Union, intersection, complémentaire et diagrammes de Venn

Les opérations ensemblistes fabriquent un nouvel ensemble à partir de deux autres : la réunion (ou union) rassemble leurs éléments, l'intersection garde les éléments communs, la différence retire ceux du second, le complémentaire garde tout ce qui manque. Un diagramme de Venn les représente par des zones dans des cercles. Ce chapitre montre comment les calculer, les démontrer et compter les éléments d'une réunion.

L'ensemble de référence

Pour parler de « ce qui n'est pas dans A », il faut savoir de quoi on parle. On fixe donc un ensemble de référence E (on dit aussi l'univers), dont tous les ensembles étudiés sont des parties : les salariés de l'entreprise, les adresses du réseau, les entiers de 1 à 10.

Tout au long de ce chapitre, sauf mention contraire :

E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}

A = {x ∈ E | x est pair} = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}

B = {x ∈ E | x est multiple de 3} = {3 ; 6 ; 9}

Réunion ou union : A ∪ B

La réunion de A et B, notée A ∪ B (« A union B »), est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B, ou dans les deux.

A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B} = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10}

Le « ou » est inclusif, comme en logique : 6, qui est dans les deux, figure une fois dans la réunion. C'est ce que fait UNION en SQL : elle rassemble les lignes de deux requêtes et supprime les doublons. Fusionner deux listes de diffusion sans envoyer deux fois le même courriel, c'est calculer une réunion.

Intersection : A ∩ B

L'intersection de A et B, notée A ∩ B (« A inter B »), est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B.

A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B} = {6}

Quand A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjoints : ils n'ont aucun élément en commun. Les nombres pairs et les nombres impairs sont disjoints ; deux sous-réseaux bien découpés aussi.

Les comptes qui sont à la fois dans le groupe « VPN » et dans le groupe « Administrateurs » forment l'intersection des deux groupes : en audit de sécurité, c'est souvent l'ensemble à surveiller de près.

Différence : A \ B

La différence de A et B, notée A \ B (« A privé de B »), est l'ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.

A \ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B} = {2 ; 4 ; 8 ; 10}

B \ A = {3 ; 9}

Attention à l'ordre : A \ B et B \ A ne sont pas égaux. En SQL, c'est l'opérateur EXCEPT : « les employés qui n'ont jamais ouvert de ticket », ce sont les employés privés des demandeurs de tickets.

Complémentaire : Ā

Le complémentaire de A dans E, noté Ā (« A barre ») ou ∁A, est l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.

Ā = E \ A = {x ∈ E | x ∉ A} = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}

Le complémentaire dépend de E : le complémentaire des nombres pairs est {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} dans notre E, mais l'ensemble de tous les impairs dans ℕ. Dans un sujet, repère toujours l'ensemble de référence avant de calculer un complémentaire.

On a toujours A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = E : A et son complémentaire se partagent E sans se chevaucher.

Différence symétrique : A Δ B

La différence symétrique, notée A Δ B, contient les éléments qui sont dans A ou dans B, mais pas dans les deux.

A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; 10}

C'est le OU exclusif (XOR) de la logique. Comparer deux listes de fichiers et afficher ceux qui ne sont que d'un côté (ce que fait un outil de synchronisation), c'est calculer une différence symétrique.

Les diagrammes de Venn

Un diagramme de Venn représente E par un rectangle et chaque partie par une zone fermée, en général un cercle. Les cercles se chevauchent pour laisser une place à chaque cas possible : avec deux ensembles, il y a quatre zones (dans A seulement, dans les deux, dans B seulement, dans aucun).

Un diagramme de Venn illustre une égalité ; il ne la démontre pas. Il sert à deviner un résultat, à vérifier un calcul et à compter. Pour démontrer, utilise une des méthodes plus bas.

Les propriétés des opérations

Ces règles valent pour toutes les parties A, B, C de E. Elles se lisent par paires : remplace ∪ par ∩, ∅ par E, et tu obtiens l'autre règle de la ligne.

Et le complémentaire du complémentaire redonne l'ensemble de départ : le complémentaire de Ā est A.

Les lois de De Morgan se disent en français : « ne pas être dans A ou B, c'est n'être ni dans A, ni dans B » ; « ne pas être dans les deux, c'est manquer à au moins l'un des deux ». Vérifie-les sur notre exemple : A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10}, donc ∁(A ∪ B) = {1 ; 5 ; 7}. Et Ā ∩ B̄ = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} ∩ {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10} = {1 ; 5 ; 7}. Les deux résultats sont égaux.

Le lien avec l'algèbre de Boole

Ce tableau de propriétés est exactement celui des lois de l'algèbre de Boole. Ce n'est pas une coïncidence : on passe d'un monde à l'autre en remplaçant chaque ensemble par la proposition « x appartient à cet ensemble ».

On dit que P(E), muni de la réunion, de l'intersection et du complémentaire, est une algèbre de Boole. En pratique, tout ce que tu sais faire en logique booléenne (simplifier, utiliser De Morgan, dresser une table, lire un tableau de Karnaugh) marche aussi avec les ensembles, et inversement. Quand tu écris en PHP if (!($estAdmin && $estConnecte)), tu peux le réécrire if (!$estAdmin || !$estConnecte) : c'est De Morgan.

Démontrer une égalité d'ensembles

Trois méthodes, de la plus mécanique à la plus élégante.

Méthode 1 : la table d'appartenance

C'est une table de vérité. Pour chaque cas possible (x est dans A ou non, dans B ou non), on note 1 si x appartient à l'ensemble, 0 sinon. Deux expressions sont égales si leurs colonnes sont identiques sur toutes les lignes.

Exemple : démontrer ∁(A ∩ B) = Ā ∪ B̄.

Les colonnes en gras sont identiques : un élément appartient à ∁(A ∩ B) exactement quand il appartient à Ā ∪ B̄. Les deux ensembles sont égaux. Avec trois ensembles, la table a 2³ = 8 lignes.

Méthode 2 : le calcul avec les propriétés

On transforme une expression, une propriété à la fois, en nommant chaque règle.

Exemple : simplifier (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄).

(A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄) = A ∩ (B ∪ B̄) par distributivité = A ∩ E car B ∪ B̄ = E = A car E est neutre pour l'intersection.

Exemple : montrer que A \ B = A ∩ B̄. Par définition, x ∈ A \ B signifie « x ∈ A et x ∉ B », c'est-à-dire « x ∈ A et x ∈ B̄ », soit x ∈ A ∩ B̄. Cette égalité est très utile : elle ramène toute différence à une intersection, sur laquelle les autres règles s'appliquent.

Méthode 3 : la double inclusion

Pour des énoncés plus abstraits, on montre A ⊂ B puis B ⊂ A (chapitre 1). À l'E3, la table d'appartenance et le calcul suffisent presque toujours.

Traduire une phrase en expression ensembliste

Les sujets décrivent souvent un ensemble en français et demandent son écriture. Le plus sûr est de traduire mot à mot avec le tableau ET / OU / NON.

Soit E l'ensemble des comptes d'un domaine, V les comptes autorisés sur le VPN, D les administrateurs du domaine, M les comptes dont le mot de passe a expiré.

Partition d'un ensemble

Une partition de E est une famille de parties de E qui sont non vides, deux à deux disjointes, et dont la réunion est E. Chaque élément de E est alors dans une et une seule de ces parties.

• {A ; Ā} est une partition de E dès que A n'est ni vide ni égal à E.
• Les nombres pairs et les nombres impairs forment une partition de ℕ.
• Les sous-réseaux 192.168.10.0/25 et 192.168.10.128/25 forment une partition du réseau 192.168.10.0/24.
• Les services d'une entreprise forment une partition des salariés, si chacun appartient à exactement un service.

Tu retrouveras les partitions au chapitre 5 : ce sont exactement les classes d'une relation d'équivalence.

Cardinal d'une réunion : la formule à connaître

Pour deux ensembles finis A et B :

Vérification sur l'exemple : card(A) = 5, card(B) = 3, card(A ∩ B) = 1, donc card(A ∪ B) = 5 + 3 − 1 = 7. Le calcul direct donne bien {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10}, 7 éléments.

Pour trois ensembles, on ajoute les trois, on retire les trois intersections deux à deux, puis on rajoute l'intersection des trois, qu'on vient de retirer une fois de trop :

card(A ∪ B ∪ C) = card(A) + card(B) + card(C) − card(A ∩ B) − card(A ∩ C) − card(B ∩ C) + card(A ∩ B ∩ C)

C'est la formule du crible (ou formule de Poincaré).

Exemple corrigé : une promotion de BTS SIO

Dans une promotion de 30 étudiants, 18 savent programmer en Python (P), 15 en JavaScript (J) et 12 écrivent du SQL (S). 8 maîtrisent Python et JavaScript, 7 Python et SQL, 5 JavaScript et SQL, et 3 les trois.

1. Combien d'étudiants maîtrisent au moins un des trois langages ?
2. Combien n'en maîtrisent aucun ?
3. Combien maîtrisent seulement Python ?

Méthode : remplir le diagramme de Venn de l'intérieur vers l'extérieur.

• Zone centrale P ∩ J ∩ S : 3.
• P ∩ J sans S : 8 − 3 = 5. P ∩ S sans J : 7 − 3 = 4. J ∩ S sans P : 5 − 3 = 2.
• Python seul : 18 − 5 − 4 − 3 = 6. JavaScript seul : 15 − 5 − 2 − 3 = 5. SQL seul : 12 − 4 − 2 − 3 = 3.

1. Au moins un langage : 3 + 5 + 4 + 2 + 6 + 5 + 3 = 28. La formule du crible donne le même résultat : 18 + 15 + 12 − 8 − 7 − 5 + 3 = 28.
2. Aucun : 30 − 28 = 2.
3. Seulement Python : 6.

Exercices

Exercice 1 sur 5 Calculer des opérations Réussi À revoir

Soit E = {1 ; 2 ; … ; 12}, A l'ensemble des multiples de 2, B l'ensemble des multiples de 3 et C = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, tous dans E.

1. Écris A et B en extension.
2. Calcule A ∪ B, A ∩ B, A \ B, Ā et A Δ B.
3. Calcule (A ∪ B) ∩ C et A ∩ B ∩ C.
4. Calcule ∁(A ∪ B), puis Ā ∩ B̄. Quelle loi vérifies-tu ?

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1. A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12} et B = {3 ; 6 ; 9 ; 12}.
2. A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12} ; A ∩ B = {6 ; 12} ; A \ B = {2 ; 4 ; 8 ; 10} ; Ā = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11} ; A Δ B = {2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; 10}.
3. (A ∪ B) ∩ C = {2 ; 3 ; 4}. A ∩ B ∩ C = {6 ; 12} ∩ C = ∅ : A ∩ B et C sont disjoints.
4. ∁(A ∪ B) = {1 ; 5 ; 7 ; 11}. Ā ∩ B̄ = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11} ∩ {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11} = {1 ; 5 ; 7 ; 11}. Les deux sont égaux : c'est une loi de De Morgan. Contrôle avec la formule : card(A ∪ B) = 6 + 4 − 2 = 8, et 12 − 8 = 4 éléments dans le complémentaire.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 2 sur 5 De la phrase à l'expression Réussi À revoir

Trois parties A, B et C d'un ensemble E sont représentées sur un diagramme de Venn. Écris une expression pour chacune des zones suivantes.

1. Les éléments de A ou de B qui ne sont pas dans C.
2. Les éléments qui sont dans exactement un des deux ensembles A et B.
3. Les éléments qui sont dans les trois ensembles.
4. Les éléments qui ne sont dans aucun des trois ensembles.
5. Les éléments de C qui sont dans A ou dans B.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. (A ∪ B) ∩ C̄, qu'on peut écrire (A ∪ B) \ C.
2. (A ∩ B̄) ∪ (Ā ∩ B), c'est-à-dire A Δ B.
3. A ∩ B ∩ C.
4. Ā ∩ B̄ ∩ C̄, c'est-à-dire ∁(A ∪ B ∪ C) par De Morgan.
5. C ∩ (A ∪ B), qui vaut aussi (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) par distributivité.

Tu avais trouvé ?

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Exercice 3 sur 5 Démontrer et simplifier Réussi À revoir

1. Démontre avec une table d'appartenance que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
2. Simplifie ∁(Ā ∪ B) en nommant les règles utilisées.
3. Simplifie A ∪ (Ā ∩ B).

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. On note a, b, c l'appartenance à A, B, C.

a	b	c	B ∩ C	A ∪ (B ∩ C)	A ∪ B	A ∪ C	(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Les deux colonnes en gras sont identiques sur les huit lignes : l'égalité est démontrée.

2. ∁(Ā ∪ B) = (complémentaire de Ā) ∩ B̄ par De Morgan, = A ∩ B̄ car le complémentaire de Ā est A. C'est A \ B.

3. A ∪ (Ā ∩ B) = (A ∪ Ā) ∩ (A ∪ B) par distributivité, = E ∩ (A ∪ B) car A ∪ Ā = E, = A ∪ B car E est neutre pour l'intersection.

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Exercice 4 sur 5 Ordinateurs et smartphones Réussi À revoir

Une entreprise compte 80 salariés. 45 ont un ordinateur portable professionnel, 30 un smartphone professionnel, et 12 ont les deux.

1. Combien de salariés ont au moins un des deux appareils ?
2. Combien n'en ont aucun ?
3. Combien ont exactement un des deux appareils ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4

On note O et S les deux ensembles.

1. card(O ∪ S) = 45 + 30 − 12 = 63.
2. 80 − 63 = 17.
3. Ordinateur seul : 45 − 12 = 33 ; smartphone seul : 30 − 12 = 18 ; total 33 + 18 = 51. C'est card(O Δ S), qu'on obtient aussi par 63 − 12.

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Exercice 5 sur 5 Certifications d'une promotion Réussi À revoir

Dans une promotion de 50 étudiants de BTS SIO, 28 ont obtenu une certification réseau (R), 20 la certification Pix (P) et 15 une certification d'anglais (A). 8 ont R et P, 6 ont R et A, 5 ont P et A, et 2 ont les trois.

1. Remplis un diagramme de Venn.
2. Combien d'étudiants ont au moins une certification ? Aucune ?
3. Combien ont exactement une certification ? Exactement deux ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 5

1. Centre : 2. R ∩ P seulement : 8 − 2 = 6 ; R ∩ A seulement : 6 − 2 = 4 ; P ∩ A seulement : 5 − 2 = 3. R seul : 28 − 6 − 4 − 2 = 16 ; P seul : 20 − 6 − 3 − 2 = 9 ; A seul : 15 − 4 − 3 − 2 = 6.
2. Au moins une : 2 + 6 + 4 + 3 + 16 + 9 + 6 = 46, ce que confirme la formule du crible : 28 + 20 + 15 − 8 − 6 − 5 + 2 = 46. Aucune : 50 − 46 = 4.
3. Exactement une : 16 + 9 + 6 = 31. Exactement deux : 6 + 4 + 3 = 13. Contrôle : 31 + 13 + 2 = 46.

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