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Mathématiques — Logique et algèbre de Boole
Cours de logique et d'algèbre de Boole pour le BTS SIO (E3) : tables de vérité, quantificateurs, ensembles, simplification, Karnaugh, exercices corrigés.
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
L'essentiel
La logique et l'algèbre de Boole forment le calcul du vrai et du faux : comment combiner des conditions avec « et », « ou », « non », comment les nier, et comment simplifier une expression booléenne pour la rendre plus courte. C'est un module du programme de l'épreuve E3 « Mathématiques pour l'informatique » du BTS SIO, commun aux options SLAM et SISR. C'est aussi un outil de tous les jours : chaque condition if, chaque clause WHERE, chaque calcul d'adresse réseau est de l'algèbre de Boole.
À la fin de ce cours, tu sauras :
- dresser une table de vérité et utiliser les connecteurs, l'implication et les lois de De Morgan ;
- lire, écrire et nier un énoncé avec les quantificateurs ∀ et ∃ ;
- passer d'une phrase en français à une expression logique, et inversement ;
- manipuler les ensembles (inclusion, P(E), intersection, réunion, complémentaire) ;
- simplifier une expression booléenne par le calcul et par un tableau de Karnaugh ;
- reconnaître ces notions dans un programme, une requête SQL ou un masque de sous-réseau ;
- traiter un exercice de logique de l'E3, de la traduction à l'interprétation.
Ce que dit le programme. Le module « algèbres de Boole » du programme de mathématiques des BTS (arrêté du 4 juin 2013), repris par le référentiel du BTS SIO, comporte quatre parties : le calcul propositionnel et le calcul des prédicats (chapitres 1 à 4), le langage ensembliste (chapitre 5) et le calcul booléen (chapitres 6 à 9). Il se limite à des cas simples : au plus trois variables pour les simplifications et les tableaux de Karnaugh. Les portes logiques (chapitre 10) et le tableau de Karnaugh à quatre variables sont des compléments, signalés comme tels.
Prérequis. Aucun, en dehors du calcul de base. Le binaire aide pour les chapitres 10 et 11 : il est expliqué dans le cours d'arithmétique, aux chapitres bases de numération et conversions.
Les notations. Le cours utilise les notations de la logique (¬, ∧, ∨) dans les chapitres 1 à 4, puis celles de l'algèbre de Boole (a̅, ab, a + b), qui sont celles des sujets. Quand une barre de complément couvre plus d'une lettre, ce cours l'écrit non(…) : non(a + b) se trace sur ta copie avec une barre au-dessus de a + b.
Comment travailler. Chaque chapitre se termine par des exercices dont la réponse est masquée : cherche d'abord, au brouillon, puis ouvre la correction. Pour vérifier toi-même une simplification, le chapitre 7 donne un programme Python de quelques lignes qui teste toutes les combinaisons.
| Ton objectif | Chapitres à travailler en priorité |
|---|---|
| Découvrir la logique | 1, 2 et 3 |
| Réussir les questions de Karnaugh de l'E3 | 6, 7, 8 et 9 |
| Préparer l'E3 en entier sur ce module | 1 à 9, puis 12 |
| Voir à quoi tout cela sert en informatique | 10 et 11 |
| Réviser la veille de l'épreuve | 12 et 13 |
Sommaire
Algèbre de Boole
0 chapitre sur 13
- Chapitre 1 : Propositions, connecteurs et tables de vérité17 min
- Chapitre 2 : Implication, équivalence et lois de De Morgan17 min
- Chapitre 3 : Calcul des prédicats : quantificateurs ∀ et ∃15 min
- Chapitre 4 : Traduire le langage courant en langage mathématique13 min
- Chapitre 5 : Langage ensembliste : inclusion, intersection, réunion15 min
- Chapitre 6 : Algèbre de Boole : définition, règles et propriétés13 min
- Chapitre 7 : Simplifier une expression booléenne par le calcul13 min
- Chapitre 8 : Fonction booléenne, mintermes et forme canonique12 min
- Chapitre 9 : Tableau de Karnaugh : simplifier pas à pas14 min
- Chapitre 10 : Portes logiques, XOR, NAND et NOR12 min
- Chapitre 11 : La logique en informatique : conditions, SQL, masques et bits14 min
- Chapitre 12 : Exercices corrigés d'algèbre de Boole type E316 min
- Chapitre 13 : Aide-mémoire : les formules de logique et de Boole7 min
Questions fréquentes
C'est quoi l'algèbre de Boole ?
L'algèbre de Boole est le calcul sur des variables qui ne valent que 0 (faux) ou 1 (vrai), avec trois opérations : le complément (non), le produit (et) et la somme (ou). Elle a ses propres règles, comme 1 + 1 = 1 ou a + ab = a, qui permettent de simplifier une expression booléenne. Elle porte le nom de George Boole, qui l'a définie au XIXe siècle, et elle est à la base des circuits des ordinateurs (définition et règles).
À quoi sert l'algèbre de Boole en informatique ?
Elle sert partout où l'on combine des conditions : les if et les while d'un programme, les clauses WHERE d'une requête SQL, les règles d'un pare-feu ou d'un contrôle d'accès. Elle sert aussi à calculer sur les bits : une adresse de réseau est un ET logique entre l'adresse IP et le masque, et le XOR sert au chiffrement et à la parité du RAID 5. Les processeurs eux-mêmes sont faits de portes logiques (la logique en informatique).
Comment faire un tableau de Karnaugh ?
Range la table de vérité dans une grille : pour trois variables, a en ligne (0 et 1) et bc en colonne, dans l'ordre 00, 01, 11, 10, pour que deux cases voisines ne diffèrent que d'une variable. Place les 1, puis entoure-les par rectangles de 1, 2, 4 ou 8 cases, les plus grands possible, sans oublier que la première et la dernière colonne sont voisines. Chaque groupe donne un produit des variables qui ne changent pas, et l'expression simplifiée est la somme de ces produits (méthode pas à pas).
Quelles sont les lois de De Morgan ?
Elles disent comment nier un « et » ou un « ou » : non(a et b) = (non a) ou (non b), et non(a ou b) = (non a) et (non b). En notation booléenne, non(ab) = a̅ + b̅ et non(a + b) = a̅ b̅. On nie chaque terme et on change le connecteur ; elles valent aussi pour les ensembles (le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires) (lois de De Morgan).
Comment simplifier une expression booléenne ?
Mets-la d'abord sous forme de somme de produits, en développant et en appliquant De Morgan. Cherche ensuite les termes qui ne diffèrent que par une variable (ab + ab̅ = a), puis les absorptions (a + ab = a et a + a̅b = a + b). Pour trois variables, le tableau de Karnaugh donne le même résultat de façon plus visuelle ; dans tous les cas, vérifie par une table de vérité (dix exemples détaillés).
Pourquoi « faux implique vrai » est-il vrai ?
L'implication P ⇒ Q est une promesse : « si P, alors Q ». Elle n'est trahie que si P est vraie et Q fausse ; quand P est fausse, la promesse ne dit rien, elle n'est donc pas rompue. C'est pourquoi P ⇒ Q est équivalente à « non P ou Q » (l'implication expliquée).
Quelle est la différence entre le ou et le ou exclusif (XOR) ?
Le « ou » logique est inclusif : P ou Q est vrai si au moins une des deux propositions est vraie, y compris les deux. Le ou exclusif P ⊕ Q est vrai si exactement une des deux est vraie, comme « fromage ou dessert » sur un menu. Ils ne diffèrent que sur la ligne où P et Q sont vraies : 1 + 1 = 1, mais 1 ⊕ 1 = 0 (connecteurs logiques).
Comment nier une phrase avec « pour tout » ou « il existe » ?
On échange les quantificateurs et on nie la propriété : la négation de « pour tout x, p(x) » est « il existe x tel que non p(x) », et inversement. La négation de « tous les postes sont à jour » est donc « au moins un poste n'est pas à jour », et non « aucun poste n'est à jour ». Avec deux quantificateurs, on les échange tous les deux, de gauche à droite (négation des quantificateurs).
L'algèbre de Boole est-elle au programme du BTS SIO ?
Oui. Le module « algèbres de Boole » fait partie du programme de l'épreuve E3 « Mathématiques pour l'informatique », commune aux options SLAM et SISR : calcul propositionnel, calcul des prédicats, langage ensembliste et calcul booléen avec les tableaux de Karnaugh, limités à trois variables. Il peut tomber à l'écrit de 55 minutes du contrôle en cours de formation comme à l'écrit ponctuel de 2 heures (méthode et sujets corrigés).