Définitions fondamentales

1.1 Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, organise en lignes et en colonnes.

On note une matrice A de dimensions m x n (m lignes, n colonnes) :

        colonne 1  colonne 2  ...  colonne n
ligne 1 [  a₁₁       a₁₂     ...    a₁ₙ  ]
ligne 2 [  a₂₁       a₂₂     ...    a₂ₙ  ]
  ...   [  ...       ...      ...    ...   ]
ligne m [  aₘ₁       aₘ₂     ...    aₘₙ  ]

Le coefficient situe a la ligne i et a la colonne j se note aᵢⱼ.

Exemple : la matrice A de dimensions 2 x 3 :

A = [ 1  4  7 ]
    [ 2  5  8 ]

A a 2 lignes et 3 colonnes. Le coefficient a₁₂ = 4 (ligne 1, colonne 2). Le coefficient a₂₃ = 8 (ligne 2, colonne 3).

1.2 Types de matrices

Matrice ligne : matrice a une seule ligne (1 x n).

L = [ 3  -1  7 ]       (dimensions 1 x 3)

Matrice colonne : matrice a une seule colonne (m x 1).

C = [ 2 ]
    [ 5 ]              (dimensions 3 x 1)
    [ -1]

Matrice carree : matrice ou le nombre de lignes est egal au nombre de colonnes (n x n). On dit qu'elle est d'ordre n.

A = [ 1  3 ]
    [ 4  2 ]           (matrice carree d'ordre 2)

Matrice nulle : tous les coefficients sont egaux a 0.

O = [ 0  0 ]
    [ 0  0 ]

Matrice identite (notee Iₙ) : matrice carree d'ordre n avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.

I₂ = [ 1  0 ]          I₃ = [ 1  0  0 ]
     [ 0  1 ]               [ 0  1  0 ]
                             [ 0  0  1 ]

Propriete fondamentale : pour toute matrice carree A d'ordre n, on a A x Iₙ = Iₙ x A = A.

Matrice diagonale : matrice carree dont tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls.

D = [ 3  0  0 ]
    [ 0  -2 0 ]
    [ 0  0  5 ]

Matrice triangulaire superieure : tous les coefficients sous la diagonale sont nuls.

U = [ 2  1  4 ]
    [ 0  3  -1]
    [ 0  0  5 ]

Matrice triangulaire inferieure : tous les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls.

L = [ 2  0  0 ]
    [ 1  3  0 ]
    [ 4  -1 5 ]

Matrice symetrique : matrice carree telle que aᵢⱼ = aⱼᵢ pour tout i, j (autrement dit A = Aᵀ).

S = [ 1  3  5 ]
    [ 3  2  7 ]        s₁₂ = 3 = s₂₁, s₁₃ = 5 = s₃₁, s₂₃ = 7 = s₃₂
    [ 5  7  4 ]