Chapitre 713 minIntermédiaire
Systèmes d'équations linéaires
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
7.1 Ecriture matricielle AX = B
Tout systeme d'equations lineaires peut s'ecrire sous forme matricielle.
Exemple avec un systeme de 2 equations a 2 inconnues :
{ 2x + y = 5
{ 5x + 3y = 13
Ecriture matricielle :
A = [ 2 1 ] X = [ x ] B = [ 5 ]
[ 5 3 ] [ y ] [ 13 ]
AX = B
Exemple avec un systeme de 3 equations a 3 inconnues :
{ x + 2y = 1
{ y + 3z = 9
{ x + 2z = 5
Ecriture matricielle :
A = [ 1 2 0 ] X = [ x ] B = [ 1 ]
[ 0 1 3 ] [ y ] [ 9 ]
[ 1 0 2 ] [ z ] [ 5 ]
7.2 Resolution par inversion : X = A⁻¹B
Si det(A) est different de 0, le systeme admet une unique solution :
X = A⁻¹ x B
Exemple pas a pas (systeme 2 x 2) :
Systeme :
{ 2x + y = 5
{ 5x + 3y = 13
Etape 1 : determinant.
det(A) = 2 x 3 - 1 x 5 = 6 - 5 = 1
Etape 2 : inverse de A.
A⁻¹ = [ 3 -1 ]
[ -5 2 ]
Etape 3 : calcul de X = A⁻¹ x B.
x = 3 x 5 + (-1) x 13 = 15 - 13 = 2
y = (-5) x 5 + 2 x 13 = -25 + 26 = 1
Solution : x = 2 et y = 1.
Verification dans le systeme original :
2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 (verifie)
5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13 (verifie)
Exemple pas a pas (systeme 3 x 3) :
Systeme :
{ x + 2y = 1
{ y + 3z = 9
{ x + 2z = 5
On a calcule precedemment :
A⁻¹ = [ 1/4 -1/2 3/4 ]
[ 3/8 1/4 -3/8 ]
[-1/8 1/4 1/8 ]
Calcul de X = A⁻¹ x B :
x = (1/4) x 1 + (-1/2) x 9 + (3/4) x 5
= 1/4 - 9/2 + 15/4
= 1/4 - 18/4 + 15/4
= (1 - 18 + 15) / 4
= -2/4
= -1/2
y = (3/8) x 1 + (1/4) x 9 + (-3/8) x 5
= 3/8 + 9/4 - 15/8
= 3/8 + 18/8 - 15/8
= (3 + 18 - 15) / 8
= 6/8
= 3/4
z = (-1/8) x 1 + (1/4) x 9 + (1/8) x 5
= -1/8 + 9/4 + 5/8
= -1/8 + 18/8 + 5/8
= (-1 + 18 + 5) / 8
= 22/8
= 11/4
Solution : x = -1/2, y = 3/4, z = 11/4.
Verification dans la premiere equation : x + 2y = -1/2 + 2 x (3/4) = -1/2 + 3/2 = 2/2 = 1. Correct.
7.3 Methode de Cramer
Pour un systeme AX = B de n equations a n inconnues, si det(A) est different de 0, la solution est :
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
ou Aᵢ est la matrice A dans laquelle on a remplace la colonne i par le vecteur B.
Exemple pas a pas (systeme 2 x 2) :
{ 3x + 2y = 7
{ x - y = 1
Etape 1 : det(A).
A = [ 3 2 ]
[ 1 -1 ]
det(A) = 3 x (-1) - 2 x 1 = -3 - 2 = -5
Etape 2 : det(A₁) — on remplace la colonne 1 de A par B.
A₁ = [ 7 2 ]
[ 1 -1 ]
det(A₁) = 7 x (-1) - 2 x 1 = -7 - 2 = -9
Etape 3 : det(A₂) — on remplace la colonne 2 de A par B.
A₂ = [ 3 7 ]
[ 1 1 ]
det(A₂) = 3 x 1 - 7 x 1 = 3 - 7 = -4
Etape 4 : solutions.
x = det(A₁) / det(A) = -9 / (-5) = 9/5
y = det(A₂) / det(A) = -4 / (-5) = 4/5
Verification : 3 x (9/5) + 2 x (4/5) = 27/5 + 8/5 = 35/5 = 7. Correct.
Exemple pas a pas (systeme 3 x 3 avec Cramer) :
{ 2x + y - z = 3
{ x - y + 2z = 1
{ 3x + 2y + z = 10
Matrice A et vecteur B :
A = [ 2 1 -1 ] B = [ 3 ]
[ 1 -1 2 ] [ 1 ]
[ 3 2 1 ] [ 10 ]
Etape 1 : det(A) par Sarrus.
D₁ = 2 x (-1) x 1 = -2
D₂ = 1 x 2 x 3 = 6
D₃ = (-1) x 1 x 2 = -2
D₄ = (-1) x (-1) x 3 = 3
D₅ = 2 x 2 x 2 = 8
D₆ = 1 x 1 x 1 = 1
det(A) = (-2) + 6 + (-2) - 3 - 8 - 1 = 2 - 12 = -10
Etape 2 : det(A₁) — colonne 1 remplacee par B.
A₁ = [ 3 1 -1 ]
[ 1 -1 2 ]
[ 10 2 1 ]
D₁ = 3 x (-1) x 1 = -3
D₂ = 1 x 2 x 10 = 20
D₃ = (-1) x 1 x 2 = -2
D₄ = (-1) x (-1) x 10 = 10
D₅ = 3 x 2 x 2 = 12
D₆ = 1 x 1 x 1 = 1
det(A₁) = (-3) + 20 + (-2) - 10 - 12 - 1 = 15 - 23 = -8
Correction, recalculons proprement :
det(A₁) = -3 + 20 + (-2) - 10 - 12 - 1
= -3 + 20 - 2 - 10 - 12 - 1
= 20 - 28
= -8
Etape 3 : det(A₂) — colonne 2 remplacee par B.
A₂ = [ 2 3 -1 ]
[ 1 1 2 ]
[ 3 10 1 ]
D₁ = 2 x 1 x 1 = 2
D₂ = 3 x 2 x 3 = 18
D₃ = (-1) x 1 x 10 = -10
D₄ = (-1) x 1 x 3 = -3
D₅ = 2 x 2 x 10 = 40
D₆ = 3 x 1 x 1 = 3
det(A₂) = 2 + 18 + (-10) - (-3) - 40 - 3
= 2 + 18 - 10 + 3 - 40 - 3
= 23 - 53
= -30
Etape 4 : det(A₃) — colonne 3 remplacee par B.
A₃ = [ 2 1 3 ]
[ 1 -1 1 ]
[ 3 2 10 ]
D₁ = 2 x (-1) x 10 = -20
D₂ = 1 x 1 x 3 = 3
D₃ = 3 x 1 x 2 = 6
D₄ = 3 x (-1) x 3 = -9
D₅ = 2 x 1 x 2 = 4
D₆ = 1 x 1 x 10 = 10
det(A₃) = (-20) + 3 + 6 - (-9) - 4 - 10
= -20 + 3 + 6 + 9 - 4 - 10
= -16
Etape 5 : solutions.
x = det(A₁) / det(A) = -8 / (-10) = 4/5
y = det(A₂) / det(A) = -30 / (-10) = 3
z = det(A₃) / det(A) = -16 / (-10) = 8/5
Verification dans l'equation 1 :
2 x (4/5) + 3 - (8/5) = 8/5 + 3 - 8/5 = 3. Correct.
Verification dans l'equation 3 :
3 x (4/5) + 2 x 3 + (8/5) = 12/5 + 6 + 8/5 = 20/5 + 6 = 4 + 6 = 10. Correct.
7.4 Pivot de Gauss (elimination de Gauss-Jordan)
Methode systematique qui transforme le systeme en un systeme triangulaire, puis on remonte pour trouver les inconnues.
On travaille sur la matrice augmentee [A | B].
Exemple pas a pas :
Systeme :
{ x + 2y + z = 9
{ 2x - y + 3z = 8
{ 3x + y + 2z = 15
Etape 1 : ecrire la matrice augmentee.
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 2 -1 3 | 8 ] L₂
[ 3 1 2 | 15 ] L₃
Etape 2 : eliminer x de L₂ et L₃.
Operation : L₂ ← L₂ - 2 x L₁
Nouveau L₂ :
colonne 1 : 2 - 2 x 1 = 2 - 2 = 0
colonne 2 : -1 - 2 x 2 = -1 - 4 = -5
colonne 3 : 3 - 2 x 1 = 3 - 2 = 1
second membre : 8 - 2 x 9 = 8 - 18 = -10
Operation : L₃ ← L₃ - 3 x L₁
Nouveau L₃ :
colonne 1 : 3 - 3 x 1 = 3 - 3 = 0
colonne 2 : 1 - 3 x 2 = 1 - 6 = -5
colonne 3 : 2 - 3 x 1 = 2 - 3 = -1
second membre : 15 - 3 x 9 = 15 - 27 = -12
Matrice apres etape 2 :
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 0 -5 1 | -10 ] L₂
[ 0 -5 -1 | -12 ] L₃
Etape 3 : eliminer y de L₃.
Operation : L₃ ← L₃ - L₂
Nouveau L₃ :
colonne 1 : 0 - 0 = 0
colonne 2 : -5 - (-5) = -5 + 5 = 0
colonne 3 : -1 - 1 = -2
second membre : -12 - (-10) = -12 + 10 = -2
Matrice apres etape 3 :
[ 1 2 1 | 9 ] L₁
[ 0 -5 1 | -10 ] L₂
[ 0 0 -2 | -2 ] L₃
Etape 4 : remonter (substitution arriere).
De L₃ : -2z = -2, donc z = (-2) / (-2) = 1.
De L₂ : -5y + z = -10, donc -5y + 1 = -10, donc -5y = -10 - 1 = -11, donc y = -11 / (-5) = 11/5.
De L₁ : x + 2y + z = 9, donc x + 2 x (11/5) + 1 = 9, donc x + 22/5 + 1 = 9, donc x = 9 - 1 - 22/5 = 8 - 22/5 = 40/5 - 22/5 = 18/5.
Solution : x = 18/5, y = 11/5, z = 1.
Verification dans l'equation 1 :
18/5 + 2 x (11/5) + 1 = 18/5 + 22/5 + 5/5 = 45/5 = 9. Correct.
Verification dans l'equation 2 :
2 x (18/5) - (11/5) + 3 x 1 = 36/5 - 11/5 + 15/5 = 40/5 = 8. Correct.
Verification dans l'equation 3 :
3 x (18/5) + (11/5) + 2 x 1 = 54/5 + 11/5 + 10/5 = 75/5 = 15. Correct.