Bases de numération : décimal, binaire, hexadécimal

Une base de numération est la règle qui sert à écrire un nombre avec un nombre fixe de chiffres : 10 chiffres en base 10 (décimal), 2 en base 2 (binaire), 16 en base 16 (hexadécimal). Dans les trois cas, la valeur d'un chiffre dépend de sa position, et chaque position vaut une puissance de la base. Ce chapitre explique ce principe, montre comment lire un nombre écrit dans n'importe quelle base et pourquoi l'informatique utilise le binaire et l'hexadécimal.

Le principe : une numération de position

Tu utilises la base 10 depuis l'école primaire sans y penser. Dans 3 725, le chiffre 7 ne vaut pas 7 : il vaut 7 centaines, parce qu'il est en troisième position en partant de la droite. Chaque position vaut dix fois la précédente.

3725 = 3 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1
     = 3 × 10³  + 7 × 10²  + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰

On appelle poids d'une position la puissance de la base qui lui correspond. On numérote les positions à partir de 0, de droite à gauche : la position 0 (les unités) a le poids 10⁰ = 1, la position 1 le poids 10¹ = 10, et ainsi de suite.

Cette idée se généralise à n'importe quelle base b ≥ 2 :

• on utilise b chiffres, de 0 à b − 1 ;
• le chiffre en position k vaut chiffre × bᵏ ;
• la valeur du nombre est la somme de ces produits.

Le même nombre peut donc s'écrire de plusieurs façons, selon la base. Le nombre de doigts de tes deux mains s'écrit 10 en base 10, 1010 en base 2 et A en base 16. C'est pourquoi on précise la base en indice dès qu'il y a un doute : (1010)₂ = (10)₁₀ = (A)₁₆. Écrire « 1010 = 10 » sans indice est faux, ou au moins ambigu : sur une copie, mets toujours les indices.

Le binaire (base 2)

Le binaire n'utilise que deux chiffres, 0 et 1. Un chiffre binaire s'appelle un bit (de l'anglais binary digit). Chaque position vaut deux fois la précédente : les poids sont les puissances de 2.

Pour lire un nombre binaire, tu écris le poids au-dessus de chaque bit et tu additionnes les poids des bits qui valent 1.

(10110110)₂ = 1 × 128 + 0 × 64 + 1 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 = 182.

Le bit le plus à droite, de poids 1, s'appelle le bit de poids faible ; le plus à gauche, le bit de poids fort. Le bit de poids faible dit si le nombre est pair (0) ou impair (1) : (10110110)₂ se termine par 0, 182 est pair.

Pour compter en binaire, tu fais comme en décimal : quand un chiffre dépasse le plus grand chiffre de la base (1), il revient à 0 et tu ajoutes une retenue à gauche.

Remarque que chaque puissance de 2 s'écrit avec un 1 suivi de zéros : 2 = (10)₂, 4 = (100)₂, 8 = (1000)₂. Et le nombre juste avant s'écrit avec que des 1 : 7 = (111)₂, 15 = (1111)₂.

Combien de valeurs sur n bits ?

Avec n bits, tu peux écrire 2ⁿ valeurs différentes, de 0 à 2ⁿ − 1. Chaque bit ajouté double le nombre de possibilités.

C'est pour ça qu'un octet d'adresse IPv4 ne dépasse jamais 255 : 192.168.1.300 n'est pas une adresse valide, car 300 ne tient pas sur 8 bits. Et c'est pour ça que les ports vont de 0 à 65 535.

L'hexadécimal (base 16)

L'hexadécimal utilise seize chiffres. Comme il n'existe que dix chiffres arabes, on complète avec les lettres A à F :

Les poids sont les puissances de 16 :

Pour lire un nombre hexadécimal, tu remplaces chaque lettre par sa valeur et tu multiplies par les poids :

• (2F)₁₆ = 2 × 16 + 15 × 1 = 32 + 15 = 47 ;
• (1A3)₁₆ = 1 × 256 + 10 × 16 + 3 × 1 = 256 + 160 + 3 = 419 ;
• (FF)₁₆ = 15 × 16 + 15 = 240 + 15 = 255, le plus grand nombre d'un octet.

Pourquoi l'informatique utilise le binaire et l'hexadécimal

Un ordinateur ne manipule que deux états électriques : le courant passe ou ne passe pas, une cellule de mémoire est chargée ou non, une zone d'un disque est magnétisée dans un sens ou dans l'autre. Deux états, deux chiffres : toute information (nombre, texte, image, son, programme) est stockée en binaire.

Le binaire a un défaut pour les humains : il est long. 182 s'écrit avec 8 bits, une adresse IPv6 avec 128. L'hexadécimal résout ce problème : comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal remplace exactement 4 bits, et un octet (8 bits) s'écrit toujours avec 2 chiffres hexadécimaux. La conversion entre les deux bases se fait de tête, par paquets de 4 bits (chapitre 2). L'hexadécimal est donc une façon compacte et lisible d'écrire du binaire.

Les notations dans les langages

Chaque contexte a sa façon de signaler la base. Retiens les plus courantes :

En Python, 0b1011 et 0xB sont simplement des façons d'écrire l'entier 11 : 0b1011 == 0xB == 11 vaut True. La base ne change que l'écriture, jamais la valeur.

Bits, octets et unités de stockage

Un octet (byte en anglais) est un groupe de 8 bits. C'est l'unité de base de la mémoire : chaque adresse mémoire désigne un octet, et les tailles de fichiers se comptent en octets. Le symbole de l'octet est o (et B en anglais) ; celui du bit est b ou bit. Ne confonds pas les deux : un débit de 100 Mbit/s (mégabits par seconde) correspond à 12,5 Mo/s au plus, puisqu'il faut 8 bits pour un octet.

Pour les multiples, deux systèmes coexistent :

Les fabricants de disques utilisent les préfixes décimaux : un disque de 1 To contient 10¹² octets. Windows divise par 2³⁰ mais affiche « Go » : il annonce donc 10¹² ÷ 2³⁰ ≈ 931 Go pour ce disque. Aucun octet n'a disparu, seule l'unité diffère. macOS (Finder) compte en puissances de 10 et affiche bien 1 To ; sous Linux, df -h utilise les puissances de 2 (symboles G, T) et df -H les puissances de 10.

Pour aller plus loin : la base 8 (octal)

Exercices