Le programme de maths du BTS SIO, module par module

Le programme de l'E3 « Mathématiques pour l'informatique » comprend six modules, définis par le programme de mathématiques des BTS (arrêté du 4 juin 2013) : arithmétique, algèbres de Boole, éléments de la théorie des ensembles, calcul matriciel, graphes et ordonnancement, et algorithmique appliquée, sans la récursivité ni l'analyse d'algorithmes. Ce chapitre détaille ce que contient chaque module, ce qui en est exclu, la forme d'évaluation qui le couvre et le cours du site qui le traite.

D'où vient le programme

Le référentiel du BTS SIO ne réécrit pas les contenus : il choisit des modules dans le programme commun aux BTS, publié au Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013, et en exclut quelques items. Chaque module y est présenté en trois colonnes : les contenus, les capacités attendues et des commentaires qui fixent les limites (« on se limite à », « aucune théorie n'est exigible »). Ce sont ces limites qui disent jusqu'où réviser.

L'enseignement compte 3 heures par semaine en première comme en deuxième année (2 heures en classe entière et 1 heure en demi-groupe). Les notions s'appuient souvent sur la machine : calculatrice, tableur et petits programmes, en Python dans la plupart des sections (chapitre 4).

Arithmétique

Ce qu'il contient. Deux parties. Les systèmes de numération : bases 10, 2 et 16 des entiers et des réels, conversions entre ces bases, notions d'arrondi et de précision, additions en bases 2 et 16, multiplications et divisions par une puissance de deux en base 2. L'arithmétique modulaire : division euclidienne, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, entiers premiers entre eux, PGCD, congruences, et la propriété « modulo n, les multiples de a sont les multiples de PGCD(a, n) », appliquée au parcours d'une liste circulaire par sauts.

Les limites. Les nombres négatifs s'écrivent avec le signe moins, quelle que soit la base : le complément à deux n'est pas au programme. L'arrondi se limite à des cas simples en base 10 et en base 2. Pour les algorithmes de recherche de nombres premiers et de décomposition, « aucune technique n'est censée être connue » : on te guide.

Ce qui tombe. Des conversions, souvent en QCM ; un chiffrement affine ou une clé de contrôle avec des congruences ; un inverse modulo 26 ; un algorithme à compléter. Le cours : arithmétique, avec ses exercices type E3.

Algèbres de Boole

Ce qu'il contient. Le calcul propositionnel (propositions, connecteurs non, et, ou, implication, équivalence, lois de De Morgan), le calcul des prédicats (variables, quantificateurs, négation d'un énoncé quantifié), le langage ensembliste (appartenance, inclusion, parties d'un ensemble, complémentaire, intersection, réunion) et le calcul booléen : propriétés, simplification d'une expression par le calcul ou par un tableau de Karnaugh, passage d'une situation à une expression et inversement.

Les limites. Au plus trois variables booléennes pour les simplifications ; des prédicats à une, deux ou trois variables. Les connecteurs NAND, NOR et XOR sont seulement « signalés ».

Ce qui tombe. Traduire une règle en expression, la simplifier sous une forme imposée (« une somme de deux termes »), l'interpréter par une phrase, puis exprimer son complément. Le cours : logique et algèbre de Boole, avec ses exercices type E3.

Éléments de la théorie des ensembles

Ce qu'il contient. Le produit cartésien de deux ensembles (et de n ensembles finis) et son cardinal ; les relations binaires, leurs propriétés, les relations d'équivalence et d'ordre ; les applications : image d'une partie, image réciproque, injection, surjection, bijection, composition.

Les limites. Pas de formalisme excessif : les exemples viennent de l'informatique (codage, tri, compression), et une caractérisation en phrases compte plus qu'un énoncé avec quantificateurs.

Ce qui tombe. Une image réciproque à lire sur un diagramme, une composée g∘f, une application injective ou non, des classes d'équivalence, un dénombrement. Le cours : théorie des ensembles, avec ses exercices type E3.

Calcul matriciel

Ce qu'il contient. Matrices, égalité, matrice nulle et matrice identité ; addition, multiplication par un réel, multiplication de deux matrices, puissance d'une matrice ; inverse d'une matrice (définition, unicité) ; représentation d'une situation par une écriture matricielle ; résolution d'un système de n équations à n inconnues par l'inverse d'une matrice.

Les limites. Les calculs à la main se font sur des matrices d'ordre 2 ; à partir de l'ordre 3, on utilise la calculatrice ou un logiciel. Le programme demande de montrer qu'une matrice est l'inverse d'une autre (en calculant leur produit), et de déterminer un inverse à la calculatrice. Le déterminant n'est pas au programme, et aucune condition d'inversibilité n'est à connaître.

Ce qui tombe. Un produit de matrices interprété dans le contexte (des prix, des quantités), un coefficient inconnu à trouver, un système résolu par l'inverse, et les matrices d'adjacence des graphes. Le cours : calcul matriciel.

Graphes et ordonnancement

Ce qu'il contient. Les graphes orientés et leurs représentations (dessin, tableau des successeurs ou des prédécesseurs, matrice d'adjacence booléenne), les chemins, circuits, boucles et chemins hamiltoniens, les puissances entières et booléennes de la matrice d'adjacence, la fermeture transitive, les niveaux d'un graphe sans circuit, les arborescences, le chemin optimal en longueur et en valeur. L'ordonnancement par la méthode MPM ou la méthode PERT : dates au plus tôt et au plus tard, tâches et chemin critiques, marges totale, libre et certaine, et la prise en compte d'une contrainte que le graphe ne représente pas.

Les limites. Des situations « très élémentaires », sans théorie générale ; aucune justification théorique des algorithmes n'est demandée. Les graphes non orientés, les cycles eulériens et la coloration ne sont pas au programme.

Ce qui tombe. Une matrice d'adjacence, une puissance M³ interprétée en nombre de chemins, une fermeture transitive, un chemin hamiltonien, un ordonnancement complet avec ses marges. Le cours : graphes et ordonnancement, avec ses exercices type E3.

Algorithmique appliquée

Ce qu'il contient. Les types (entiers, réels, booléens, chaînes), les tableaux à une et deux dimensions, les procédures et fonctions (paramètres, valeur renvoyée, variables locales et globales), les instructions de base, les opérateurs (y compris quotient et reste de la division entière, opérateurs booléens et opérateurs bit à bit interprétés en termes de masque), les fonctions sur les chaînes, les structures conditionnelles et itératives, les sommes et produits d'un nombre variable de termes, les structures imbriquées et le produit matriciel. Le module vise cinq compétences : comprendre un algorithme et expliquer ce qu'il fait, le modifier, en concevoir un, le traduire dans un langage, s'interroger sur son efficacité.

Ce qui est exclu de l'E3. Le référentiel du BTS SIO retire du module deux items : la récursivité et l'analyse d'algorithmes (la sensibilisation à la complexité). Tester un programme et corriger ses erreurs restent en revanche au cœur de la situation A : deux de ses huit critères portent sur les tests et la correction. Les fichiers, les pointeurs, les objets et l'étude des expressions régulières ne sont pas au programme de maths.

Ce qui tombe. En CCF, toute la situation A ; à l'écrit ponctuel, un exercice où tu complètes, traces ou modifies un algorithme en pseudo-code. Les cours : algorithmique, en particulier ses algorithmes des maths du BTS SIO, et le cours de Python.

Ce qui n'est pas au programme de l'E3

Certaines notions de maths du BTS SIO ne tombent jamais à l'E3. Ne les révise pas pour cette épreuve :

• les suites, les fonctions (dérivées, exponentielle, logarithme, limites, intégrales), la statistique descriptive et les probabilités : elles appartiennent à l'épreuve facultative de mathématiques approfondies (chapitre 3) ;
• le déterminant d'une matrice ;
• les graphes non orientés, les chaînes et cycles eulériens, la coloration de graphes ;
• le complément à deux et le format détaillé des nombres à virgule flottante ;
• la récursivité et le calcul de complexité.

Les cours du site traitent parfois ces notions en compléments signalés comme tels, parce qu'elles servent en programmation ou en réseau. À l'E3, elles ne te rapporteront pas de points.

Comment les modules se répartissent

La situation B ne couvre pas tous les modules : un ou deux exercices en 55 minutes portent sur « une partie significative » d'entre eux. L'écrit ponctuel, avec deux ou trois exercices, en balaie davantage. Aucun module ne peut être laissé de côté sans risque.

Exercices

Exercice 1 sur 2 À quel module appartient cette question ? Réussi À revoir

Pour chaque question, donne le module du programme et le cours à revoir.

1. « Écrire (2F4A)₁₆ en base 10. »
2. « Simplifier E = ab + ab̄c à l'aide d'un tableau de Karnaugh. »
3. « Déterminer f⁻¹({a ; b}). »
4. « Calculer M³ et interpréter le coefficient de la ligne 2, colonne 4. »
5. « Déterminer les dates au plus tard et le chemin critique. »
6. « Compléter la ligne 4 de l'algorithme pour qu'il renvoie le PGCD. »
7. « Montrer que B est l'inverse de A. »

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1

1. Arithmétique, numération (cours d'arithmétique).
2. Algèbres de Boole, calcul booléen (cours de logique).
3. Théorie des ensembles, applications (cours sur les ensembles).
4. Graphes, puissances de la matrice d'adjacence (cours de graphes) : le coefficient compte des chemins de longueur 3.
5. Graphes et ordonnancement, méthode MPM (cours de graphes).
6. Algorithmique appliquée, avec une méthode d'arithmétique (algorithme d'Euclide).
7. Calcul matriciel (cours de calcul matriciel) : on calcule A × B et on trouve la matrice identité.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 2 sur 2 Au programme ou non ? Réussi À revoir

Ces questions peuvent-elles tomber à l'E3 ? Justifie en une phrase.

1. Calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3.
2. Écrire −13 en complément à deux sur 8 bits.
3. Calculer l'inverse d'une matrice 3 × 3 à la calculatrice.
4. Calculer P(X ≤ 3) pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale.
5. Écrire la négation de « pour tout serveur s, il existe une sauvegarde de s ».
6. Écrire une fonction récursive qui calcule n!.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. Non : le déterminant n'est pas au programme.
2. Non : à l'E3, un négatif s'écrit avec le signe moins, quelle que soit la base.
3. Oui : le programme demande de déterminer un inverse à la calculatrice ou avec un logiciel.
4. Non pour l'E3 : c'est une question de l'épreuve facultative de mathématiques approfondies.
5. Oui : la négation d'un prédicat quantifié est au programme (algèbres de Boole) : « il existe un serveur s pour lequel il n'existe aucune sauvegarde ».
6. Non : la récursivité est exclue de l'algorithmique appliquée du BTS SIO.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore