Méthode PERT, diagramme de Gantt et contraintes non modélisées

La méthode PERT représente un projet par un graphe dont les arcs sont les tâches et dont les sommets sont des étapes (le début ou la fin de tâches) ; elle donne les mêmes dates, le même chemin critique et les mêmes marges que la méthode MPM. Le diagramme de Gantt place chaque tâche sur une ligne de temps : c'est la forme sous laquelle on communique et suit un planning. Enfin, le graphe ne dit pas tout : une ressource partagée, un nombre limité d'intervenants ou un délai d'attente sont des contraintes non modélisées, dont le programme demande de tenir compte en interprétant les résultats. Ce chapitre traite ces trois points sur le projet du serveur de fichiers.

La méthode PERT : étapes, tâches et tâches fictives

PERT signifie Program Evaluation and Review Technique. Ses conventions :

• une étape (ou événement) est un sommet, dessiné par un cercle numéroté : c'est un instant, de durée nulle, comme « A est terminée » ;
• une tâche est un arc qui va de son étape de début à son étape de fin, et porte sa durée ;
• l'étape 1 est le début du projet, la dernière étape sa fin ;
• les tâches qui ont exactement les mêmes tâches antérieures partent de la même étape ;
• quand une contrainte ne peut pas être dessinée autrement, on ajoute une tâche fictive : un arc en pointillés, de durée 0, qui transmet seulement une antériorité.

Le projet du serveur en PERT. On reprend le tableau du chapitre 8. A part de l'étape 1 et finit à l'étape 2. B et C ne dépendent que de A : elles partent de l'étape 2. D et H ne dépendent que de B : elles partent de l'étape 3, fin de B. E part de l'étape 4, fin de C. G ne dépend que de E : elle part de l'étape 5, fin de E. F dépend de D et de E : son étape de début, 6, doit être la fin de D et la fin de E ; mais E finit déjà à l'étape 5, d'où part G. On relie donc l'étape 5 à l'étape 6 par une tâche fictive. F et G aboutissent à l'étape 7, d'où part I ; I et H aboutissent à l'étape 8, d'où part J, qui finit à l'étape 9.

Les dates des étapes. Elles se calculent comme en MPM, mais sur les étapes :

• date au plus tôt d'une étape : le maximum, sur les tâches qui y arrivent, de (date au plus tôt de leur étape de début + durée) ;
• date au plus tard d'une étape : le minimum, sur les tâches qui en partent, de (date au plus tard de leur étape de fin − durée).

Par exemple, l'étape 6 a pour date au plus tôt max [ t₃ + d(D) ; t₅ + 0 ] = max [ 5 + 2 ; 12 ] = 12, et l'étape 3 a pour date au plus tard min [ T₆ − d(D) ; T₈ − d(H) ] = min [ 14 − 2 ; 18 − 2 ] = 12.

Des étapes aux tâches. Pour une tâche qui va de l'étape i à l'étape j, de durée d :

• son début au plus tôt est tᵢ ; son début au plus tard est Tⱼ − d (et non Tᵢ) ;
• MT = Tⱼ − tᵢ − d, ML = tⱼ − tᵢ − d, MC = max [ 0 ; tⱼ − Tᵢ − d ].

Pour H (étape 3 → étape 8, durée 2) : début au plus tard 18 − 2 = 16, MT = 18 − 5 − 2 = 11, ML = 18 − 5 − 2 = 11, MC = 18 − 12 − 2 = 4. On retrouve exactement les résultats MPM des chapitres 8 et 9. Le chemin critique passe par les étapes où t = T, en suivant des tâches sans marge : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, soit les tâches A, C, E, G, I, J.

MPM ou PERT ?

MPM est plus simple à construire, sans tâche fictive, et ses rectangles portent directement les dates des tâches : c'est le meilleur choix sur une copie quand l'énoncé laisse le choix (« selon la méthode PERT ou MPM »). PERT reste très utilisé dans les entreprises et les logiciels de gestion de projet, où « diagramme PERT » désigne souvent, par extension, n'importe quel réseau de tâches.

Le diagramme de Gantt

Le diagramme de Gantt, popularisé par l'ingénieur américain Henry Gantt au début du XXᵉ siècle, représente le planning d'un projet :

• l'axe horizontal est le temps (jours, semaines) ;
• chaque tâche occupe une ligne, et une barre va de sa date de début à sa date de fin ;
• on y ajoute souvent les marges (barre en pointillés après la tâche), les jalons (événements clés, de durée nulle, dessinés par un losange) et les liens de dépendance.

Le Gantt au plus tôt place chaque tâche à sa date au plus tôt. Pour le projet du serveur :

Ce que le Gantt montre d'un coup d'œil :

• le chemin critique est une suite de barres qui s'enchaînent sans trou de 0 à 19 ;
• les tâches menées en parallèle (C avec B, D et H) ;
• la charge de travail jour par jour, en comptant les barres présentes à une date donnée ;
• l'avancement réel, quand on colorie la partie déjà réalisée de chaque barre (c'est l'usage en suivi de projet).

Prendre en compte une contrainte non modélisée

Le graphe d'ordonnancement ne modélise qu'une chose : les antériorités. Il suppose qu'on a autant de personnes et de matériel que nécessaire, que toutes les tâches peuvent démarrer dès que leurs antérieures sont finies, et que les jours se suivent sans interruption. Le programme demande de savoir reconnaître une contrainte non incluse dans la modélisation et en tenir compte lors de l'interprétation. Les plus fréquentes :

• une ressource partagée : deux tâches confiées à la même personne ou utilisant le même matériel ne peuvent pas se dérouler en même temps ;
• un nombre limité d'intervenants par jour ;
• un délai d'attente entre deux tâches : délai de livraison, propagation d'un enregistrement DNS, période de tests en production avant de décommissionner l'ancien serveur ;
• une date imposée : pas de mise en production un vendredi, une fenêtre de maintenance la nuit, des congés.

La méthode : place les tâches concernées sur le Gantt au plus tôt, repère le conflit, puis déplace une tâche en utilisant les marges. Si une tâche dispose d'une marge suffisante, le conflit se règle sans retarder le projet ; sinon, on calcule le retard.

Exemple 1 : une même personne pour D et H. Le choix de la sauvegarde (D) et la documentation (H) sont confiés au même technicien. Au plus tôt, les deux occupent les jours 5 à 7 : impossible. On décale H, qui a une marge libre de 11 jours, après D : H du jour 7 au jour 9. J commence au plus tôt le jour 18, H est finie bien avant : le projet dure toujours 19 jours.

Exemple 2 : une même personne pour F et G. Le paramétrage des sauvegardes (F) et la migration (G) sont confiés au même technicien. Au plus tôt, F occupe les jours 12 à 14 et G les jours 12 à 16. Si F passe en premier, G va du jour 14 au jour 18 ; si G passe en premier, F va du jour 16 au jour 18. Dans les deux cas, I ne peut commencer que le jour 18 au lieu de 16 : le projet dure 21 jours, 2 de plus. La marge de F (2 jours) ne suffit pas à absorber la durée de G (4 jours).

Exemple 3 : un délai d'attente. Après l'installation du serveur (E), on veut laisser tourner la machine 2 jours avant d'y migrer les données (G). G commence donc le jour 14 au lieu de 12 ; G étant critique, le projet passe à 21 jours. Si le même délai de 2 jours était imposé avant le paramétrage des sauvegardes (F), F commencerait le jour 14 et finirait le jour 16, date où commence I de toute façon : marge libre de F égale à 2, pas de retard.

Exemple 4 : un nombre limité d'intervenants. Le prestataire ne peut mobiliser que 3 personnes par jour. Les tâches demandent : A 2, B 1, C 1, D 1, E 2, F 1, G 2, H 2, I 2, J 3 personnes. Sur le Gantt au plus tôt, on compte la charge sur chaque période :

Du jour 5 au jour 7, il faudrait 4 personnes. On décale H (marge libre 11) aux jours 7 à 9 : la charge devient 1 + 1 = 2 sur la période 5 à 7, et 1 + 2 = 3 sur la période 7 à 9. Plus aucune période ne dépasse 3 personnes : la contrainte est respectée sans retarder le projet. On dit qu'on a lissé la charge en utilisant les marges.

Ordonnancement et gestion de projet informatique

En entreprise, ces méthodes servent à planifier tout projet qui enchaîne des tâches dépendantes : le déploiement d'un parc de postes, la migration d'un serveur, le développement d'une application en lots, l'organisation d'une mise en production. Dans le cadre des changements ITIL, le planning d'un changement important et sa fenêtre de retour arrière se construisent de la même façon (gestion des changements). Au BTS, tu peux réutiliser un Gantt pour présenter le déroulement d'une réalisation professionnelle de ton portfolio E5 : il montre au jury que tu as organisé ton travail.

Les méthodes agiles (Scrum, Kanban) planifient autrement, par itérations courtes et sans calcul de chemin critique ; mais dès qu'un projet a des dépendances fortes et une date butoir (une migration à finir avant la fin d'un contrat de maintenance), le raisonnement MPM revient.

Exercices

Exercice 1 sur 4 Construire un graphe PERT Réussi À revoir

On reprend le petit projet du chapitre 8 :

Tâche	A	B	C	D	E	F
Durée (jours)	2	4	3	5	2	1
Antérieures	—	—	A	A, B	C	D, E

1. Construis le graphe PERT (une tâche fictive est nécessaire).
2. Calcule les dates au plus tôt et au plus tard des étapes, puis le chemin critique.
3. Calcule la marge totale de A à partir du graphe PERT.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1

1. A : 1 → 2 ; B : 1 → 3. D dépend de A et de B : son étape de début doit être la fin de A et la fin de B. C dépend seulement de A : elle part de l'étape 2. On fait finir B à l'étape 3 et on ajoute une tâche fictive 2 → 3 (durée 0) : l'étape 3 marque la fin de A et de B. D : 3 → 5 ; C : 2 → 4 ; E : 4 → 5 ; F : 5 → 6.
2. Au plus tôt : t₁ = 0 ; t₂ = 2 ; t₃ = max [ 0 + 4 ; 2 + 0 ] = 4 ; t₄ = 2 + 3 = 5 ; t₅ = max [ 4 + 5 ; 5 + 2 ] = 9 ; t₆ = 10. Au plus tard : T₆ = 10 ; T₅ = 9 ; T₄ = 9 − 2 = 7 ; T₃ = 9 − 5 = 4 ; T₂ = min [ T₃ − 0 ; T₄ − 3 ] = min [ 4 ; 4 ] = 4 ; T₁ = min [ T₂ − 2 ; T₃ − 4 ] = min [ 2 ; 0 ] = 0. Étapes où t = T : 1, 3, 5, 6. Chemin critique : B (1 → 3), D (3 → 5), F (5 → 6), durée 10 jours, comme avec MPM.
3. A va de l'étape 1 à l'étape 2 : MT(A) = T₂ − t₁ − 2 = 4 − 0 − 2 = 2.

Tu avais trouvé ?

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Exercice 2 sur 4 Gantt et lecture des marges Réussi À revoir

Pour le même petit projet :

1. Dresse le Gantt au plus tôt (début et fin de chaque tâche).
2. Indique les marges totales des tâches non critiques.
3. Sur quelle période deux tâches au moins sont-elles en cours en même temps ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. A : 0 → 2 ; B : 0 → 4 ; C : 2 → 5 ; D : 4 → 9 ; E : 5 → 7 ; F : 9 → 10.
2. Avec T(A) = 2, T(C) = 4, T(E) = 7 (chapitre 8) : MT(A) = 2, MT(C) = 4 − 2 = 2, MT(E) = 7 − 5 = 2.
3. A et B du jour 0 au jour 2 ; B et C du jour 2 au jour 4 ; C et D du jour 4 au jour 5 ; D et E du jour 5 au jour 7. Du jour 0 au jour 7, il y a toujours deux tâches en parallèle ; seules D (jours 7 à 9) puis F (jours 9 à 10) sont seules.

Tu avais trouvé ?

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Exercice 3 sur 4 Une ressource partagée Réussi À revoir

Dans le petit projet, les tâches C et D sont confiées au même technicien, qui ne peut pas les mener en même temps.

1. Montre qu'au plus tôt, C et D se chevauchent.
2. Compare les deux ordres possibles. Quelle est la nouvelle durée minimale du projet ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. Au plus tôt, C occupe les jours 2 à 5 et D les jours 4 à 9 : elles se chevauchent du jour 4 au jour 5.
2. C puis D : C de 2 à 5, D de 5 à 10 (au lieu de 4 à 9), E de 5 à 7, F de 10 à 11. Durée 11 jours. D puis C : D de 4 à 9, C de 9 à 12, E de 12 à 14, F de 14 à 15. Durée 15 jours. On choisit C puis D : le projet dure 11 jours, un de plus qu'avec le modèle MPM, car D est critique et C ne peut pas finir avant le jour 5.

Tu avais trouvé ?

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Exercice 4 sur 4 Délais d'attente Réussi À revoir

Dans le projet du serveur de fichiers, que se passe-t-il pour la durée du projet dans chacun des cas suivants (pris isolément) ?

1. La mise en production (J) ne peut avoir lieu que 2 jours après la fin de la documentation (H), le temps de la diffuser.
2. Les tests (I) ne peuvent commencer qu'un jour après la fin de la migration (G), pour laisser l'indexation se terminer.
3. La mise en production ne peut pas avoir lieu le jour 18, veille d'un jour férié, et est reportée au jour suivant.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4

1. H finit au plus tôt le jour 7 ; J pourrait donc commencer le jour 9, mais elle attend de toute façon I jusqu'au jour 18. Aucun effet : la marge libre de H (11 jours) absorbe le délai.
2. G est critique et finit le jour 16 : I commence le jour 17 au lieu de 16, J le jour 19, fin le jour 20. Le projet est retardé d'1 jour.
3. J est critique : la décaler d'un jour retarde la fin d'un jour, soit 20 jours. Une contrainte de calendrier sur une tâche critique se répercute toujours sur la fin du projet.

Tu avais trouvé ?

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