Chapitre 66 minIntermédiaire
Matrice inverse
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
6.1 Definition et condition d'existence
La matrice inverse de A, notee A⁻¹, est l'unique matrice telle que :
A x A⁻¹ = A⁻¹ x A = Iₙ
Condition : A est inversible si et seulement si det(A) est different de 0.
Si det(A) = 0, la matrice A n'admet pas d'inverse.
6.2 Inverse d'une matrice 2 x 2 : formule directe
Pour :
A = [ a b ]
[ c d ]
Si det(A) = ad - bc est different de 0 :
A⁻¹ = (1 / det(A)) x [ d -b ]
[ -c a ]
Methode : on echange a et d, on change les signes de b et c, et on divise tout par le determinant.
Exemple pas a pas :
A = [ 2 1 ]
[ 5 3 ]
Etape 1 : calculer le determinant.
det(A) = 2 x 3 - 1 x 5 = 6 - 5 = 1
Le determinant vaut 1, donc A est inversible.
Etape 2 : appliquer la formule.
A⁻¹ = (1/1) x [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
A⁻¹ = [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
Etape 3 : verification A x A⁻¹ = I₂.
c₁₁ = 2 x 3 + 1 x (-5) = 6 - 5 = 1
c₁₂ = 2 x (-1) + 1 x 2 = -2 + 2 = 0
c₂₁ = 5 x 3 + 3 x (-5) = 15 - 15 = 0
c₂₂ = 5 x (-1) + 3 x 2 = -5 + 6 = 1
A x A⁻¹ = [ 1 0 ] = I₂ (verifie)
[ 0 1 ]
6.3 Inverse d'une matrice 3 x 3 : methode de la comatrice
Pour une matrice A 3 x 3, l'inverse se calcule par :
A⁻¹ = (1 / det(A)) x Com(A)ᵀ
ou Com(A) est la matrice des cofacteurs, et Com(A)ᵀ est sa transposee.
Exemple pas a pas :
A = [ 1 2 0 ]
[ 0 1 3 ]
[ 1 0 2 ]
Etape 1 : calculer det(A) par Sarrus.
Diagonales descendantes :
D₁ = 1 x 1 x 2 = 2
D₂ = 2 x 3 x 1 = 6
D₃ = 0 x 0 x 0 = 0
Diagonales montantes :
D₄ = 0 x 1 x 1 = 0
D₅ = 1 x 3 x 0 = 0
D₆ = 2 x 0 x 2 = 0
det(A) = 2 + 6 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8
det(A) = 8, donc A est inversible.
Etape 2 : calculer chaque cofacteur Cᵢⱼ.
Rappel : Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) x (determinant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j).
C₁₁ = (+1) x det[ 1 3 ] = 1 x 2 - 3 x 0 = 2 - 0 = 2
[ 0 2 ]
C₁₂ = (-1) x det[ 0 3 ] = (-1) x (0 x 2 - 3 x 1) = (-1) x (-3) = 3
[ 1 2 ]
C₁₃ = (+1) x det[ 0 1 ] = 0 x 0 - 1 x 1 = 0 - 1 = -1
[ 1 0 ]
C₂₁ = (-1) x det[ 2 0 ] = (-1) x (2 x 2 - 0 x 0) = (-1) x 4 = -4
[ 0 2 ]
C₂₂ = (+1) x det[ 1 0 ] = 1 x 2 - 0 x 1 = 2 - 0 = 2
[ 1 2 ]
C₂₃ = (-1) x det[ 1 2 ] = (-1) x (1 x 0 - 2 x 1) = (-1) x (-2) = 2
[ 1 0 ]
C₃₁ = (+1) x det[ 2 0 ] = 2 x 3 - 0 x 1 = 6 - 0 = 6
[ 1 3 ]
C₃₂ = (-1) x det[ 1 0 ] = (-1) x (1 x 3 - 0 x 0) = (-1) x 3 = -3
[ 0 3 ]
C₃₃ = (+1) x det[ 1 2 ] = 1 x 1 - 2 x 0 = 1 - 0 = 1
[ 0 1 ]
Etape 3 : ecrire la matrice des cofacteurs.
Com(A) = [ 2 3 -1 ]
[ -4 2 2 ]
[ 6 -3 1 ]
Etape 4 : transposer la matrice des cofacteurs.
Com(A)ᵀ = [ 2 -4 6 ]
[ 3 2 -3 ]
[ -1 2 1 ]
Etape 5 : diviser par det(A) = 8.
A⁻¹ = (1/8) x [ 2 -4 6 ]
[ 3 2 -3 ]
[ -1 2 1 ]
A⁻¹ = [ 2/8 -4/8 6/8 ] [ 1/4 -1/2 3/4 ]
[ 3/8 2/8 -3/8 ] = [ 3/8 1/4 -3/8 ]
[ -1/8 2/8 1/8 ] [-1/8 1/4 1/8 ]
Etape 6 : verification A x A⁻¹ = I₃.
Calculons le coefficient (1,1) de A x A⁻¹ :
1 x (1/4) + 2 x (3/8) + 0 x (-1/8)
= 1/4 + 6/8 + 0
= 1/4 + 3/4
= 1
Calculons le coefficient (1,2) :
1 x (-1/2) + 2 x (1/4) + 0 x (1/4)
= -1/2 + 2/4 + 0
= -1/2 + 1/2
= 0
Les autres coefficients se verifient de la meme maniere. Le produit donne bien I₃.