Traduire le langage courant en langage mathématique

Traduire une phrase en langage mathématique, c'est la découper en propositions élémentaires, nommer chacune par une lettre, puis relier ces lettres par les connecteurs et les quantificateurs qui correspondent aux mots de liaison du français. Le programme du BTS demande de savoir le faire dans les deux sens, et la plupart des exercices de logique de l'E3 commencent par là : on te donne une règle en français, tu dois l'écrire avec des variables, ou l'inverse.

La méthode en quatre étapes

1. Repérer les propositions élémentaires. Ce sont les morceaux de phrase qui sont vrais ou faux à eux seuls, sans négation : « le client est abonné », « la commande dépasse 100 € ». Donne à chacune une lettre et écris la correspondance.
2. Repérer les mots de liaison (et, ou, sauf, si, ni…) et les traduire avec le dictionnaire ci-dessous. Une négation (« n'est pas », « sans ») devient ¬ devant la lettre.
3. Placer les parenthèses en te demandant ce que chaque mot de liaison relie. C'est l'étape où se font les erreurs.
4. Vérifier sur deux ou trois cas concrets : choisis des valeurs, lis la phrase de départ et ta formule, et compare.

Exemple. « Un client bénéficie de la livraison gratuite s'il est abonné ou si sa commande dépasse 100 €, sauf s'il habite hors de France métropolitaine. »

1. A : « le client est abonné » ; C : « la commande dépasse 100 € » ; H : « le client habite hors de France métropolitaine ». La livraison gratuite est notée L.
2. « ou » donne ∨, « sauf si » donne « et non ».
3. « sauf si » porte sur toute la règle qui précède : L ≡ (A ∨ C) ∧ ¬H.
4. Vérification : un abonné qui habite en Martinique (A = V, C = F, H = V) : (V ∨ F) ∧ ¬V = V ∧ F = F, pas de livraison gratuite, comme le dit la phrase.

Sans parenthèses, A ∨ C ∧ ¬H se lirait A ∨ (C ∧ ¬H) : un abonné ultramarin aurait la livraison gratuite, ce qui contredit la règle.

Le dictionnaire des mots de liaison

Les pièges du français

Le « et » qui veut dire « ou ». « La salle est réservée aux étudiants de SIO1 et de SIO2. » Aucun étudiant n'est à la fois en première et en deuxième année : la condition d'accès est x ∈ SIO1 ou x ∈ SIO2. En français, « les A et les B » désigne souvent la réunion des deux groupes, donc un « ou » sur chaque individu.

Le « ou » du menu. « Fromage ou dessert » est exclusif, alors que « carte bancaire ou espèces acceptées » est inclusif. En mathématiques, « ou » est inclusif sauf mention contraire : si un sujet veut un ou exclusif, il le dit (« soit… soit… », « mais pas les deux »).

Le « si » qui veut dire « si et seulement si ». « Tu auras ton diplôme si tu as au moins 10 de moyenne » est compris par tout le monde comme une équivalence (et sans 10, pas de diplôme). Logiquement, la phrase n'affirme que l'implication. Dans un sujet, traduis ce qui est écrit, sauf si l'énoncé précise « et seulement dans ce cas ».

« Tous les… ne… pas ». « Tous les postes ne sont pas à jour » est ambigu en français. Le plus souvent, on veut dire « pas tous les postes sont à jour » (∃x, ¬j(x)), pas « aucun poste n'est à jour » (∀x, ¬j(x)). Sur une copie, évite cette tournure et écris « au moins un poste n'est pas à jour » ou « aucun poste n'est à jour ».

La double négation. « Il n'est pas impossible que le serveur redémarre » veut dire « il est possible que le serveur redémarre ». ¬¬P ≡ P.

« Ne… que ». « Le pare-feu n'autorise que le port 443 » veut dire : pour tout port x, si x est autorisé alors x = 443. C'est une implication cachée, ∀x, a(x) ⇒ x = 443, et elle ne dit même pas que 443 est autorisé.

Exprimer une condition avec des connecteurs

Le programme demande aussi d'« utiliser des connecteurs logiques pour exprimer une condition », compétence mise en œuvre en algorithmique. Une règle de gestion décrite en français devient une condition if ou une clause WHERE.

Exemple : l'accès au VPN. « Un salarié peut se connecter au VPN s'il fait partie du service informatique, ou s'il est en télétravail ce jour-là et que son poste est à jour. Un compte suspendu n'a jamais accès. »

• I : « le salarié est au service informatique » ; T : « il est en télétravail ce jour-là » ; J : « son poste est à jour » ; S : « son compte est suspendu ».
• Accès ≡ (I ∨ (T ∧ J)) ∧ ¬S.

En Python :

def acces_vpn(info: bool, teletravail: bool, a_jour: bool, suspendu: bool) -> bool:
    return (info or (teletravail and a_jour)) and not suspendu

print(acces_vpn(False, True, True, False))   # True : télétravail et poste à jour
print(acces_vpn(True, False, False, True))   # False : compte suspendu

En SQL, sur une table salarie qui aurait les colonnes correspondantes :

SELECT nom
FROM salarie
WHERE (service = 'INFO' OR (teletravail = 1 AND poste_a_jour = 1))
  AND suspendu = 0;

Les parenthèses sont indispensables dans les trois écritures, pour la raison vue au chapitre 1 : sans elles, and passerait avant or.

Du langage mathématique au français

Le chemin inverse demande de lire une formule et d'en faire une phrase naturelle, pas une transcription mot à mot. Méthode : lis d'abord les quantificateurs de gauche à droite, puis le prédicat, et reformule.

Pour la dernière ligne, on peut passer par le calcul : ¬(∃t, o(t) ∧ ¬a(t)) ≡ ∀t, ¬(o(t) ∧ ¬a(t)) ≡ ∀t, ¬o(t) ∨ a(t) ≡ ∀t, o(t) ⇒ a(t).

Exercices

alerte = (disque_libre < 10 or (cpu > 90 and duree_cpu > 5)) and not maintenance