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Mathématiques — Théorie des ensembles
Cours de théorie des ensembles BTS SIO (E3) : Venn, produit cartésien, relations, injection, surjection, bijection, liens avec SQL, exercices corrigés.
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
L'essentiel
La théorie des ensembles est la partie des mathématiques qui décrit des collections d'objets et les liens entre elles : appartenir, être inclus, se combiner, être en relation, se correspondre. C'est le langage de base de l'informatique. Une table SQL est un ensemble de lignes, un masque de sous-réseau découpe l'ensemble des adresses IP, un tri suppose une relation d'ordre, une fonction de hachage est une application qui n'est pas injective. Au BTS SIO, ce module fait partie de l'épreuve E3, « Mathématiques pour l'informatique », commune aux options SLAM et SISR.
À la fin de ce cours, tu sauras :
- écrire un ensemble, ses parties et son cardinal avec les bonnes notations ;
- calculer une réunion, une intersection, un complémentaire, et les lire sur un diagramme de Venn ;
- dénombrer les éléments d'un produit cartésien ;
- étudier une relation binaire et reconnaître une relation d'équivalence ou d'ordre ;
- dire si une application est injective, surjective ou bijective, et calculer une composée ;
- reconnaître ces notions dans une requête SQL, un masque de bits, un tri ou un algorithme de chiffrement.
Prérequis. Aucun, à part le calcul de collège. Le chapitre 2 fait le lien avec la logique booléenne, le chapitre 4 avec les matrices et les graphes : tu peux lire ce cours avant ou après eux.
Ce que dit le programme. Le référentiel du BTS SIO range ces notions dans le module « Éléments de la théorie des ensembles », qui complète le module sur les algèbres de Boole : produit cartésien (savoir déterminer et dénombrer les éléments du produit de deux ensembles finis), relations binaires, relations d'équivalence et d'ordre, applications. Le programme insiste sur leurs usages en informatique : codage, tri, compression. Le langage ensembliste lui-même (parties, réunion, intersection, complémentaire) est aussi utilisé avec l'algèbre de Boole. Les exemples de ce cours sont donc presque tous tirés de l'informatique.
Comment travailler. Chaque chapitre définit ses notions, les applique sur des exemples corrigés pas à pas, puis se termine par des exercices dont la réponse est masquée. Cherche sur une feuille, avec les notations, avant d'ouvrir la réponse : à l'examen, c'est la rédaction qui rapporte les points. Le chapitre 8 rassemble des exercices au format de l'épreuve.
| Ton objectif | Chapitres à travailler en priorité |
|---|---|
| Découvrir les ensembles | 1, 2 et 3 |
| Préparer l'E3 | 1 à 6, puis 8 |
| Comprendre les jointures et les opérateurs ensemblistes de SQL | 2, 3 et 7 |
| Réviser la veille de l'épreuve | Les encadrés « À retenir » et le chapitre 8 |
Les notations du cours. Un ensemble s'écrit entre accolades, ses éléments séparés par des points-virgules : {1 ; 2 ; 3}. Un couple s'écrit entre parenthèses : (a ; b). Le cardinal de E se note card(E). Le complémentaire d'une partie A se note Ā ; pour une expression plus longue, comme le complémentaire de A ∪ B, on écrit ∁(A ∪ B), faute de pouvoir tracer une barre au-dessus de toute l'expression.
Sommaire
Ensembles
0 chapitre sur 8
- Chapitre 1 : Ensembles, appartenance, inclusion et parties16 min
- Chapitre 2 : Union, intersection, complémentaire et diagrammes de Venn21 min
- Chapitre 3 : Produit cartésien et cardinal13 min
- Chapitre 4 : Relations binaires et leurs propriétés16 min
- Chapitre 5 : Relation d'équivalence et relation d'ordre16 min
- Chapitre 6 : Applications : injection, surjection, bijection19 min
- Chapitre 7 : Les ensembles en informatique : SQL, codage et tri18 min
- Chapitre 8 : Exercices corrigés type E318 min
Questions fréquentes
C'est quoi la théorie des ensembles ?
C'est la partie des mathématiques qui étudie les collections d'objets, appelées ensembles, et leurs liens : appartenance, inclusion, réunion, intersection, produit cartésien, relations et applications. Elle sert de langage commun à toutes les mathématiques et à l'informatique : une table SQL, un groupe d'utilisateurs ou un sous-réseau sont des ensembles. Au BTS SIO, on en étudie la partie utile à l'informatique, sur des ensembles finis (chapitre 1).
Quelle est la différence entre ∈ et ⊂ ?
∈ (« appartient à ») relie un élément à un ensemble : 3 ∈ {1 ; 2 ; 3}. ⊂ (« est inclus dans ») relie deux ensembles : {3} ⊂ {1 ; 2 ; 3}, parce que tout élément du premier est dans le second. Pour choisir, demande-toi si ce qui est à gauche est un élément ou un ensemble (appartenance ou inclusion).
Combien un ensemble a-t-il de parties ?
Un ensemble de n éléments a 2ⁿ parties, en comptant l'ensemble vide et l'ensemble lui-même. Pour former une partie, on décide pour chaque élément de le prendre ou non, soit deux choix par élément. Ainsi {r ; w ; x} a 2³ = 8 parties, les huit réglages possibles d'un chiffre de chmod (l'ensemble des parties).
C'est quoi un produit cartésien ?
Le produit cartésien E × F est l'ensemble de tous les couples (x ; y) avec x dans E et y dans F. Son cardinal est le produit des cardinaux : 3 tailles × 2 couleurs donnent 6 déclinaisons. En SQL, c'est le CROSS JOIN, et une jointure n'en garde que les couples de lignes qui se correspondent (chapitre 3).
Quelle est la différence entre une relation d'équivalence et une relation d'ordre ?
Les deux sont réflexives et transitives ; l'équivalence est en plus symétrique, l'ordre antisymétrique. Une relation d'équivalence regroupe les éléments qui se valent selon un critère et découpe l'ensemble en classes, comme GROUP BY ou les sous-réseaux. Une relation d'ordre permet de comparer et de ranger, comme ORDER BY (chapitre 5).
Quelle est la différence entre injection, surjection et bijection ?
Une application est injective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, surjective s'il en a au moins un, bijective s'il en a exactement un. Sur un diagramme sagittal, on compte les flèches qui arrivent : jamais deux pour une injection, jamais zéro pour une surjection, exactement une pour une bijection. Seule une bijection a une réciproque : c'est pourquoi un chiffrement doit être bijectif (chapitre 6).
C'est quoi l'image réciproque d'un ensemble par une application ?
L'image réciproque f⁻¹(B) est l'ensemble des éléments de départ dont l'image est dans B. Elle existe pour toute application, même non bijective, et peut être vide. Avec f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a, on a f⁻¹({a}) = {1 ; 3} (image directe et image réciproque).
Comment calculer g∘f ?
(g∘f)(x) = g(f(x)) : on applique f d'abord, puis g au résultat. La notation se lit de droite à gauche, et g∘f est en général différente de f∘g : avec f(x) = x + 1 et g(x) = 2x, (g∘f)(3) = 8 mais (f∘g)(3) = 7 (composée de deux applications).
À quoi sert la théorie des ensembles en informatique ?
Les bases de données relationnelles en sont une application directe : UNION, INTERSECT et EXCEPT sont la réunion, l'intersection et la différence, et une jointure est une partie d'un produit cartésien. On la retrouve dans les masques de bits (droits Unix, masques de sous-réseau), les types set de Python et Set de JavaScript, le tri (relation d'ordre total), le chiffrement (bijection) et le hachage (application non injective) (chapitre 7).
La théorie des ensembles est-elle au programme de l'E3 du BTS SIO ?
Oui. Le module « Éléments de la théorie des ensembles » fait partie du programme de l'épreuve E3, « Mathématiques pour l'informatique », commune aux options SLAM et SISR : produit cartésien, relations binaires, relations d'équivalence et d'ordre, applications. Le langage ensembliste (réunion, intersection, complémentaire) est aussi utilisé avec l'algèbre de Boole. Le sujet de 2026 demandait par exemple une image réciproque et une composée en QCM (exercices type E3).