Chapitre 128 minIntermédiaire
Aide-mémoire du calcul matriciel
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- retrouver en un coup d'œil une règle, une formule ou une touche ;
- éviter les erreurs qui coûtent le plus de points.
Cet aide-mémoire rassemble sur une page les définitions, les règles de calcul, les méthodes et les touches de calculatrice du calcul matriciel au programme de l'E3 du BTS SIO, puis les erreurs qui coûtent le plus de points. Chaque ligne renvoie au chapitre qui l'explique.
Vocabulaire
| Notion | À retenir |
|---|---|
| Dimensions m × n | m lignes, n colonnes ; lignes d'abord |
| Coefficient aᵢⱼ | ligne i, colonne j ; A[i-1][j-1] en Python |
| Matrice carrée d'ordre n | n × n |
| Matrice nulle O | que des 0 ; neutre pour l'addition |
| Matrice identité Iₙ | carrée, 1 sur la diagonale, 0 ailleurs ; neutre pour le produit |
| Égalité | mêmes dimensions et mêmes coefficients, place par place |
Détails : chapitre 1.
Les opérations
| Opération | Condition | Règle | Dimensions du résultat |
|---|---|---|---|
| A + B, A − B | mêmes dimensions | case par case | celles de A |
| kA | aucune | chaque coefficient × k | celles de A |
| A × B | colonnes de A = lignes de B | cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + … + aᵢₚbₚⱼ | (m × p)(p × n) → m × n |
| Aⁿ | A carrée | A × A × … × A, A⁰ = I | celles de A |
| A ⊕ B | mêmes dimensions | case par case, 1 ⊕ 1 = 1 | celles de A |
| A ⊗ B | colonnes de A = lignes de B | 1 dès qu'un k vérifie aᵢₖ = bₖⱼ = 1 | m × n |
Détails : chapitres 2, 3, 4 et 9.
Les propriétés du produit
- AB ≠ BA en général ; BA peut ne pas exister.
- (AB)C = A(BC) ; A(B + C) = AB + AC ; (kA)B = k(AB).
- Iₘ × A = A × Iₙ = A.
- AB = O n'entraîne pas A = O ou B = O ; AB = AC n'entraîne pas B = C.
- (A + B)² = A² + AB + BA + B².
- Matrice diagonale : Dⁿ = diagonale des puissances n-ièmes.
- Si Xₙ₊₁ = AXₙ, alors Xₙ = AⁿX₀.
L'inverse et les systèmes
| Question | Méthode |
|---|---|
| Montrer que B = A⁻¹ | calculer A × B et trouver I (chapitre 5) |
| A × C = kI (k ≠ 0) | alors A⁻¹ = (1/k) C |
| Relation A² + αA + βI = O, avec β ≠ 0 | A × (A + αI) = −βI, donc A⁻¹ = −(1/β)(A + αI) |
| Inverse d'ordre 2 | [ a b ; c d ]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [ d -b ; -c a ] si ad − bc ≠ 0, puis vérifier |
| Inverse d'ordre 3 ou plus | calculatrice (chapitre 7) |
| Système AX = B | X = A⁻¹B, A⁻¹ à gauche (chapitre 6) |
Hors programme : déterminant (la notion n'est pas au programme), déterminant 3 × 3, comatrice, pivot de Gauss, formules de Cramer, théorie des chaînes de Markov (un processus aléatoire peut servir d'exemple, avec la méthode donnée).
Une question, une méthode
| La question dit… | Ce que tu écris |
|---|---|
| « Calculer A × B » | Les dimensions (m × p)(p × n), puis chaque coefficient « ligne i × colonne j = … », puis la matrice complète |
| « Interpréter le coefficient de la ligne i, colonne j » | Une phrase qui reprend l'intitulé de la ligne i, celui de la colonne j et l'unité : « le coût, en euros, de la commande de la Comptabilité chez le fournisseur 2 » |
| « Déterminer t pour que… » | Le coefficient concerné en fonction de t, l'équation, sa résolution, la conclusion dans le contexte |
| « Calculer A², A³, conjecturer Aⁿ » | A² et A³ posés, la régularité repérée (puissances, suite arithmétique), la formule, une vérification sur un rang de plus à la calculatrice |
| « Exprimer Xₙ en fonction de X₀ » | Xₙ₊₁ = AXₙ, donc Xₙ = AⁿX₀ ; puis le calcul de Aⁿ à la calculatrice |
| « Montrer que B est l'inverse de A » | Le produit A × B (posé en ordre 2, à la calculatrice au-delà), le résultat I, la phrase « donc B = A⁻¹ » |
| « En déduire que A est inversible » (après une relation) | La relation réécrite sous la forme A × (…) = kI, puis A⁻¹ = (1/k)(…) |
| « Résoudre le système » | A, X, B écrits ; X = A⁻¹B, à la main en ordre 2 ou « à l'aide de la calculatrice » ; vérification dans une équation ; conclusion |
| « Combien de chemins de longueur p ? » | Le coefficient (i, j) de Mᵖ, avec la ligne et la colonne nommées ; les chemins écrits si on te les demande |
| « Calculer le produit booléen » | Les dimensions, chaque case « 1 dès qu'un k convient », l'interprétation « il existe » |
| « Chiffrer par Hill » | Les paires, les rangs, K × X, la réduction modulo 26 écrite sous la forme 59 = 2 × 26 + 7, les lettres |
Hill et modulo 26
- Lettres numérotées de A = 0 à Z = 25 ; paires complétées par X si besoin.
- Chiffrer : Y ≡ K × X [26] ; déchiffrer : X ≡ K' × Y [26] avec K' × K ≡ I₂ [26].
- Clé valable si ad − bc est premier avec 26 (impair et non multiple de 13).
Détails : chapitre 10.
Les touches de calculatrice
| Action | TI-83 Premium CE Edition Python | Casio Graph 90+E |
|---|---|---|
| Éditer une matrice | [2nde] [x⁻¹] (matrice), onglet EDIT | menu Exe-Mat, [F3] (MAT/VCT), [F3] (DIM) |
| Insérer son nom | [2nde] [x⁻¹], onglet NOMS | [OPTN] [F2] [F1] (Mat), [ALPHA] lettre |
| Inverse | [A] [x⁻¹] | Mat A [SHIFT] [)] (x⁻¹) |
| Puissance | [A] ^ n | Mat A ^ n |
| Système AX = B | [A] [x⁻¹] × [B] | Mat A x⁻¹ × Mat B |
| Fractions | [math], ►Frac | conversion à la main |
| Mode examen | éteinte : [annul] + [entrer] + [on] | éteinte : [COS] + [7] + [AC/ON] |
Sur la Graph Math+ : application Calculs, onglet des matrices, et le catalogue (catégorie Matrice) pour l'inverse et l'identité ; mode examen par le menu Mode examen.
Sur la NumWorks : application Calculs, matrice tapée entre crochets [[2,1][1,3]] ou insérée par [toolbox], Matrices et vecteurs ; rangement par → A ; inverse A^(-1) ; système A^(-1) × B ; mode examen par Paramètres, Mode examen.
Python
| Besoin | Code |
|---|---|
| Matrice 2 × 3 | Q = [[2, 3, 1], [4, 2, 5]] |
| Dimensions | len(A), len(A[0]) |
| Coefficient aᵢⱼ | A[i - 1][j - 1] |
| Identité | [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)] |
| Produit | trois boucles : C[i][j] = C[i][j] + A[i][k] * B[k][j] |
| Fractions exactes | from fractions import Fraction |
| Produit booléen | 1 if any(A[i][k] and B[k][j] for k in range(p)) else 0 |
Détails : chapitre 8.
Les erreurs qui coûtent le plus de points
| Erreur | Ce qu'il faut faire |
|---|---|
| Inverser lignes et colonnes (3 × 2 au lieu de 2 × 3) | Toujours les lignes d'abord |
| Multiplier case par case | Le produit se fait ligne par colonne |
| A² = carrés des coefficients | A² = A × A, ligne par colonne (sauf matrice diagonale) |
| Écrire BA⁻¹ pour résoudre AX = B | X = A⁻¹B |
| « A − 5 » au lieu de A − 5I | On ne soustrait pas un nombre à une matrice |
| Diviser par une matrice | Multiplier par son inverse, du bon côté |
| Répondre à « montrer que B = A⁻¹ » en inversant A à la machine | Calculer A × B (à la main en ordre 2, à la calculatrice au-delà) et trouver I |
| Recopier 0,333 au lieu de 1/3 | Valeurs exactes, en fractions |
| Signe moins saisi avec la touche de soustraction | Touche [(−)] pour un nombre négatif |
| Oublier un coefficient nul dans un système | Une inconnue absente a le coefficient 0 |
| Conclure par un coefficient seul | Une phrase avec les mots de l'énoncé |
| Prendre l'inverse ordinaire pour Hill | La matrice de déchiffrement est entière, modulo 26 |