Exercices corrigés d'algèbre de Boole type E3

Exercice 1 sur 5 Sujet 1 (Karnaugh, De Morgan, interprétation) Réussi À revoir

Une PME héberge ses serveurs dans une petite salle supervisée. Trois capteurs renvoient chacun une variable booléenne :

• t = 1 si la température dépasse 27 °C, t = 0 sinon ;
• h = 1 si l'humidité est hors de la plage recommandée, h = 0 sinon ;
• e = 1 si les serveurs sont alimentés par l'onduleur (coupure de courant), e = 0 s'ils sont sur le secteur.

Une alerte A est envoyée au technicien d'astreinte dans les cas suivants, et seulement dans ces cas :

• la température est trop élevée et les serveurs sont sur onduleur ;

• la température est normale, l'humidité est hors plage et les serveurs sont sur onduleur ;

• la température est trop élevée, l'humidité est dans la plage et les serveurs sont sur le secteur.

1. Écris l'expression booléenne A traduisant ces conditions.
2. Représente A dans un tableau de Karnaugh (t en ligne, he en colonne).
3. En déduis une expression de A sous la forme d'une somme de deux termes.
4. Traduis ce résultat par une phrase.
5. À l'aide des propriétés du calcul booléen, écris le complément A̅ sous la forme d'une somme de deux termes. Interprète.

Exercice 2 sur 5 Sujet 2 (traduction, calcul booléen, ensembles) Réussi À revoir

Partie A. L'accès aux salles de TP d'un lycée est géré par badge. On définit, pour une personne :

• p = 1 si c'est un enseignant ;
• e = 1 si c'est un étudiant inscrit ;
• c = 1 si la personne a signé la charte informatique.

Le règlement dit : « ont accès aux salles les enseignants ; les étudiants inscrits qui ont signé la charte ; les personnes qui ne sont pas des étudiants inscrits et qui ont signé la charte ».

1. Écris l'expression booléenne F de l'accès.
2. Simplifie F par le calcul, en citant les propriétés utilisées.
3. Traduis F simplifiée par une phrase. Le règlement aurait-il pu être écrit plus simplement ?
4. Écris F̅ et interprète.

Partie B. Sur les 240 personnes qui ont un badge, 25 sont des enseignants, 170 ont signé la charte, et 20 enseignants ont signé la charte. On note P l'ensemble des enseignants et C celui des signataires de la charte.

1. Écris avec P et C l'ensemble des personnes qui ont accès aux salles.
2. Combien de personnes ont accès aux salles ? Combien n'y ont pas accès ?

Exercice 3 sur 5 Sujet 3 (quantificateurs, négation, ensembles) Réussi À revoir

Le parc d'une entreprise compte cinq serveurs. On note S = {s1, s2, s3, s4, s5}.

Pour x ∈ S, on note ℓ(x) : « x est sous Linux », b(x) : « x est sauvegardé chaque nuit », v(x) : « x est supervisé ».

1. Donne la valeur de vérité de chaque proposition, en justifiant.
   • a. ∀x ∈ S, b(x)
   • b. ∃x ∈ S, ¬ℓ(x) ∧ ¬v(x)
   • c. ∀x ∈ S, ℓ(x) ⇒ v(x)
2. Écris la négation de la proposition 1.c en symboles, puis en français.
3. On note L, B et V les ensembles de serveurs qui vérifient respectivement ℓ, b et v. Écris en extension L ∩ B, B̅ et L̅ ∪ V̅.
4. Combien l'ensemble P(L) des parties de L a-t-il d'éléments ?

Exercice 4 sur 5 Sujet 4 (QCM) Réussi À revoir

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1. La négation de « tous les comptes ont un mot de passe robuste » est :
   • a. aucun compte n'a de mot de passe robuste ;
   • b. au moins un compte n'a pas de mot de passe robuste ;
   • c. au moins un compte a un mot de passe robuste.
2. non(a + b̅) est égal à :
   • a. a̅ + b ;
   • b. a̅ b̅ ;
   • c. a̅ b.
3. L'expression ab + ab̅ + a̅b se simplifie en :
   • a. a + b ;
   • b. ab ;
   • c. a.
4. La contraposée de « si le port 3389 est ouvert, alors le pare-feu est mal configuré » est :
   • a. si le pare-feu est mal configuré, alors le port 3389 est ouvert ;
   • b. si le port 3389 est fermé, alors le pare-feu est bien configuré ;
   • c. si le pare-feu est bien configuré, alors le port 3389 est fermé.
5. E est un ensemble à 4 éléments. P(E) contient :
   • a. 8 éléments ;
   • b. 16 éléments ;
   • c. 4 éléments.
6. Dans un tableau de Karnaugh à trois variables, l'ordre des colonnes bc est :
   • a. 00, 01, 10, 11 ;
   • b. 00, 01, 11, 10 ;
   • c. 00, 10, 01, 11.
7. Pour tous a et b, a + a̅b est égal à :
   • a. a + b ;
   • b. b ;
   • c. a̅ + b.
8. L'énoncé ∀n ∈ ℕ, ∃m ∈ ℕ, m < n est :
   • a. vrai ;
   • b. faux, car il n'y a pas d'entier naturel inférieur à 0 ;
   • c. faux, car m doit être le même pour tous les n.

Exercice 5 sur 5 Sujet 5 (algorithmique et calcul booléen) Réussi À revoir

Une application de gestion de parc décide si un poste doit être signalé pour une intervention. Le développeur a écrit :

def signaler(a: bool, b: bool, c: bool) -> bool:
    if a:
        return b or not c
    else:
        return b and c

1. Montre que la fonction calcule S = a(b + c̅) + a̅bc.
2. Développe S, puis simplifie-la à l'aide d'un tableau de Karnaugh (a en ligne, bc en colonne).
3. Réécris la fonction en une seule instruction return, la plus courte possible.
4. Écris un programme qui vérifie, sur les huit combinaisons, que la fonction de départ et ta version donnent le même résultat.
5. Montre que le résultat se lit « si c alors b, sinon a ».

from itertools import product

def signaler_court(a: bool, b: bool, c: bool) -> bool:
    return (a and not c) or (b and c)

for a, b, c in product([False, True], repeat=3):
    assert signaler(a, b, c) == signaler_court(a, b, c), (a, b, c)
print("Les deux fonctions sont équivalentes")