Exercices corrigés type E3

1. b. Les éléments de E sont 1, l'ensemble {2 ; 3} et 4 : trois éléments.
2. c. 1 ∈ E et 4 ∈ E, donc {1 ; 4} ⊂ E. 2 n'est pas un élément de E (a et d sont fausses) ; {2 ; 3} est un élément de E, pas une partie, puisque 2 ∉ E (b est fausse ; on a {2 ; 3} ∈ E).
3. c. 2⁵ = 32.
4. a. card(A ∩ B) = card(A) + card(B) − card(A ∪ B) = 12 + 9 − 17 = 4.
5. c. 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
6. c. f(0) = 0, f(1) = 3, f(2) = 6 mod 4 = 2, f(3) = 9 mod 4 = 1. Les quatre images sont distinctes : f est injective, et comme les deux ensembles ont 4 éléments, elle est aussi surjective, donc bijective.
7. b. Réflexive (x − x = 0 = 3 × 0), symétrique (y − x = −(x − y)), transitive (x − z = (x − y) + (y − z)), mais pas antisymétrique (0 et 3 sont en relation dans les deux sens).
8. c. Les éléments dont l'image est b : 1, 3 et 5. La réponse d confond image et antécédent.

1. On remplit de l'intérieur vers l'extérieur.

• T ∩ P ∩ V : 10.
• T ∩ P seulement : 15 − 10 = 5 ; T ∩ V seulement : 18 − 10 = 8 ; P ∩ V seulement : 14 − 10 = 4.
• T seul : 25 − 5 − 8 − 10 = 2 ; P seul : 32 − 5 − 4 − 10 = 13 ; V seul : 28 − 8 − 4 − 10 = 6.

2. Au moins un : 10 + 5 + 8 + 4 + 2 + 13 + 6 = 48. Contrôle par la formule du crible : 25 + 32 + 28 − 15 − 18 − 14 + 10 = 48. Aucun : 60 − 48 = 12.

3. card(P ∪ V) = card(P) + card(V) − card(P ∩ V) = 32 + 28 − 14 = 46.

4. La règle s'écrit T ⊂ V. Elle n'est pas respectée : la zone de T hors de V n'est pas vide (2 + 5 = 7 salariés), donc il existe des éléments de T qui ne sont pas dans V.

5. Les salariés en infraction sont en télétravail sans VPN : T ∩ V̄, ou T \ V. card(T \ V) = card(T) − card(T ∩ V) = 25 − 18 = 7.

6. En infraction : t · v̄ (t ET NON v). En règle : le contraire, NON(t · v̄) = t̄ + v par De Morgan (et double négation) : « ne pas être en télétravail, ou avoir le VPN ». C'est la traduction de l'implication t ⇒ v, qui correspond à l'inclusion T ⊂ V.

7. V ∩ T̄ ∩ P̄ : les salariés qui ont un accès VPN sans être en télétravail ni avoir de portable. C'est la zone « V seul » : 6 salariés. Un accès distant inutilisé est une porte d'entrée pour un attaquant : on peut conseiller de vérifier ces 6 comptes et de retirer l'accès s'il n'est pas justifié (principe du moindre privilège).

1. R est de la forme « f(Mᵢ) = f(Mⱼ) », où f associe à une machine son adresse réseau (adresse ET masque). Elle hérite de l'égalité la réflexivité (f(Mᵢ) = f(Mᵢ)), la symétrie et la transitivité : c'est une relation d'équivalence.

2. Les blocs du dernier octet sont 0 à 63, 64 à 127, 128 à 191 et 192 à 255.

• Réseau 172.16.5.0/26 : {M1 ; M5} (20 et 45) ;
• Réseau 172.16.5.64/26 : {M2 ; M3} (70 et 90) ;
• Réseau 172.16.5.128/26 : {M4} (130) ;
• Réseau 172.16.5.192/26 : {M6} (200).

Il y a 4 classes. Contrôle : 2 + 2 + 1 + 1 = 6 machines.

3. Dans une classe de k éléments, chacun est en relation avec chacun, lui-même compris : k² couples. Total : 2² + 2² + 1² + 1² = 10 couples.

4. Avec /25, les blocs sont 0 à 127 et 128 à 255 : {M1 ; M2 ; M3 ; M5} et {M4 ; M6}. Si deux machines sont dans le même /26, elles sont dans le même /25 : R ⊂ S (S compte 4² + 2² = 20 couples, dont les 10 de R). Chaque classe de S est une réunion de classes de R : la partition par /26 est plus fine. C'est le découpage d'un réseau en sous-réseaux.

1. Les images c, a, d, b sont toutes distinctes : f est injective. Elles couvrent tout F : f est surjective. f est donc bijective, et sa réciproque est :

2. g(a) = g(c) = x avec a ≠ c : g n'est pas injective. x, y et z ont tous un antécédent (a, d et b) : g est surjective. g⁻¹({x}) = {a ; c}.

3. (g∘f)(1) = g(c) = x ; (g∘f)(2) = g(a) = x ; (g∘f)(3) = g(d) = y ; (g∘f)(4) = g(b) = z. g∘f n'est pas injective ((g∘f)(1) = (g∘f)(2)) ; elle est surjective (x, y et z sont atteints). (g∘f)⁻¹({x}) = {1 ; 2}.

4. Non. card(F) = 4 > card(G) = 3 : quatre éléments ne peuvent pas avoir quatre images distinctes dans un ensemble de trois éléments (principe des tiroirs).

5. Injective : si 5n + 2 = 5n′ + 2, alors 5n = 5n′, donc n = n′. Pas surjective : 1 n'a pas d'antécédent dans ℤ, car 5n + 2 = 1 donne n = −1/5, qui n'est pas un entier. De ℝ vers ℝ, l'équation 5x + 2 = y a toujours la solution réelle x = (y − 2) / 5 : h est alors bijective, de réciproque y ↦ (y − 2) / 5. Les propriétés dépendent des ensembles de départ et d'arrivée.

1. Un code est un élément de L × C³, avec L = {A ; B ; C ; D ; E ; F} et C = {0 ; … ; 9} : 6 × 10³ = 6 000 codes. C'est le cardinal d'un produit cartésien.
2. 4 × 5 × 6 = 120 triplets, éléments de Salles × Jours × Créneaux :

SELECT s.nom, j.libelle, c.heure
FROM salle s
CROSS JOIN jour j
CROSS JOIN creneau c;

3. Codes PIN : 10⁴ = 10 000. Nouveaux codes : 36⁶ = 2 176 782 336. Le rapport vaut environ 217 678, soit à peu près 218 000 fois plus de codes.

1. Réflexive : x divise x. Antisymétrique : si x divise y et y divise x, avec x, y > 0, alors x = y. Transitive : si y = kx et z = k′y, alors z = (kk′)x, donc x divise z.

2. Sur trois niveaux au-dessus de 1 : 1 en bas ; puis 2, 3, 5 ; puis 6, 10, 15 ; puis 30 en haut. Traits : 1 – 2, 1 – 3, 1 – 5, 2 – 6, 2 – 10, 3 – 6, 3 – 15, 5 – 10, 5 – 15, 6 – 30, 10 – 30, 15 – 30, soit 12 traits.

3. Non, l'ordre est partiel : 2 et 3 ne sont pas comparables. Plus petit élément : 1 (il divise tout). Plus grand élément : 30 (tout le divise).

4. Minimaux : 2, 3 et 5 (aucun autre élément de A ne les divise). Maximaux : 6, 10 et 15 (ils ne divisent aucun autre élément de A). A n'a pas de plus petit élément, car ses trois éléments minimaux ne sont pas comparables entre eux.

5. 6 divise 30, et {a ; b} ⊂ {a ; b ; c}. 6 ne divise pas 10, et {a ; b} ⊄ {a ; c}. Les deux relations se correspondent par une bijection entre D et P({a ; b ; c}) : les deux diagrammes de Hasse ont la même forme, celle d'un cube, comme le schéma des droits Unix. On dit que les deux ensembles ordonnés sont isomorphes.