Multiplication de matrices

3.1 Condition de compatibilite

Le produit A x B est defini si et seulement si le nombre de colonnes de A est egal au nombre de lignes de B.

Si A est de dimensions m x p et B est de dimensions p x n, alors C = A x B est de dimensions m x n.

A : m x p    B : p x n    =>    C = AB : m x n
         ↑       ↑
     doivent etre egaux

Exemple : A est 2 x 3 et B est 3 x 2. Le produit AB existe et donne une matrice 2 x 2. Mais BA n'est pas forcement defini avec les memes dimensions (ici BA serait 3 x 3, donc il existe aussi, mais AB et BA sont differents).

Attention : en general, AB est different de BA. La multiplication matricielle n'est pas commutative.

3.2 Regle de calcul : ligne par colonne

Le coefficient cᵢⱼ du produit C = AB est obtenu en multipliant terme a terme les elements de la ligne i de A par les elements de la colonne j de B, puis en additionnant.

cᵢⱼ = aᵢ₁ x b₁ⱼ + aᵢ₂ x b₂ⱼ + ... + aᵢₚ x bₚⱼ

3.3 Exemple detaille : multiplication 2 x 2

A = [ 1  3 ]      B = [ 2  0 ]
    [ 2  4 ]          [ 1  5 ]

A est 2 x 2, B est 2 x 2. Le produit AB est 2 x 2.

Calcul de c₁₁ (ligne 1 de A, colonne 1 de B) :

c₁₁ = a₁₁ x b₁₁ + a₁₂ x b₂₁
     = 1 x 2 + 3 x 1
     = 2 + 3
     = 5

Calcul de c₁₂ (ligne 1 de A, colonne 2 de B) :

c₁₂ = a₁₁ x b₁₂ + a₁₂ x b₂₂
     = 1 x 0 + 3 x 5
     = 0 + 15
     = 15

Calcul de c₂₁ (ligne 2 de A, colonne 1 de B) :

c₂₁ = a₂₁ x b₁₁ + a₂₂ x b₂₁
     = 2 x 2 + 4 x 1
     = 4 + 4
     = 8

Calcul de c₂₂ (ligne 2 de A, colonne 2 de B) :

c₂₂ = a₂₁ x b₁₂ + a₂₂ x b₂₂
     = 2 x 0 + 4 x 5
     = 0 + 20
     = 20

Resultat :

AB = [ 5   15 ]
     [ 8   20 ]

3.4 Exemple detaille : multiplication 2 x 3 par 3 x 2

A = [ 1  0  2 ]      B = [ 3  1 ]
    [ -1 3  1 ]          [ 0  2 ]
                         [ 4  -1]

A est 2 x 3, B est 3 x 2. Le produit AB est 2 x 2.

Calcul de c₁₁ (ligne 1 de A, colonne 1 de B) :

c₁₁ = 1 x 3 + 0 x 0 + 2 x 4
     = 3 + 0 + 8
     = 11

Calcul de c₁₂ (ligne 1 de A, colonne 2 de B) :

c₁₂ = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x (-1)
     = 1 + 0 + (-2)
     = -1

Calcul de c₂₁ (ligne 2 de A, colonne 1 de B) :

c₂₁ = (-1) x 3 + 3 x 0 + 1 x 4
     = -3 + 0 + 4
     = 1

Calcul de c₂₂ (ligne 2 de A, colonne 2 de B) :

c₂₂ = (-1) x 1 + 3 x 2 + 1 x (-1)
     = -1 + 6 + (-1)
     = 4

Resultat :

AB = [ 11  -1 ]
     [ 1    4 ]

3.5 Exemple detaille : multiplication 3 x 3

A = [ 1  2  0 ]      B = [ 2  1  0 ]
    [ 0  1  3 ]          [ 0  3  1 ]
    [ 1  0  2 ]          [ 1  0  2 ]

Calcul de chaque coefficient de C = AB (matrice 3 x 3) :

c₁₁ = 1x2 + 2x0 + 0x1 = 2 + 0 + 0 = 2
c₁₂ = 1x1 + 2x3 + 0x0 = 1 + 6 + 0 = 7
c₁₃ = 1x0 + 2x1 + 0x2 = 0 + 2 + 0 = 2

c₂₁ = 0x2 + 1x0 + 3x1 = 0 + 0 + 3 = 3
c₂₂ = 0x1 + 1x3 + 3x0 = 0 + 3 + 0 = 3
c₂₃ = 0x0 + 1x1 + 3x2 = 0 + 1 + 6 = 7

c₃₁ = 1x2 + 0x0 + 2x1 = 2 + 0 + 2 = 4
c₃₂ = 1x1 + 0x3 + 2x0 = 1 + 0 + 0 = 1
c₃₃ = 1x0 + 0x1 + 2x2 = 0 + 0 + 4 = 4

Resultat :

AB = [ 2  7  2 ]
     [ 3  3  7 ]
     [ 4  1  4 ]