Déterminant

5.1 Determinant d'une matrice 2 x 2

Pour une matrice :

A = [ a  b ]
    [ c  d ]

Le determinant est :

det(A) = ad - bc

Exemple pas a pas :

A = [ 3  2 ]
    [ 1  5 ]

det(A) = 3 x 5 - 2 x 1
       = 15 - 2
       = 13

Autre exemple :

B = [ 4  6 ]
    [ 2  3 ]

det(B) = 4 x 3 - 6 x 2
       = 12 - 12
       = 0

Quand le determinant vaut 0, la matrice est dite singuliere (non inversible).

5.2 Determinant d'une matrice 3 x 3 : regle de Sarrus

Pour une matrice :

A = [ a₁  b₁  c₁ ]
    [ a₂  b₂  c₂ ]
    [ a₃  b₃  c₃ ]

On recopie les deux premieres colonnes a droite :

a₁  b₁  c₁ | a₁  b₁
a₂  b₂  c₂ | a₂  b₂
a₃  b₃  c₃ | a₃  b₃

Les 3 diagonales descendantes (produits positifs) :

D₁ = a₁ x b₂ x c₃
D₂ = b₁ x c₂ x a₃
D₃ = c₁ x a₂ x b₃

Les 3 diagonales montantes (produits negatifs) :

D₄ = c₁ x b₂ x a₃
D₅ = a₁ x c₂ x b₃
D₆ = b₁ x a₂ x c₃

Formule :

det(A) = D₁ + D₂ + D₃ - D₄ - D₅ - D₆

Exemple pas a pas :

A = [ 1  2  3 ]
    [ 4  5  6 ]
    [ 7  8  0 ]

Diagonales descendantes :

D₁ = 1 x 5 x 0 = 0
D₂ = 2 x 6 x 7 = 84
D₃ = 3 x 4 x 8 = 96

Diagonales montantes :

D₄ = 3 x 5 x 7 = 105
D₅ = 1 x 6 x 8 = 48
D₆ = 2 x 4 x 0 = 0

Calcul :

det(A) = 0 + 84 + 96 - 105 - 48 - 0
       = 180 - 153
       = 27

5.3 Determinant 3 x 3 : developpement par cofacteurs

On peut developper selon n'importe quelle ligne ou colonne. Developpons selon la premiere ligne :

det(A) = a₁₁ x C₁₁ + a₁₂ x C₁₂ + a₁₃ x C₁₃

ou Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) x Mᵢⱼ, et Mᵢⱼ est le mineur (determinant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j).

Exemple avec la meme matrice :

A = [ 1  2  3 ]
    [ 4  5  6 ]
    [ 7  8  0 ]

Developpement selon la ligne 1 :

Cofacteur C₁₁ : on supprime ligne 1 et colonne 1 :

M₁₁ = det[ 5  6 ] = 5 x 0 - 6 x 8 = 0 - 48 = -48
         [ 8  0 ]
C₁₁ = (-1)^(1+1) x (-48) = 1 x (-48) = -48

Cofacteur C₁₂ : on supprime ligne 1 et colonne 2 :

M₁₂ = det[ 4  6 ] = 4 x 0 - 6 x 7 = 0 - 42 = -42
         [ 7  0 ]
C₁₂ = (-1)^(1+2) x (-42) = (-1) x (-42) = 42

Cofacteur C₁₃ : on supprime ligne 1 et colonne 3 :

M₁₃ = det[ 4  5 ] = 4 x 8 - 5 x 7 = 32 - 35 = -3
         [ 7  8 ]
C₁₃ = (-1)^(1+3) x (-3) = 1 x (-3) = -3

Calcul final :

det(A) = 1 x (-48) + 2 x 42 + 3 x (-3)
       = -48 + 84 + (-9)
       = -48 + 84 - 9
       = 27

On retrouve bien 27, comme avec la regle de Sarrus.

5.4 Proprietes du determinant

• det(Iₙ) = 1
• Si une ligne (ou colonne) est nulle, det(A) = 0
• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques, det(A) = 0
• Si on echange deux lignes, le determinant change de signe
• Si on multiplie une ligne par k, le determinant est multiplie par k
• det(AB) = det(A) x det(B)
• det(Aᵀ) = det(A)
• det(kA) = kⁿ x det(A) pour une matrice n x n