Chiffrement affine et code de César

Le chiffrement affine remplace chaque lettre, numérotée x de 0 (A) à 25 (Z), par la lettre numéro y ≡ a × x + b [26], où le couple (a, b) est la clé. Le chiffrement de César en est le cas particulier a = 1 : chaque lettre est décalée de b rangs. Pour déchiffrer, on utilise l'inverse de a modulo 26, ce qui impose que a soit premier avec 26. Ce chapitre applique toute l'arithmétique modulaire des chapitres précédents à ces deux chiffrements : codage, décodage, choix des clés, et la façon dont on les casse. Leur place dans l'histoire de la cryptographie, avec Vigenère et Enigma, est racontée dans le chapitre Chiffrements historiques du cours Cryptographie.

Numéroter les lettres

On remplace chaque lettre par son rang dans l'alphabet, en commençant à 0 :

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Comme il y a 26 lettres, tous les calculs se font modulo 26 : après Z, on revient à A, comme sur une liste circulaire.

Le chiffrement de César

Jules César, selon l'historien Suétone, remplaçait chaque lettre de ses messages par celle située trois rangs plus loin. Avec une clé de décalage k :

Avec k = 3 : B (1) → 4 (E), T (19) → 22 (W), S (18) → 21 (V). « BTS » devient « EWV ». Pour « RESEAU » : R (17) → 20 (U), E (4) → 7 (H), S (18) → 21 (V), A (0) → 3 (D), U (20) → 23 (X). On obtient « UHVHDX ». Pour X (23) : 23 + 3 = 26 ≡ 0, X devient A : le modulo fait « boucler » l'alphabet.

Le casser est immédiat : il n'y a que 25 décalages utiles. On les essaie tous, c'est une attaque par force brute. Le message intercepté « YVBALBY » donne, en décalant de 1, 2, 3… vers l'arrière : XUAZKAX, WTZYJZW, VSYXIYV, URXWHXU, TQWVGWT, SPVUFVS, puis ROUTEUR pour k = 7. Un seul essai a un sens.

Le décalage de 13 (ROT13) a une curiosité : comme 13 + 13 = 26 ≡ 0, l'appliquer deux fois redonne le texte de départ. Il sert encore à masquer la réponse d'une devinette sur un forum, jamais à protéger une donnée.

Le chiffrement affine

Le chiffrement affine multiplie avant de décaler :

Clé (7, 3) : R → S. Pour revenir en arrière, on multiplie par 15, l'inverse de 7 modulo 26

Exemple : chiffrer « RESEAU » avec la clé (7, 3).

Lettre	x	7x + 3	Reste modulo 26	Lettre codée
R	17	122	122 = 4 × 26 + 18 → 18	S
E	4	31	31 = 26 + 5 → 5	F
S	18	129	129 = 4 × 26 + 25 → 25	Z
E	4	31	5	F
A	0	3	3	D
U	20	143	143 = 5 × 26 + 13 → 13	N

« RESEAU » devient « SFZFDN ». Les deux E sont codés par la même lettre F : c'est un chiffrement monoalphabétique, chaque lettre a toujours la même image.

Pourquoi a doit être premier avec 26

Essaie la clé (2, 1) sur « ROUTEUR » : R (17) → 35 ≡ 9 (J), E (4) → 9 (J). R et E sont codés tous les deux par J : à la lecture de J, impossible de savoir s'il faut lire R ou E. Le message « JDPNJPJ » ne peut pas être déchiffré sans ambiguïté.

C'est la propriété du chapitre 9 : les nombres a × x modulo 26 parcourent tous les restes, chacun une seule fois, si et seulement si PGCD(a, 26) = 1. Avec a = 2, PGCD(2, 26) = 2, les valeurs 2x ne prennent que 13 valeurs (les nombres pairs) : deux lettres différentes ont forcément la même image. Avec a premier avec 26, le codage est une bijection de l'alphabet sur lui-même : chaque lettre codée correspond à une seule lettre claire. Le cours de théorie des ensembles étudie ce même exemple sous l'angle des injections, surjections et bijections.

Combien de clés valables ? 26 = 2 × 13 : a doit être impair et différent de 13. Il y a 12 valeurs possibles pour a (1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25) et 26 pour b, soit 12 × 26 = 312 clés. Parmi elles, la clé (1, 0) ne change rien, et les 26 clés (1, b) sont des chiffrements de César.

Le sujet de l'E3 de la session 2026 demandait justement de compléter un algorithme qui compte ces clés : une boucle sur a de 1 à 25, un test PGCD(a, 26) = 1, un compteur, et un résultat multiplié par 26 (proposition de corrigé).

Déchiffrer avec l'inverse modulaire

Pour retrouver x à partir de y ≡ 7x + 3 [26] :

on isole le terme en x : 7x ≡ y − 3 [26] ;
on multiplie par l'inverse de 7 modulo 26, qui est 15 (7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1) : 15 × 7x ≡ 15(y − 3) [26] ;
comme 15 × 7 ≡ 1 [26], il reste x ≡ 15(y − 3) [26], soit x ≡ 15y − 45 ≡ 15y + 7 [26] (car −45 + 52 = 7).

Exemple : déchiffrer « SFZFDN ».

Lettre codée	y	15y + 7	Reste modulo 26	Lettre claire
S	18	277	277 = 10 × 26 + 17 → 17	R
F	5	82	82 = 3 × 26 + 4 → 4	E
Z	25	382	382 = 14 × 26 + 18 → 18	S
F	5	82	4	E
D	3	52	52 = 2 × 26 → 0	A
N	13	202	202 = 7 × 26 + 20 → 20	U

On retrouve « RESEAU ». Le déchiffrement d'un chiffrement affine est lui-même un chiffrement affine, de clé (15, 7).

La rédaction attendue dans un sujet. Les énoncés guident souvent le calcul ainsi : « Montrer que si 9x + 5 ≡ y [26], alors x + 15 ≡ 3y [26]. » La méthode est toujours la même : multiplier les deux membres par l'inverse de a (ici 3, car 9 × 3 = 27 ≡ 1 [26]), puis réduire. 3(9x + 5) = 27x + 15 ≡ x + 15 [26], donc x + 15 ≡ 3y [26], et x ≡ 3y − 15 ≡ 3y + 11 [26].

Casser un chiffrement affine

Avec 312 clés, la force brute reste à la portée d'un programme en une fraction de seconde. Mais même à la main, le chiffrement affine se casse par analyse de fréquences : comme chaque lettre a toujours la même image, la lettre la plus fréquente du message codé correspond probablement à la lettre la plus fréquente de la langue. En français, c'est E, loin devant les autres, suivie de A, S, I, N, T et R (l'ordre exact varie selon les textes).

Exemple. Dans un long message codé, les deux lettres les plus fréquentes sont F et G. On suppose que E (4) est codé par F (5) et T (19) par G (6) :

4a + b ≡ 5 [26]
19a + b ≡ 6 [26]

En soustrayant la première équation de la seconde : 15a ≡ 1 [26]. Donc a est l'inverse de 15 modulo 26 : a = 7. Puis b ≡ 5 − 4 × 7 = −23 ≡ 3 [26]. La clé est (7, 3), et on déchiffre tout le message. Il suffit de deux lettres devinées pour retrouver la clé.

Ce que ces chiffrements t'apprennent sur la cryptographie actuelle

César et le chiffrement affine ne protègent plus rien depuis longtemps, mais leurs principes sont toujours là :

la sécurité doit reposer sur la clé, pas sur le secret de la méthode (principe de Kerckhoffs) : tout le monde connaît la formule ax + b, seule la clé est secrète ;
un espace de clés trop petit se casse par force brute : 312 clés, c'est très peu. AES, le chiffrement symétrique standard, utilise des clés de 128, 192 ou 256 bits, soit au moins 2¹²⁸ possibilités ;
un chiffrement qui conserve les fréquences se casse par analyse statistique : les chiffrements modernes font en sorte que le texte chiffré ressemble à du hasard ;
l'arithmétique modulaire reste au cœur du chiffrement asymétrique : RSA calcule des puissances modulo un très grand nombre, et le déchiffrement utilise un inverse modulaire, comme ici. RSA est hors programme du module de maths ; le cours Cryptographie le déroule avec de petits nombres et montre ses usages (HTTPS, certificats, signatures).

Le chiffrement de Hill, qui code les lettres par paires avec une matrice modulo 26, combine cette arithmétique avec le calcul matriciel.

Chiffrer en Python

python

ALPHABET = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"

def chiffrer_affine(message, a, b):
    resultat = ""
    for lettre in message:
        x = ALPHABET.index(lettre)
        y = (a * x + b) % 26
        resultat = resultat + ALPHABET[y]
    return resultat

def dechiffrer_affine(message, a, b):
    a_inv = pow(a, -1, 26)      # inverse de a modulo 26 (erreur si PGCD(a, 26) ≠ 1)
    resultat = ""
    for lettre in message:
        y = ALPHABET.index(lettre)
        x = (a_inv * (y - b)) % 26
        resultat = resultat + ALPHABET[x]
    return resultat

print(chiffrer_affine("RESEAU", 7, 3))    # SFZFDN
print(dechiffrer_affine("SFZFDN", 7, 3))  # RESEAU

Le % 26 de Python renvoie toujours un résultat entre 0 et 25, même quand y - b est négatif. Le cours d'algorithmique détaille le traitement des chaînes de caractères et le code de César, et le chapitre 11 de ce cours écrit l'inverse modulaire sans pow.