Puissance d'une matrice et suites de matrices

La puissance n-ième d'une matrice carrée A est le produit de n matrices égales à A : A² = A × A, A³ = A² × A, et ainsi de suite, avec la convention A⁰ = I. Elle sert dès qu'une même transformation se répète : n étapes d'une évolution, n arcs dans un graphe. Ce chapitre montre comment calculer A², A³ à la main, Aⁿ à la calculatrice, comment conjecturer une formule pour Aⁿ et comment modéliser un processus par étapes.

Définition

On ne peut multiplier A par elle-même que si A a autant de colonnes que de lignes : les puissances ne concernent que les matrices carrées.

Les puissances d'une même matrice commutent entre elles (A² × A = A × A²), parce que ce sont toujours des produits de A. En revanche, (AB)² = ABAB n'est pas égal à A²B² en général.

Calculer A² et A³ à la main

Prenons :

A = [ 1  2 ]
    [ 0  3 ]

A² = A × A, ligne par colonne :

c₁₁ = 1×1 + 2×0 = 1
c₁₂ = 1×2 + 2×3 = 2 + 6 = 8
c₂₁ = 0×1 + 3×0 = 0
c₂₂ = 0×2 + 3×3 = 9

A² = [ 1  8 ]
     [ 0  9 ]

A³ = A² × A :

c₁₁ = 1×1 + 8×0 = 1
c₁₂ = 1×2 + 8×3 = 2 + 24 = 26
c₂₁ = 0×1 + 9×0 = 0
c₂₂ = 0×2 + 9×3 = 27

A³ = [ 1  26 ]
     [ 0  27 ]

Le cas de la matrice diagonale

Si D est diagonale, le produit ligne par colonne ne fait intervenir que les coefficients diagonaux : Dⁿ est la matrice diagonale des puissances n-ièmes des coefficients diagonaux.

D = [ 2  0 ]        D³ = [ 2³   0  ]  =  [ 8    0  ]
    [ 0  5 ]             [ 0    5³ ]     [ 0   125 ]

C'est vrai pour n'importe quel ordre : [ -1 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 3 ]⁴ = [ 1 0 0 ; 0 16 0 ; 0 0 81 ]. C'est aussi pour cela que Iₙᵏ = Iₙ pour tout k : l'identité est diagonale, et 1ᵏ = 1.

Conjecturer la forme de Aⁿ

Un sujet demande souvent de calculer les premières puissances, puis de deviner (conjecturer) la forme générale. Pour la matrice A ci-dessus, A = [ 1 2 ; 0 3 ], A² = [ 1 8 ; 0 9 ], A³ = [ 1 26 ; 0 27 ]. On reconnaît 3, 9, 27 : les puissances de 3. Et 2, 8, 26 sont 3 − 1, 9 − 1, 27 − 1. On conjecture :

Aⁿ = [ 1   3ⁿ - 1 ]
     [ 0     3ⁿ   ]

On contrôle sur une puissance de plus, à la calculatrice : A⁴ = [ 1 80 ; 0 81 ], et 3⁴ − 1 = 80. La conjecture tient. La démonstration se ferait par récurrence ; le programme du BTS ne l'exige pas, mais une vérification sur un ou deux rangs de plus est toujours bienvenue.

Autre exemple classique, la matrice T = [ 1 1 ; 0 1 ] : T² = [ 1 2 ; 0 1 ], T³ = [ 1 3 ; 0 1 ]… on conjecture Tⁿ = [ 1 n ; 0 1 ], et T⁵ = [ 1 5 ; 0 1 ] le confirme à la calculatrice.

À la calculatrice

Au-delà de l'ordre 2 ou d'une puissance 3, on calcule Aⁿ à la calculatrice, avec la touche de puissance comme pour un nombre : [A]^10, puis [entrer]. Pour la matrice A ci-dessus, A¹⁰ = [ 1 59048 ; 0 59049 ], et 3¹⁰ = 59 049 : la conjecture se confirme encore. Le pas-à-pas pour chaque modèle est au chapitre 7, et la fonction Python au chapitre 8.

Les suites de matrices : un processus étape par étape

Le programme cite l'étude de « processus discrets » à l'aide de suites de matrices. L'idée : un état décrit par plusieurs nombres (une matrice colonne Xₙ) évolue d'une étape à la suivante toujours selon la même règle linéaire, Xₙ₊₁ = A × Xₙ. Alors X₁ = A X₀, X₂ = A X₁ = A² X₀, et de proche en proche :

Exemple : compter des codes binaires. Certains codages utilisés pour l'enregistrement magnétique interdisent deux bits 1 consécutifs. Combien existe-t-il de mots de 8 bits sans « 11 » ? Les écrire tous est long (il y a 256 mots de 8 bits). On compte plutôt étape par étape. Pour une longueur n, on note :

• xₙ le nombre de mots valables de longueur n qui finissent par 0 ;
• yₙ le nombre de mots valables de longueur n qui finissent par 1.

Pour allonger un mot valable d'un bit : on peut toujours ajouter un 0, mais on ne peut ajouter un 1 qu'après un 0. Donc :

• xₙ₊₁ = xₙ + yₙ (tous les mots, suivis d'un 0) ;
• yₙ₊₁ = xₙ (les mots qui finissent par 0, suivis d'un 1).

En écriture matricielle, avec Xₙ la colonne (xₙ ; yₙ) :

[ xₙ₊₁ ]   [ 1  1 ]   [ xₙ ]
[ yₙ₊₁ ] = [ 1  0 ] × [ yₙ ]        soit  Xₙ₊₁ = A × Xₙ  avec  A = [ 1  1 ]
                                                                   [ 1  0 ]

Pour n = 1, les mots « 0 » et « 1 » sont valables : X₁ = (1 ; 1). Les premières étapes donnent X₂ = (2 ; 1) (les mots 00, 10, 01), X₃ = (3 ; 2), X₄ = (5 ; 3), X₅ = (8 ; 5).

Pour les mots de 8 bits, il faut 7 étapes à partir de X₁ : X₈ = A⁷ × X₁. La calculatrice donne :

A⁷ = [ 21  13 ]        X₈ = A⁷ × X₁ = [ 21  13 ] × [ 1 ] = [ 34 ]
     [ 13   8 ]                       [ 13   8 ]   [ 1 ]   [ 21 ]

Il y a 34 mots de 8 bits valables qui finissent par 0 et 21 qui finissent par 1, soit 55 mots sans deux 1 consécutifs, sur 256. Tu as peut-être reconnu la suite de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…) : chaque terme est la somme des deux précédents, et la matrice A permet d'en calculer un terme lointain par une seule puissance. Le lien avec les suites numériques est direct : une suite de matrices, c'est plusieurs suites qui évoluent ensemble.

Le lien avec les graphes

Si M est la matrice d'adjacence d'un graphe orienté (un 1 à la ligne i et à la colonne j quand il y a un arc de i vers j), le coefficient (i, j) de Mᵖ est le nombre de chemins de longueur p de i vers j. C'est la question de matrices la plus fréquente dans les exercices de graphes de l'E3 : le sujet de la session 2026 demandait M³ et le nombre de chemins de longueur 3 entre deux zones (corrigé non officiel). La propriété et ses applications sont expliquées pas à pas dans le cours de graphes : puissances de la matrice d'adjacence. La version booléenne de ces puissances est au chapitre 9.

Exercices