Sujet : E3 — Mathématiques pour l'informatique, BTS SIO session 2026, durée 2 h, coefficient 3, code sujet 26SIE3MATPI. Calculatrice mode examen autorisée.
Les réponses en un coup d'œil
| Question | Réponse proposée |
|---|---|
| Ex 1 — Q1 | C (22,90625) |
| Ex 1 — Q2 | B ((69D)₁₆) |
| Ex 1 — Q3 | A (f⁻¹({a;b}) = {1;2}) |
| Ex 1 — Q4 | dépend du schéma (méthode ci-dessous) |
| Ex 2 — 1 | SI se code LZ |
| Ex 2 — 3.b | inverse(9) = 3 |
| Ex 2 — 4.b | ZA se décode IL |
| Ex 3 A — 1 | P×N = (130 ; 179) → 130 € le midi, 179 € le soir |
| Ex 3 A — 2.b | t = 22 € |
| Ex 3 B — 2 | E = ab + ac |
| Ex 3 C — 4.b | 3 chemins de longueur 3 de C vers E |
| Ex 3 C — 5 | 4 arcs à ajouter |
Exercice 1 — QCM (4 points)
Question 1 — base deux vers base dix
Le nombre est (10110,11101)₂.
Partie entière : 10110₂ = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 22.
Partie fractionnaire : ,11101₂ = 1·2⁻¹ + 1·2⁻² + 1·2⁻³ + 0·2⁻⁴ + 1·2⁻⁵ = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0 + 0,03125 = 0,90625.
Total = 22 + 0,90625 = 22,90625 → Réponse C.
Question 2 — somme en base seize
(3D8)₁₆ = 3·256 + 13·16 + 8 = 768 + 208 + 8 = 984. (2C5)₁₆ = 2·256 + 12·16 + 5 = 512 + 192 + 5 = 709. Somme = 984 + 709 = 1693.
Conversion de 1693 en base seize : 1693 = 6·256 + 9·16 + 13, soit (69D)₁₆.
Vérification par addition directe en hexadécimal : 8+5 = D (retenue 0) ; D+C = 0x19 → 9 retenue 1 ; 3+2+1 = 6. Résultat 69D → Réponse B.
Question 3 — applications f et g
On peut répondre sans même lire finement le diagramme, par élimination :
- B est fausse : {1;2} ∩ {2;3} = {2}. L'image d'un singleton par une application a au plus un élément, donc f({2}) ne peut pas valoir {a;b;d}.
- C est fausse : {a;b} et {c;d} sont disjoints. Les images réciproques de deux ensembles disjoints par une application sont disjointes ; elles ne peuvent être égales que si elles sont toutes les deux vides, ce qui n'est pas le cas ici (les 5 éléments de E ont une image dans F).
- Il reste A : f⁻¹({a;b}) = {1;2} — cohérent avec un diagramme où seuls 1 et 2 ont une image dans {a;b}.
Réponse A.
Question 4 — image de 4 par g∘f
Méthode : g∘f(4) = g(f(4)). On lit d'abord l'image de 4 par f sur le premier diagramme (E→F), puis l'image de ce résultat par g sur le second diagramme (F→G).
C'est la seule question dont la réponse dépend strictement de la lecture des flèches du sujet (le texte seul ne suffit pas à la certifier ici). Applique la méthode : repère la flèche partant de 4 vers F, puis la flèche partant de cette lettre vers G ; la lettre obtenue (x, y ou z) est la réponse. Si tu as appliqué g∘f dans le bon sens (f d'abord, g ensuite), ton raisonnement est bon.
Exercice 2 — Codage affine (5 points)
Clé (a;b) = (9;5). Codage : y ≡ 9x + 5 [26].
1. Coder le mot SI
S → x = 18. 9·18 + 5 = 162 + 5 = 167. 167 = 6·26 + 11, donc 167 ≡ 11 [26]. y = 11 → lettre L.
I → x = 8. 9·8 + 5 = 72 + 5 = 77. 77 = 2·26 + 25, donc 77 ≡ 25 [26]. y = 25 → lettre Z.
Le mot SI se code en LZ.
2. Compléter la fonction nbCles()
Une clé est acceptable si pgcd(a, 26) = 1, avec 1 ≤ a ≤ 25 (et 26 choix pour b).
1 Fonction nbCles()
2 nb ← 0
3 Pour a allant de 1 à 25 faire
4 Si pgcd(a, 26) = 1 alors
5 nb ← nb + 1
6 Fin de Si
7 Fin de Pour
8 Renvoyer nb × 26
- Ligne 3 : a allant de 1 à 25
- Ligne 4 : pgcd(a, 26) = 1
- Ligne 5 : nb ← nb + 1
(Pour information : 26 = 2 × 13, il y a φ(26) = 12 valeurs de a acceptables, donc 12 × 26 = 312 clés acceptables — non demandé mais utile pour vérifier la logique.)
3.a. Compléter la fonction inverse(a)
1 Fonction inverse(a)
2 c ← 1
3 Tant que reste(a × c, 26) ≠ 1 faire
4 c ← c + 1
5 Renvoyer c
- Ligne 3 : Tant que reste(a × c, 26) ≠ 1 faire
- Ligne 5 : Renvoyer c
3.b. Déterminer inverse(9)
On cherche le plus petit c tel que 9c ≡ 1 [26]. 9·1 = 9 ; 9·2 = 18 ; 9·3 = 27 = 26 + 1 ≡ 1 [26].
Donc inverse(9) = 3.
4.a. Montrer que si 9x + 5 ≡ y [26] alors x + 15 ≡ 3y [26]
On part de 9x + 5 ≡ y [26]. On multiplie les deux membres par 3 :
3(9x + 5) ≡ 3y [26] 27x + 15 ≡ 3y [26]
Or 27 = 26 + 1 ≡ 1 [26], donc 27x ≡ x [26]. D'où :
x + 15 ≡ 3y [26].
(On en déduit x ≡ 3y − 15 ≡ 3y − 15 + 26 ≡ 3y + 11 [26], ce qui justifie la formule admise à la question 4.b.)
4.b. Décoder le mot ZA
On utilise x ≡ 3y + 11 [26].
Z → y = 25. x ≡ 3·25 + 11 = 86 [26]. 86 = 3·26 + 8, donc x = 8 → lettre I.
A → y = 0. x ≡ 3·0 + 11 = 11 [26]. x = 11 → lettre L.
Le mot ZA se décode en IL.
(Cohérence : décoder LZ avec la même formule redonne SI — le système est bien réciproque.)
Exercice 3 (11 points)
Partie A — Matrices
P = (7 12 20 ; 7 15 30) (ligne 1 = midi, ligne 2 = soir ; colonnes = enfant ≤ 6 ans, enfant 7-13 ans, adulte). N = (2 ; 3 ; 4).
1. Produit P × N et interprétation
Ligne midi : 7·2 + 12·3 + 20·4 = 14 + 36 + 80 = 130. Ligne soir : 7·2 + 15·3 + 30·4 = 14 + 45 + 120 = 179.
P × N = (130 ; 179).
Interprétation : pour le groupe de 2 enfants de 6 ans ou moins, 3 enfants entre 7 et 13 ans et 4 adultes, l'addition serait de 130 € le midi et 179 € le soir.
2.a. Coefficient de la première ligne de P′ × N
P′ = (7 12 t ; 7 15 30). Première ligne de P′ × N :
7·2 + 12·3 + t·4 = 14 + 36 + 4t = 50 + 4t.
2.b. Valeur de t pour un montant de 138 €
50 + 4t = 138 ⟹ 4t = 88 ⟹ t = 22.
Le tarif du menu adulte du midi doit être de 22 €.
Partie B — Logique booléenne
Variables : a (apéritif), b (boisson avec le repas), c (café).
1. Traduire les conditions et E
- Apéritif + boisson + café : a·b·c
- Apéritif + boisson + pas de café : a·b·c̄
- Apéritif + café + pas de boisson : a·b̄·c
E = a·b·c + a·b·c̄ + a·b̄·c.
2. Karnaugh et simplification (somme de deux termes)
Regroupements :
- a·b·c + a·b·c̄ = a·b·(c + c̄) = a·b
- a·b·c + a·b̄·c = a·c·(b + b̄) = a·c
D'où E = a·b + a·c (deux termes), soit E = a·(b + c).
3. Traduction par une phrase
Un client est « très rentable » s'il prend un apéritif ET (une boisson avec son repas OU un café) — autrement dit un apéritif accompagné d'au moins un achat additionnel (boisson pendant le repas ou café).
4. Expression de Ē (somme de deux termes)
Ē = (a·(b + c))‾ = ā + (b + c)‾ = ā + b̄·c̄ (loi de De Morgan).
Deux termes : le client n'est pas très rentable s'il ne prend pas d'apéritif, ou s'il ne prend ni boisson ni café.
Partie C — Graphes
Zones : A accueil, B buffet entrées, C buffet plats chauds, D buffet desserts, E caisse/sortie. Arcs du graphe (d'après le schéma et cohérents avec la fermeture transitive fournie) : A→B, A→C, B→C, C→C (boucle), C→D, C→E, D→D (boucle), D→E.
1.a. Chemin hamiltonien de A vers E
A → B → C → D → E : chaque sommet est visité exactement une fois, et tous les arcs existent (A→B, B→C, C→D, D→E).
1.b. Signification
Le client passe successivement par l'accueil, le buffet des entrées, le buffet des plats chauds, le buffet des desserts puis la caisse : c'est un parcours complet du restaurant, dans l'ordre, en passant une seule fois par chaque zone (un repas complet sans se resservir).
2. Tableau des successeurs
| Sommet | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| Successeur(s) | B, C | C | C, D, E | D, E | — |
3. Matrice d'adjacence M (ordre alphabétique A, B, C, D, E)
A B C D E
A [ 0 1 1 0 0 ]
B [ 0 0 1 0 0 ]
C [ 0 0 1 1 1 ] = M
D [ 0 0 0 1 1 ]
E [ 0 0 0 0 0 ]
4.a. Matrice M³
En calculant M² puis M³ = M² × M :
A B C D E
A [ 0 0 2 3 3 ]
B [ 0 0 1 2 2 ]
C [ 0 0 1 3 3 ] = M³
D [ 0 0 0 1 1 ]
E [ 0 0 0 0 0 ]
4.b. Nombre de chemins de longueur 3 de C vers E
Le coefficient ligne C, colonne E de M³ vaut 3 : il y a 3 chemins de longueur 3 allant de C vers E.
Vérification par énumération : C→C→C→E, C→C→D→E, C→D→D→E. On en trouve bien 3.
5. Arcs à ajouter pour la fermeture transitive
La fermeture transitive M̄ fournie contient 12 arcs (4 depuis A, 3 depuis B, 3 depuis C, 2 depuis D, 0 depuis E). Le graphe initial comporte 8 arcs. Il faut donc ajouter 12 − 8 = 4 arcs : A→D, A→E, B→D et B→E.
FAQ
Ce corrigé est-il fiable ? C'est une proposition rédigée le jour même, pas le corrigé officiel. Les exercices 2 et 3 sont vérifiables pas à pas et cohérents (les codages/décodages se vérifient mutuellement, M³ se recoupe par énumération). L'exercice 1 Q4 dépend de la lecture des flèches du schéma : applique la méthode donnée.
J'ai trouvé un résultat différent sur l'exercice 2, est-ce grave ? Reprends le calcul modulo 26 : l'erreur classique est d'oublier de réduire ax + b modulo 26, ou de se tromper de table de correspondance (A = 0, pas 1). Une seule erreur d'indice décale toute la lettre.
La note tient-elle compte de la démarche ? Oui. En maths BTS SIO, le raisonnement et les étapes sont valorisés même si le résultat final est faux. Détailler les calculs (comme dans l'exemple du codage affine) rapporte des points.
Quand sort le corrigé officiel ? Il n'y a pas de corrigé officiel public systématique pour cette épreuve. Les barèmes restent internes au jury. Ce type de proposition non officielle est souvent la seule référence disponible avant les résultats.
Pour aller plus loin
- Playbook maths — arithmétique — bases, congruences, PGCD, codage affine
- Playbook maths — logique — algèbre de Boole, tableaux de Karnaugh
- Playbook maths — matrices — produit matriciel, puissances
- Playbook maths — graphes — matrice d'adjacence, chemins, fermeture transitive