Annales : le sujet 2026 et un sujet type de 2 heures corrigé

Exercice 1 sur 5 Exercice 1 : QCM (4 points) Réussi À revoir

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

1. Le nombre (1101,011)₂ s'écrit en base 10 : A. 13,375 ; B. 13,3 ; C. 11,375 ; D. 13,0375.
2. La somme (A7)₁₆ + (5C)₁₆ vaut : A. (103)₁₆ ; B. (FF)₁₆ ; C. (113)₁₆ ; D. (F3)₁₆.
3. On note E = {1 ; 2 ; 3} et F = {a ; b}. Le nombre de parties de l'ensemble E × F est : A. 6 ; B. 12 ; C. 64 ; D. 36.
4. La négation de « pour tout serveur s, s est sauvegardé ou s est hors service » est :
   • A. « il existe un serveur s qui n'est pas sauvegardé et qui n'est pas hors service » ;
   • B. « pour tout serveur s, s n'est pas sauvegardé et s n'est pas hors service » ;
   • C. « il existe un serveur s qui n'est pas sauvegardé ou qui n'est pas hors service » ;
   • D. « aucun serveur n'est sauvegardé ».

Exercice 2 sur 5 Exercice 2 : le carrousel de tri (6 points) Réussi À revoir

Dans l'entrepôt de Sorbier Logistique, un robot dépose les colis dans un carrousel de 24 casiers numérotés de 0 à 23 et disposés en cercle : après le casier 23 vient le casier 0. Le robot part du casier 0 et, entre deux dépôts, avance de s casiers (s entier, 1 ≤ s ≤ 23). Après k dépôts, il se trouve devant le casier dont le numéro est le reste de la division euclidienne de k × s par 24.

Partie A.

1. On prend s = 9. Donner la liste des casiers devant lesquels passe le robot, à partir du casier 0, jusqu'à son retour au casier 0.
2. Calculer PGCD(9 ; 24) à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Expliquer le résultat de la question 1 à l'aide d'une propriété du cours.
3. Donner toutes les valeurs de s pour lesquelles le robot passe devant les 24 casiers. Justifier.

Partie B. On prend s = 7.

1. Justifier que 7 admet un inverse modulo 24, et vérifier que cet inverse est 7.
2. Le robot part du casier 0. Après combien de dépôts se trouve-t-il pour la première fois devant le casier 10 ? Justifier.

Partie C. On considère l'algorithme suivant, où mod désigne le reste de la division euclidienne.

1  Fonction nbCasiers(s, n)
2      position ← s mod n
3      compteur ← 1
4      Tant que position ≠ ...... faire
5          position ← ......
6          compteur ← compteur + 1
7      Fin Tant que
8      Renvoyer compteur
9  Fin Fonction

1. Compléter les lignes 4 et 5 pour que la fonction renvoie le nombre de casiers différents devant lesquels passe le robot, casier 0 compris, sur un carrousel de n casiers avec des sauts de s.
2. Que renvoient nbCasiers(9, 24) et nbCasiers(8, 24) ? Exprimer nbCasiers(s, n) à l'aide de n et de PGCD(s ; n).
3. Écrire une fonction nbDepots(s, n, c) qui renvoie le nombre de dépôts nécessaires pour atteindre pour la première fois le casier c (1 ≤ c ≤ n − 1). On suppose que ce casier est atteint.

Fonction nbDepots(s, n, c)
    position ← s mod n
    k ← 1
    Tant que position ≠ c faire
        position ← (position + s) mod n
        k ← k + 1
    Fin Tant que
    Renvoyer k
Fin Fonction

Exercice 3 sur 5 Exercice 3, partie A : matrices (3 points) Réussi À revoir

Dans cet exercice, une matrice écrite sur une ligne se lit ligne par ligne : « ; » sépare les lignes, une espace sépare les nombres d'une même ligne.

Le service informatique de Sorbier Logistique renouvelle des postes de deux gammes : bureautique et technique. Un fournisseur propose deux lots. Le lot 1, de 2 postes bureautiques et 1 poste technique, coûte 2 300 €. Le lot 2, de 5 postes bureautiques et 3 postes techniques, coûte 6 200 €. On note x le prix d'un poste bureautique et y celui d'un poste technique, en euros.

1. Traduire la situation par un système de deux équations, puis l'écrire sous la forme A × X = C, avec A = (2 1 ; 5 3) et X = (x ; y). Préciser C.
2. On donne B = (3 −1 ; −5 2). Montrer que B est l'inverse de A.
3. En déduire x et y.
4. Le siège commande 10 postes bureautiques et 4 postes techniques ; l'entrepôt de Mâcon, 6 postes bureautiques et 2 postes techniques. On note Q = (10 4 ; 6 2). Calculer Q × X et interpréter le résultat.

( 2  1 )   ( x )   ( 2300 )
( 5  3 ) × ( y ) = ( 6200 )

        ( 2×3 + 1×(−5)    2×(−1) + 1×2 )   ( 1  0 )
A × B = (                              ) = (      ) = I₂
        ( 5×3 + 3×(−5)    5×(−1) + 3×2 )   ( 0  1 )

Exercice 4 sur 5 Exercice 3, partie B : algèbre de Boole (3 points) Réussi À revoir

L'outil de supervision envoie une alerte au technicien d'astreinte selon trois variables booléennes : c vaut 1 si la charge du processeur dépasse 90 %, d vaut 1 si l'espace disque libre est inférieur à 10 %, s vaut 1 si la sauvegarde de la nuit a échoué. Une alerte est envoyée dans les cas suivants, et seulement dans ceux-là :

• le processeur est surchargé et le disque presque plein ;

• le disque est presque plein et la sauvegarde a échoué ;

• la sauvegarde a échoué alors que le processeur n'est pas surchargé ;

• le processeur est surchargé, le disque n'est pas presque plein et la sauvegarde a échoué.

1. Écrire l'expression booléenne E qui vaut 1 quand une alerte est envoyée.
2. À l'aide d'un tableau de Karnaugh, écrire E sous la forme d'une somme de deux termes.
3. Traduire le résultat par une phrase.
4. Exprimer Ē sous la forme d'une somme de deux termes et l'interpréter.

Exercice 5 sur 5 Exercice 3, partie C : graphes (4 points) Réussi À revoir

Après une coupure de courant, cinq services du labo de Sorbier Logistique redémarrent dans un ordre qui respecte leurs dépendances : P (le pare-feu), A (l'annuaire, avec son DNS), S (le stockage), W (l'application web métier) et Z (la supervision). Un arc X → Y signifie que X doit être démarré avant Y. Le graphe G des dépendances est le suivant.

1. Écrire la matrice d'adjacence M de G, les sommets étant rangés dans l'ordre P, A, S, W, Z.
2. Déterminer les niveaux des sommets de G. Le graphe contient-il un circuit ?
3. Donner un chemin hamiltonien de G. Justifier qu'il n'existe qu'un seul ordre possible pour démarrer les cinq services un par un.
4. Calculer M². La calculatrice donne M³, dont la première ligne est (0 0 0 1 3). Interpréter le coefficient 3.
5. Déterminer la matrice de la fermeture transitive de G. Combien d'arcs faut-il ajouter à G pour l'obtenir ? Quels services dépendent, directement ou non, du stockage S ?