cellule C(n+2) contient la somme U0 + U1 + ... + Un.

10. Applications concretes en informatique et gestion

10.1 Amortissement lineaire

L'amortissement lineaire repartit le cout d'un bien de maniere egale chaque annee.

Principe : Un bien de valeur V est amorti sur N annees. L'annuite constante est a = V / N. La valeur nette comptable (VNC) apres n annees forme une suite arithmetique de raison r = -a.

VNC(n) = V - n x a = V - n x (V / N)

Exemple : Un serveur coute 10 000 euros, amorti sur 5 ans.

Annuite = 10 000 / 5 = 2 000 euros par an.

VNC(0) = 10 000
VNC(1) = 10 000 - 2 000 = 8 000
VNC(2) = 8 000 - 2 000 = 6 000
VNC(3) = 6 000 - 2 000 = 4 000
VNC(4) = 4 000 - 2 000 = 2 000
VNC(5) = 2 000 - 2 000 = 0

Suite arithmetique : U0 = 10 000, r = -2 000.

10.2 Amortissement degressif

L'amortissement degressif applique un taux fixe sur la valeur residuelle. La VNC forme une suite geometrique.

Principe : Taux d'amortissement t (en pourcentage). Chaque annee, on amortit t% de la VNC restante.

VNC(n) = V x (1 - t)^n

C'est une suite geometrique de premier terme V et de raison q = (1 - t).

Exemple : Serveur a 10 000 euros, taux degressif de 40%.

q = 1 - 0.40 = 0.60

VNC(0) = 10 000
VNC(1) = 10 000 x 0.60 = 6 000
VNC(2) = 6 000 x 0.60 = 3 600
VNC(3) = 3 600 x 0.60 = 2 160
VNC(4) = 2 160 x 0.60 = 1 296
VNC(5) = 1 296 x 0.60 = 777.60

10.3 Cout de maintenance informatique croissant

Le cout de maintenance d'un parc informatique augmente souvent chaque annee d'un montant fixe (suite arithmetique) ou d'un pourcentage fixe (suite geometrique).

Exemple arithmetique : Le cout de maintenance la premiere annee est de 5 000 euros et augmente de 800 euros par an.

Un = 5 000 + n x 800, avec n le nombre d'annees ecoulees apres la premiere.

U0 = 5 000, U1 = 5 800, U2 = 6 600, ...

Cout total sur 6 ans (U0 a U5) :

U5 = 5 000 + 5 x 800 = 5 000 + 4 000 = 9 000

S = 6 x (5 000 + 9 000) / 2 = 6 x 14 000 / 2 = 6 x 7 000 = 42 000 euros.

Exemple geometrique : Le cout augmente de 10% par an, partant de 5 000 euros.

Un = 5 000 x 1.10^n.

U5 = 5 000 x 1.10^5 = 5 000 x 1.61051 = 8 052.55 euros.

Cout total sur 6 ans (U0 a U5) :

S = 5 000 x (1 - 1.10^6) / (1 - 1.10) S = 5 000 x (1 - 1.771561) / (-0.10) S = 5 000 x (-0.771561) / (-0.10) S = 5 000 x 7.71561 S = 38 578.05 euros.

10.4 Evolution du parc informatique

Exemple : Une entreprise possede 200 postes. Chaque annee, elle ajoute 50 postes.

Suite arithmetique : P(n) = 200 + 50n.

P(0) = 200, P(1) = 250, P(5) = 200 + 50 x 5 = 200 + 250 = 450 postes.

Variante geometrique : L'entreprise augmente son parc de 15% par an.

P(n) = 200 x 1.15^n.

P(5) = 200 x 1.15^5 = 200 x 2.011357 = 402.27, soit environ 402 postes.

10.5 Placement financier (interets composes)

Un capital C0 place a un taux annuel t (en decimal) donne, apres n annees :

Cn = C0 x (1 + t)^n

C'est une suite geometrique de raison q = 1 + t.

Exemple : 10 000 euros places a 3% par an.

q = 1 + 0.03 = 1.03

C0 = 10 000
C1 = 10 000 x 1.03 = 10 300
C2 = 10 300 x 1.03 = 10 609
C3 = 10 609 x 1.03 = 10 927.27
C5 = 10 000 x 1.03^5 = 10 000 x 1.159274 = 11 592.74
C10 = 10 000 x 1.03^10 = 10 000 x 1.343916 = 13 439.16

10.6 Loi de Moore

La loi de Moore enonce que le nombre de transistors sur une puce double environ tous les 2 ans.

Si T0 est le nombre de transistors au temps initial, apres n periodes de 2 ans :

T(n) = T0 x 2^n

C'est une suite geometrique de raison q = 2.

Exemple : En 2000, une puce contient 42 millions de transistors.

T(0) = 42 000 000 (annee 2000)
T(1) = 42 000 000 x 2 = 84 000 000 (annee 2002)
T(5) = 42 000 000 x 2^5 = 42 000 000 x 32 = 1 344 000 000 (annee 2010)
T(10) = 42 000 000 x 2^10 = 42 000 000 x 1 024 = 43 008 000 000 (annee 2020)

10.7 Complexite algorithmique

Les suites permettent de comprendre la croissance de la complexite algorithmique.

O(n) : complexite lineaire. Le temps d'execution forme une suite arithmetique si l'on incremente la taille de 1 a chaque pas. Exemple : parcourir un tableau de n elements.
O(n^2) : complexite quadratique. Un = n^2 croit beaucoup plus vite. Exemple : tri par selection, double boucle imbriquee.
O(2^n) : complexite exponentielle. Un = 2^n est une suite geometrique de raison 2. Elle explose rapidement. Exemple : exploration de tous les sous-ensembles.
O(log n) : complexite logarithmique. La dichotomie divise l'espace de recherche par 2 a chaque etape, ce qui est l'inverse d'une suite geometrique.

Comparaison pour n = 10 :

n = 10
n^2 = 100
2^n = 1 024
log2(n) = 3.32 (arrondi)

11. Exercices corriges

Exercice 1 : Identifier et calculer (suite arithmetique)

Enonce : Une suite (Un) est arithmetique de premier terme U0 = 7 et de raison r = 4. Calculer U1, U5, U20.

Correction :

Formule : Un = U0 + n x r = 7 + n x 4.

U1 = 7 + 1 x 4 = 7 + 4 = 11

U5 = 7 + 5 x 4 = 7 + 20 = 27

U20 = 7 + 20 x 4 = 7 + 80 = 87

Exercice 2 : Trouver la raison et U0

Enonce : Une suite arithmetique verifie U3 = 19 et U8 = 39. Determiner r et U0.

Correction :

r = (U8 - U3) / (8 - 3) = (39 - 19) / 5 = 20 / 5 = 4

U0 = U3 - 3 x r = 19 - 3 x 4 = 19 - 12 = 7

Verification : U8 = U0 + 8 x r = 7 + 8 x 4 = 7 + 32 = 39. Correct.

Exercice 3 : Somme arithmetique

Enonce : Calculer la somme S = U0 + U1 + ... + U12 pour la suite arithmetique U0 = 5, r = 3.

Correction :

Etape 1 : Nombre de termes. De U0 a U12 : 12 - 0 + 1 = 13 termes.

Etape 2 : Calculer U12. U12 = U0 + 12 x r = 5 + 12 x 3 = 5 + 36 = 41

Etape 3 : Appliquer la formule. S = 13 x (U0 + U12) / 2 S = 13 x (5 + 41) / 2 S = 13 x 46 / 2 S = 598 / 2 S = 299

Exercice 4 : Suite geometrique - termes

Enonce : Suite geometrique : U0 = 3, q = 2. Calculer U4, U8.

Correction :

Formule : Un = U0 x q^n = 3 x 2^n.

U4 = 3 x 2^4 = 3 x 16 = 48

U8 = 3 x 2^8 = 3 x 256 = 768

Exercice 5 : Trouver la raison geometrique

Enonce : Suite geometrique : U1 = 6, U4 = 162. Determiner q et U0.

Correction :

On sait que U4 = U1 x q^(4-1) = U1 x q^3.

q^3 = U4 / U1 = 162 / 6 = 27

q = 27^(1/3) = 3

U0 = U1 / q = 6 / 3 = 2

Verification : U4 = U0 x q^4 = 2 x 3^4 = 2 x 81 = 162. Correct.

Exercice 6 : Somme geometrique

Enonce : Calculer S = U0 + U1 + ... + U7 pour U0 = 4, q = 3.

Correction :

Nombre de termes : 7 - 0 + 1 = 8.

S = U0 x (1 - q^8) / (1 - q) S = 4 x (1 - 3^8) / (1 - 3) S = 4 x (1 - 6 561) / (-2) S = 4 x (-6 560) / (-2) S = 4 x 3 280 S = 13 120

Exercice 7 : Placement financier

Enonce : On place 15 000 euros a un taux annuel de 4%. Calculer le capital apres 1, 5 et 10 ans.

Correction :

Suite geometrique : Cn = 15 000 x 1.04^n.

C1 = 15 000 x 1.04^1 = 15 000 x 1.04 = 15 600

C5 = 15 000 x 1.04^5

Calculons 1.04^5 :

1.04^2 = 1.0816
1.04^3 = 1.0816 x 1.04 = 1.124864
1.04^4 = 1.124864 x 1.04 = 1.16985856
1.04^5 = 1.16985856 x 1.04 = 1.2166529... arrondi a 1.216653

C5 = 15 000 x 1.216653 = 18 249.79 euros (arrondi au centime).

C10 = 15 000 x 1.04^10

1.04^10 = (1.04^5)^2 = 1.216653^2 = 1.480244 (arrondi)

C10 = 15 000 x 1.480244 = 22 203.66 euros (arrondi au centime).

Exercice 8 : Amortissement lineaire

Enonce : Un materiel informatique coute 8 000 euros. Il est amorti lineairement sur 4 ans. Donner la VNC chaque annee et le montant total des amortissements.

Correction :

Annuite = 8 000 / 4 = 2 000 euros.

Suite arithmetique : VNC(n) = 8 000 - 2 000 x n, r = -2 000.

VNC(0) = 8 000 - 2 000 x 0 = 8 000 - 0 = 8 000
VNC(1) = 8 000 - 2 000 x 1 = 8 000 - 2 000 = 6 000
VNC(2) = 8 000 - 2 000 x 2 = 8 000 - 4 000 = 4 000
VNC(3) = 8 000 - 2 000 x 3 = 8 000 - 6 000 = 2 000
VNC(4) = 8 000 - 2 000 x 4 = 8 000 - 8 000 = 0

Total des amortissements = 4 x 2 000 = 8 000 euros (le bien est integralement amorti).

Exercice 9 : Cout de maintenance croissant

Enonce : Le cout de maintenance d'un serveur est de 1 200 euros la premiere annee et augmente de 150 euros chaque annee. Calculer le cout la 6e annee et le cout total sur 6 ans.

Correction :

Suite arithmetique : U1 = 1 200, r = 150. (L'indice 1 correspond a la premiere annee.)

Cout la 6e annee : U6 = U1 + (6 - 1) x r = 1 200 + 5 x 150 = 1 200 + 750 = 1 950 euros.

Cout total sur 6 ans (U1 + U2 + ... + U6) : Nombre de termes : 6. S = 6 x (U1 + U6) / 2 = 6 x (1 200 + 1 950) / 2 = 6 x 3 150 / 2 = 18 900 / 2 = 9 450 euros.

Exercice 10 : Convergence d'une suite geometrique

Enonce : On considere la suite Un = 500 x 0.8^n. La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Calculer U5 et U10.

Correction :

La suite est geometrique de raison q = 0.8. Comme |q| = 0.8 < 1, la suite converge vers 0.

U5 = 500 x 0.8^5

0.8^2 = 0.64
0.8^3 = 0.64 x 0.8 = 0.512
0.8^4 = 0.512 x 0.8 = 0.4096
0.8^5 = 0.4096 x 0.8 = 0.32768 U5 = 500 x 0.32768 = 163.84

U10 = 500 x 0.8^10 = 500 x (0.8^5)^2 = 500 x 0.32768^2 = 500 x 0.107374 = 53.69 (arrondi).

La suite tend bien vers 0.

Exercice 11 : Suite recurrente

Enonce : On definit U0 = 10 et Un+1 = 0.6 x Un + 8. Calculer U1 a U5. Determiner la limite eventuelle.

Correction :

Calcul des termes :

U0 = 10
U1 = 0.6 x 10 + 8 = 6 + 8 = 14
U2 = 0.6 x 14 + 8 = 8.4 + 8 = 16.4
U3 = 0.6 x 16.4 + 8 = 9.84 + 8 = 17.84
U4 = 0.6 x 17.84 + 8 = 10.704 + 8 = 18.704
U5 = 0.6 x 18.704 + 8 = 11.2224 + 8 = 19.2224

Recherche de la limite : Si la suite converge vers L, alors L = 0.6L + 8. L - 0.6L = 8 0.4L = 8 L = 8 / 0.4 = 20

La suite converge vers 20.

Exercice 12 : Loi de Moore

Enonce : En 2010, un processeur contient 1 milliard de transistors. Selon la loi de Moore (doublement tous les 2 ans), combien en contiendra-t-il en 2020 et en 2030 ?

Correction :

Suite geometrique : T(n) = 1 000 000 000 x 2^n, ou n est le nombre de periodes de 2 ans apres 2010.

En 2020 : n = (2020 - 2010) / 2 = 10 / 2 = 5. T(5) = 1 000 000 000 x 2^5 = 1 000 000 000 x 32 = 32 000 000 000 (32 milliards).

En 2030 : n = (2030 - 2010) / 2 = 20 / 2 = 10. T(10) = 1 000 000 000 x 2^10 = 1 000 000 000 x 1 024 = 1 024 000 000 000 (1 024 milliards).

Exercice 13 : Somme et interets composes

Enonce : On verse 2 000 euros chaque annee sur un compte remunere a 5% par an. Quel est le capital accumule apres 10 versements (versements en debut d'annee) ?

Correction :

Le 1er versement (debut annee 1) capitalise pendant 10 ans : 2 000 x 1.05^10. Le 2e versement (debut annee 2) capitalise pendant 9 ans : 2 000 x 1.05^9. ... Le 10e versement (debut annee 10) capitalise pendant 1 an : 2 000 x 1.05^1.

Capital total : S = 2 000 x 1.05 + 2 000 x 1.05^2 + ... + 2 000 x 1.05^10 S = 2 000 x 1.05 x (1 + 1.05 + 1.05^2 + ... + 1.05^9)

La somme entre parentheses est une somme geometrique de 10 termes, premier terme 1, raison 1.05 :

Somme = (1 - 1.05^10) / (1 - 1.05)

Calculons 1.05^10 :

1.05^2 = 1.1025
1.05^4 = 1.1025^2 = 1.21550625
1.05^5 = 1.21550625 x 1.05 = 1.27628156
1.05^10 = 1.27628156^2 = 1.62889463 (arrondi a 1.628895)

Somme = (1 - 1.628895) / (1 - 1.05) = (-0.628895) / (-0.05) = 12.5779

S = 2 000 x 1.05 x 12.5779 = 2 100 x 12.5779 = 26 413.59 euros (arrondi).

Exercice 14 : Sens de variation

Enonce : On donne Un = n^2 - 10n + 30. Etudier le sens de variation de cette suite.

Correction :

Calculons Un+1 - Un :

Un+1 = (n + 1)^2 - 10(n + 1) + 30 Un+1 = n^2 + 2n + 1 - 10n - 10 + 30 Un+1 = n^2 - 8n + 21

Un+1 - Un = (n^2 - 8n + 21) - (n^2 - 10n + 30) Un+1 - Un = n^2 - 8n + 21 - n^2 + 10n - 30 Un+1 - Un = 2n - 9

Etude du signe de 2n - 9 :

2n - 9 = 0 quand n = 4.5
2n - 9 < 0 quand n < 4.5, c'est-a-dire pour n = 0, 1, 2, 3, 4
2n - 9 > 0 quand n > 4.5, c'est-a-dire pour n >= 5

La suite est strictement decroissante de n = 0 a n = 4, puis strictement croissante a partir de n = 5.

Le minimum est atteint en n = 5 : U5 = 25 - 50 + 30 = 5.

Verification : U4 = 16 - 40 + 30 = 6 > U5 = 5. U6 = 36 - 60 + 30 = 6 > U5 = 5. Correct.

Exercice 15 : Amortissement degressif

Enonce : Un equipement reseau coute 12 000 euros. Il est amorti de maniere degressive au taux de 30% par an. Calculer la VNC apres chaque annee pendant 5 ans. Quelle est la VNC apres 5 ans ?

Correction :

Suite geometrique : VNC(n) = 12 000 x (1 - 0.30)^n = 12 000 x 0.70^n.

VNC(0) = 12 000 x 0.70^0 = 12 000 x 1 = 12 000
VNC(1) = 12 000 x 0.70^1 = 12 000 x 0.70 = 8 400
VNC(2) = 12 000 x 0.70^2 = 12 000 x 0.49 = 5 880
VNC(3) = 12 000 x 0.70^3 = 12 000 x 0.343 = 4 116
VNC(4) = 12 000 x 0.70^4 = 12 000 x 0.2401 = 2 881.20
VNC(5) = 12 000 x 0.70^5 = 12 000 x 0.16807 = 2 016.84

Apres 5 ans, la VNC est de 2 016.84 euros.

L'amortissement total cumule est de 12 000 - 2 016.84 = 9 983.16 euros.

Exercice 16 : Suite et tableur

Enonce : On considere la suite definie par U0 = 100 et Un+1 = Un x 0.9 + 5. Ecrire les formules tableur pour calculer les 10 premiers termes et identifier la limite graphiquement.

Correction :

Configuration du tableur :

Cellule	Contenu	Resultat
A1	n	(en-tete)
B1	Un	(en-tete)
A2	0	0
A3	=A2+1	1
B2	100	100
B3	=B2*0.9+5	95

Tirer A3 et B3 vers le bas jusqu'a la ligne 12 (pour obtenir U0 a U10).

Calcul des termes :

U0 = 100
U1 = 100 x 0.9 + 5 = 90 + 5 = 95
U2 = 95 x 0.9 + 5 = 85.5 + 5 = 90.5
U3 = 90.5 x 0.9 + 5 = 81.45 + 5 = 86.45
U4 = 86.45 x 0.9 + 5 = 77.805 + 5 = 82.805
U5 = 82.805 x 0.9 + 5 = 74.5245 + 5 = 79.5245
U6 = 79.5245 x 0.9 + 5 = 71.57205 + 5 = 76.57205
U7 = 76.57205 x 0.9 + 5 = 68.914845 + 5 = 73.914845
U8 = 73.914845 x 0.9 + 5 = 66.52336 + 5 = 71.52336
U9 = 71.52336 x 0.9 + 5 = 64.37102 + 5 = 69.37102
U10 = 69.37102 x 0.9 + 5 = 62.43392 + 5 = 67.43392

Recherche de la limite : L = 0.9L + 5, donc 0.1L = 5, donc L = 50.

La suite converge vers 50 (suite decroissante, les termes se rapprochent de 50 par valeurs superieures).

Exercice 17 : Exercice de synthese (examen type)

Enonce : Une entreprise de services informatiques demarre avec 80 clients. Chaque annee, elle perd 10% de ses clients mais en gagne 30 nouveaux. On note Cn le nombre de clients l'annee n.

a) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. b) Calculer C1, C2, C3. c) Determiner la limite eventuelle de cette suite. d) Calculer le nombre d'annees necessaires pour depasser 250 clients (a l'aide du tableur ou par calcul iteratif).

Correction :

a) Chaque annee, on conserve 90% des clients et on ajoute 30 :

Cn+1 = 0.9 x Cn + 30

b) Calcul des termes :

C0 = 80

C1 = 0.9 x 80 + 30 = 72 + 30 = 102

C2 = 0.9 x 102 + 30 = 91.8 + 30 = 121.8

C3 = 0.9 x 121.8 + 30 = 109.62 + 30 = 139.62

c) Recherche de la limite :

Si Cn converge vers L : L = 0.9L + 30 L - 0.9L = 30 0.1L = 30 L = 300

La suite converge vers 300 clients.

d) Calcul iteratif :

C0 = 80
C1 = 102
C2 = 121.8
C3 = 139.62
C4 = 0.9 x 139.62 + 30 = 125.658 + 30 = 155.658
C5 = 0.9 x 155.658 + 30 = 140.0922 + 30 = 170.0922
C6 = 0.9 x 170.0922 + 30 = 153.083 + 30 = 183.083
C7 = 0.9 x 183.083 + 30 = 164.7747 + 30 = 194.7747
C8 = 0.9 x 194.7747 + 30 = 175.2972 + 30 = 205.2972
C9 = 0.9 x 205.2972 + 30 = 184.7675 + 30 = 214.7675
C10 = 0.9 x 214.7675 + 30 = 193.2908 + 30 = 223.2908
C11 = 0.9 x 223.2908 + 30 = 200.9617 + 30 = 230.9617
C12 = 0.9 x 230.9617 + 30 = 207.8655 + 30 = 237.8655
C13 = 0.9 x 237.8655 + 30 = 214.079 + 30 = 244.079
C14 = 0.9 x 244.079 + 30 = 219.6711 + 30 = 249.6711
C15 = 0.9 x 249.6711 + 30 = 224.704 + 30 = 254.704

L'entreprise depasse 250 clients a l'annee n = 15.

Exercice 18 : Somme et budget informatique

Enonce : Le budget informatique d'une PME est de 20 000 euros la premiere annee. Il augmente de 8% par an. Calculer le budget cumule sur 5 ans.

Correction :

Suite geometrique : Bn = 20 000 x 1.08^(n-1), avec B1 = 20 000, q = 1.08.

Somme des 5 premiers termes (B1 a B5) :

S = B1 x (1 - q^5) / (1 - q) S = 20 000 x (1 - 1.08^5) / (1 - 1.08)

Calculons 1.08^5 :

1.08^2 = 1.1664
1.08^3 = 1.1664 x 1.08 = 1.259712
1.08^4 = 1.259712 x 1.08 = 1.36048896
1.08^5 = 1.36048896 x 1.08 = 1.46932808 (arrondi a 1.469328)

S = 20 000 x (1 - 1.469328) / (1 - 1.08) S = 20 000 x (-0.469328) / (-0.08) S = 20 000 x 5.8666 S = 117 332 euros (arrondi).

Le budget informatique cumule sur 5 ans est d'environ 117 332 euros.

Exercice 19 : Suite arithmetique - determiner le rang

Enonce : Suite arithmetique : U0 = 3, r = 7. A partir de quel rang Un depasse-t-il 200 ?

Correction :

On cherche n tel que Un > 200.

Un = U0 + n x r = 3 + 7n

3 + 7n > 200 7n > 200 - 3 7n > 197 n > 197 / 7 n > 28.14...

Comme n est un entier, n >= 29.

Verification : U28 = 3 + 28 x 7 = 3 + 196 = 199 (ne depasse pas 200) U29 = 3 + 29 x 7 = 3 + 203 = 206 (depasse 200)

La suite depasse 200 a partir du rang n = 29.

12. Formulaire recapitulatif

Suites arithmetiques

Element	Formule
Definition	Un+1 = Un + r
Terme general	Un = U0 + n x r
Raison	r = Un+1 - Un
Raison (deux termes)	r = (Uq - Up) / (q - p)
Somme de (p+1) termes	S = (p + 1) x (U0 + Up) / 2
Nombre de termes du rang a au rang b	b - a + 1

Suites geometriques

Element	Formule
Definition	Un+1 = Un x q
Terme general	Un = U0 x q^n
Raison	q = Un+1 / Un
Somme de (p+1) termes	S = U0 x (1 - q^(p+1)) / (1 - q), q different de 1
Somme infinie (si \|q\| < 1)	S = U0 / (1 - q)

Convergence

Type de suite	Condition	Limite
Arithmetique	r > 0	+inf
Arithmetique	r < 0	-inf
Arithmetique	r = 0	U0
Geometrique	\|q\| < 1	0
Geometrique	q = 1	U0
Geometrique	q > 1	+inf (si U0 > 0)
Geometrique	q <= -1	pas de limite

Variation

Methode	Croissante si	Decroissante si
Difference	Un+1 - Un > 0	Un+1 - Un < 0
Quotient (termes > 0)	Un+1 / Un > 1	Un+1 / Un < 1

13. Pieges frequents a l'examen

Confondre nombre de termes et dernier indice. De U0 a Un, il y a n + 1 termes (pas n). De U1 a Un, il y a n termes.
Oublier que q^0 = 1. Le premier terme d'une suite geometrique est U0 = U0 x q^0 = U0.
Appliquer la formule de somme geometrique avec q = 1. La formule S = U0 x (1 - q^n) / (1 - q) n'est valable que si q est different de 1. Si q = 1, alors S = n x U0.
Se tromper dans l'exposant de la somme geometrique. Pour la somme de U0 a Un (soit n + 1 termes), l'exposant est n + 1 : S = U0 x (1 - q^(n+1)) / (1 - q).
Confondre suite arithmetique et geometrique. Arithmetique : on additionne la raison. Geometrique : on multiplie par la raison. Le test est simple : calculer Un+1 - Un (constant ?) ou Un+1 / Un (constant ?).
Ne pas verifier la coherence du resultat. Toujours recalculer quelques termes pour confirmer le resultat d'une somme ou d'une limite.
Oublier le signe de r ou q. Une raison negative dans une suite geometrique fait alterner les signes des termes. Une raison negative dans une suite arithmetique rend la suite decroissante.