C'est quoi une matrice ? Définition, dimensions et vocabulaire

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangés en lignes et en colonnes, sur lequel on définit des opérations. Une matrice qui a m lignes et n colonnes est dite de dimensions m × n (on lit « m croix n »). Ce chapitre donne le vocabulaire de base : coefficients, matrices particulières, égalité de deux matrices, et montre où l'informaticien rencontre des matrices au quotidien.

Un tableau de données devient une matrice

Le service informatique de Sorbier Logistique prépare la commande de petit matériel du trimestre pour deux services. Il note les quantités dans un tableau :

Si l'on garde seulement les nombres, en respectant leur place, on obtient une matrice que l'on peut appeler Q :

Q = [ 2  3  1 ]
    [ 4  2  5 ]

Les intitulés ont disparu, mais pas l'information : la ligne 1 est la Comptabilité, la ligne 2 le Commercial, la colonne 1 les écrans, la colonne 2 les claviers, la colonne 3 les casques. Le programme du BTS présente justement la matrice comme un tableau qui représente une situation à plusieurs « entrées » (ici les services) et plusieurs « sorties » (ici les articles). Toute la suite du cours consiste à calculer sur ces tableaux sans perdre leur sens.

Dimensions et coefficients

Une matrice A à m lignes et n colonnes est une matrice de dimensions m × n, ou de format (m, n). On donne toujours le nombre de lignes d'abord, puis le nombre de colonnes. La matrice Q ci-dessus est de dimensions 2 × 3 : elle a 2 lignes et 3 colonnes, donc 2 × 3 = 6 coefficients.

Le nombre situé à la ligne i et à la colonne j s'appelle le coefficient (ou terme, ou élément) d'indices i et j. Il se note aᵢⱼ pour la matrice A, qᵢⱼ pour la matrice Q, toujours avec l'indice de ligne en premier.

        colonne 1  colonne 2  ...  colonne n
ligne 1 [  a₁₁       a₁₂     ...    a₁ₙ  ]
ligne 2 [  a₂₁       a₂₂     ...    a₂ₙ  ]
  ...   [  ...       ...     ...    ...  ]
ligne m [  aₘ₁       aₘ₂     ...    aₘₙ  ]

Dans la matrice Q : q₁₂ = 3 (ligne 1, colonne 2 : la Comptabilité commande 3 claviers), q₂₃ = 5 (le Commercial commande 5 casques), q₂₁ = 4. Le coefficient q₃₁ n'existe pas : Q n'a que deux lignes.

Une matrice peut aussi être définie par une formule donnant chaque coefficient. Par exemple, la matrice B de dimensions 2 × 3 telle que bᵢⱼ = i + 2j a pour coefficients b₁₁ = 1 + 2 = 3, b₁₂ = 1 + 4 = 5, b₁₃ = 7, b₂₁ = 4, b₂₂ = 6, b₂₃ = 8 :

B = [ 3  5  7 ]
    [ 4  6  8 ]

Les matrices particulières

Certaines formes reviennent sans cesse ; il faut connaître leur nom.

Dans le tableau, le point-virgule sépare les lignes : [ 1 3 ; 4 2 ] est la matrice d'ordre 2 dont la première ligne est (1, 3) et la seconde (4, 2). La matrice identité est la plus importante de toutes :

I₂ = [ 1  0 ]        I₃ = [ 1  0  0 ]
     [ 0  1 ]             [ 0  1  0 ]
                          [ 0  0  1 ]

Elle joue pour les matrices le rôle du nombre 1 : multiplier par Iₙ ne change rien (chapitre 3). La matrice nulle joue le rôle du 0 pour l'addition (chapitre 2). Les matrices colonnes servent à écrire les inconnues et les seconds membres d'un système (chapitre 6).

On rencontre aussi le mot triangulaire : une matrice carrée est triangulaire supérieure quand tous ses coefficients sous la diagonale sont nuls ([ 2 1 ; 0 3 ]), triangulaire inférieure quand ce sont ceux au-dessus. C'est du vocabulaire, pas une notion du programme.

L'égalité de deux matrices

Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si leurs coefficients situés à la même place sont égaux deux à deux. Une égalité entre deux matrices 2 × 2 équivaut donc à quatre égalités entre nombres.

C'est un outil pour trouver des inconnues. Si

[ x + 1    3  ]   =   [ 4    3 ]
[   2     2y  ]       [ 2   -6 ]

alors, case par case : x + 1 = 4, donc x = 3 ; 3 = 3 et 2 = 2 sont vraies ; 2y = −6, donc y = −3.

À l'inverse, [ 1 2 3 ] (1 × 3) et la colonne (1 ; 2 ; 3) (3 × 1) ne sont pas égales : elles contiennent les mêmes nombres, mais pas dans le même format.

La transposée, pour aller plus loin

Où l'informaticien rencontre des matrices

Les matrices ne sont pas une curiosité de mathématicien. Tu en manipules sans le savoir :

• un tableau à deux dimensions dans un programme (une liste de listes en Python, un tableau int[,] en C#) est une matrice : le plan d'une salle, une grille de jeu, les notes d'une classe par élève et par matière (tableaux à deux dimensions) ;
• une feuille de tableur ou le résultat d'une requête SQL à plusieurs colonnes numériques est une matrice de données ;
• une image numérique en niveaux de gris est une matrice de pixels : une photo de 1 920 × 1 080 pixels est une matrice de 1 080 lignes et 1 920 colonnes, chaque coefficient étant une intensité entre 0 et 255. Une image couleur en superpose trois (rouge, vert, bleu) ;
• le graphisme : faire tourner, agrandir ou déplacer une forme à l'écran revient à multiplier les coordonnées de ses points par une matrice ; les cartes graphiques sont des machines spécialisées dans ces produits ;
• les graphes : un réseau de routeurs, les liens entre pages web ou les dépendances entre logiciels se représentent par une matrice d'adjacence, dont les puissances comptent les chemins (cours de graphes) ;
• les droits d'accès : qui appartient à quel groupe, quel groupe accède à quel partage, se lit dans des matrices de 0 et de 1 (chapitre 9) ;
• l'intelligence artificielle : un réseau de neurones calcule surtout des produits de matrices, entre les données d'entrée et les « poids » appris pendant l'entraînement ; c'est pour cela qu'on l'entraîne sur des processeurs graphiques ;
• la cryptographie : le chiffrement de Hill code un message avec une matrice (chapitre 10).

Exercices

M = [ 3  -1   0   2 ]
    [ 5   7  -4   1 ]
    [ 0   6   9  -2 ]

[ 2a     b - 1 ]   =   [ 6   4 ]
[  3      c²   ]       [ 3   9 ]