Chapitre 711 minIntermédiaire
Matrices à la calculatrice : TI-83 Premium CE, Casio et NumWorks
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- saisir des matrices sur ta calculatrice en mode examen ;
- calculer un produit, une puissance et un inverse ;
- résoudre un système AX = B en une ligne ;
- comprendre les messages d'erreur et rédiger ce que la machine a fait.
3 exercices corrigés
Les calculatrices graphiques autorisées à l'examen savent saisir des matrices, les additionner, les multiplier, les élever à une puissance et les inverser : c'est ce que le programme attend pour les matrices d'ordre 3 ou plus. Ce chapitre donne les touches et les menus de la TI-83 Premium CE Edition Python, de la Casio Graph 90+E, de la Casio Graph Math+ et de la NumWorks, puis les messages d'erreur courants et la façon de rédiger un calcul fait à la machine.
Avant de commencer : le mode examen
À l'E3, la calculatrice est autorisée en mode examen, selon la réglementation en vigueur : on l'active au début de l'épreuve, sur consigne du surveillant. Le mode examen bloque les données que tu as enregistrées (programmes, fichiers) : ne compte pas sur des matrices saisies à l'avance, tu les saisiras pendant l'épreuve. Les fonctions intégrées de calcul matriciel, elles, restent disponibles.
- TI-83 Premium CE Edition Python : calculatrice éteinte, appuie en même temps sur [annul], [entrer] et [on]. La diode du haut clignote pendant tout le mode examen.
- Casio Graph 90+E : calculatrice éteinte, appuie en même temps sur [COS], [7] et [AC/ON].
- Casio Graph Math+ : le mode examen s'active depuis le menu Mode examen de l'écran d'accueil, sans combinaison de touches.
- NumWorks : dans l'application Paramètres, choisis Mode examen, puis [OK] et confirme. Un symbole apparaît dans le bandeau et la diode clignote en rouge ; pour sortir du mode examen, il faut brancher la calculatrice à un ordinateur.
Entraîne-toi au moins une fois en mode examen avant l'épreuve, pour retrouver les menus sans hésiter, puis désactive-le (avec un ordinateur ou une autre calculatrice, selon le modèle).
TI-83 Premium CE Edition Python
Les matrices s'appellent [A] à [J]. On les crée dans l'éditeur, puis on les appelle par le menu des noms : un nom de matrice ne se tape pas lettre par lettre au clavier.
Saisir une matrice.
- Appuie sur [2nde] puis [x⁻¹] : c'est la fonction matrice, écrite au-dessus de la touche x⁻¹.
- Avec la flèche droite, va dans l'onglet EDIT et choisis [A].
- Tape les dimensions (nombre de lignes, [entrer], nombre de colonnes, [entrer]), puis chaque coefficient suivi de [entrer]. Les flèches déplacent le curseur d'une case à l'autre.
- Recommence pour [B] si besoin, puis reviens à l'écran de calcul avec [2nde] [mode] (quitter).
Calculer. Dans l'écran de calcul, insère [A] par [2nde] [x⁻¹], onglet NOMS, choix 1. Puis :
| Calcul | Saisie |
|---|---|
| Somme, produit par un réel | [A] + [B], 3[A] − 2[B] |
| Produit | [A] × [B] (l'ordre de saisie est l'ordre du produit) |
| Puissance | [A] ^ 5, ou [A] [x²] pour le carré |
| Inverse | [A] [x⁻¹] |
| Système AX = B | [A] [x⁻¹] × [B] |
| Identité d'ordre 3 | [2nde] [x⁻¹], onglet MATHS, fonction identité(, puis 3 |
Afficher des fractions. Si l'inverse s'affiche en décimaux, ajoute la conversion en fraction à la fin du calcul : [A] [x⁻¹] puis [math], choix ►Frac, [entrer]. La conversion s'applique à chaque coefficient de la matrice. Si l'écran est trop étroit, fais défiler le résultat avec les flèches.
Casio Graph 90+E
Les calculs de matrices se font dans le menu Exe-Mat (sur la Graph 35+E II, le même menu s'appelle RUN-MAT). Les matrices s'appellent Mat A à Mat Z.
Saisir une matrice.
- [MENU], choisis Exe-Mat, [EXE].
- Appuie sur [F3] (MAT/VCT) : la liste des matrices s'affiche.
- Sélectionne Mat A, appuie sur [F3] (DIM), tape le nombre de lignes, [EXE], le nombre de colonnes, [EXE].
- Tape chaque coefficient suivi de [EXE], puis reviens à l'écran de calcul avec [EXIT].
Calculer. Pour écrire « Mat A », appuie sur [OPTN], [F2] (MAT/VCT), [F1] (Mat), puis [ALPHA] [A] ; le raccourci [SHIFT] [2] écrit aussi « Mat ». Ensuite :
| Calcul | Saisie |
|---|---|
| Produit | Mat A × Mat B |
| Puissance | Mat A ^ 5, ou Mat A [x²] |
| Inverse | Mat A [SHIFT] [)] : la fonction x⁻¹ est écrite au-dessus de la parenthèse fermante |
| Système AX = B | Mat A x⁻¹ × Mat B |
| Identité | dans le menu [OPTN] [F2] (MAT/VCT), page suivante avec [F6], puis [F1] (Identity), suivi de l'ordre |
Le résultat s'affiche dans Mat Ans. Si des décimaux apparaissent, convertis-les toi-même : 0,375 = 3/8, 0,333… = 1/3. Pour éviter les fractions, tu peux aussi multiplier l'inverse par un entier bien choisi (8 × A⁻¹ donne une matrice d'entiers dans l'exemple du chapitre 5), puis écrire A⁻¹ = ⅛ × cette matrice.
Casio Graph Math+
La Graph Math+, plus récente que la Graph 90+E, a une interface différente : une application Calculs à onglets et une touche catalogue qui regroupe les fonctions par catégories.
- Ouvre l'application Calculs. Avec les flèches, passe de l'onglet de calcul à l'onglet des matrices.
- Sélectionne Mat A, puis fixe sa dimension depuis le menu des outils ; saisis les coefficients.
- Reviens à l'onglet de calcul. Les noms Mat A, Mat B… s'insèrent depuis le catalogue, catégorie Matrice, qui contient aussi l'inverse, l'identité et la transposée. Produit, somme et puissance se tapent avec les touches habituelles.
NumWorks
La NumWorks n'a pas d'éditeur de matrices séparé : tout se fait dans l'application Calculs. On tape la matrice, on la range dans une variable, puis on calcule avec les touches habituelles. Les noms des touches ci-dessous sont ceux du manuel NumWorks.
Saisir une matrice. Deux façons :
- au clavier, entre crochets, ligne par ligne : les crochets [ et ] s'obtiennent avec [shift] puis [exp] ou [ln]. La matrice A =
[ 2 1 1 ; 1 3 2 ; 1 0 0 ]s'écrit[[2,1,1][1,3,2][1,0,0]]; - avec la boîte à outils : touche [toolbox], rubrique Matrices et vecteurs, choix Nouvelle matrice ou vecteur, qui insère un gabarit de matrice à remplir case par case.
Ranger la matrice dans une variable. Après la matrice, tape la flèche → ([shift] puis [xʸ], la touche de puissance), puis le nom, par exemple A (une majuscule s'obtient avec [shift] puis [alpha], puis la lettre), et valide avec [EXE]. Range B de la même façon.
Calculer. Une fois A et B rangées :
| Calcul | Saisie |
|---|---|
| Produit | A × B |
| Puissance | A^5 |
| Inverse | A^(-1), ou inverse(A) depuis [toolbox], Matrices et vecteurs, Matrices, Inverse de M |
| Système AX = B | A^(-1) × B |
| Identité d'ordre 3 | identity(3), dans [toolbox], Matrices et vecteurs, Matrices, Matrice identité de taille n |
Valeurs exactes. Comme pour les nombres, la NumWorks affiche le résultat exact quand elle le peut : tape des entiers ou des fractions (1/2), pas des décimaux (0.5), sinon le résultat reste en décimaux.
Les libellés exacts des menus dépendent de la version du système de la calculatrice : fais l'essai complet (saisie, produit, inverse, système) sur ta machine avant l'épreuve.
Les messages d'erreur et les pièges
| Ce qui se passe | La cause probable | Que faire |
|---|---|---|
| Erreur de dimension | Somme de matrices de formats différents, ou produit où les colonnes du premier ≠ lignes du second | Vérifie les dimensions saisies et l'ordre du produit (A⁻¹B et non BA⁻¹) |
| Erreur de matrice singulière | La matrice n'a pas d'inverse | Dans un sujet, c'est presque toujours une faute de saisie : relis chaque coefficient, surtout les 0 et les signes |
| Le résultat n'a pas la bonne taille | Dimensions saisies à l'envers (3 × 2 au lieu de 2 × 3) | Lignes d'abord, colonnes ensuite |
| Des valeurs comme 1E-13 ou 2,9999999 | Arrondis internes de la machine | Ce sont 0 et 3 : écris les valeurs exactes |
| La puissance ne se calcule pas | La matrice n'est pas carrée | Seules les matrices carrées ont des puissances |
Rédiger un calcul fait à la calculatrice
Le correcteur ne voit pas ton écran. Sur la copie, écris :
- les matrices que tu as saisies (au moins leur nom et leurs dimensions si elles viennent de l'énoncé) ;
- le calcul effectué, en notation mathématique : « à l'aide de la calculatrice, A⁻¹ × B = … » ;
- le résultat complet, en valeurs exactes ;
- la conclusion dans le contexte.
Par exemple : « La matrice A est inversible. À l'aide de la calculatrice, X = A⁻¹B = (149 ; 25 ; 59). Un écran coûte donc 149 €, un clavier 25 € et un casque 59 €. »
Exercices
Exercice 1 sur 3 Inverser à la calculatrice Réussi À revoir
À l'aide de ta calculatrice, donne l'inverse de chaque matrice, en valeurs exactes.
- A =
[ 2 1 1 ; 1 3 2 ; 1 0 0 ] - B =
[ 1 2 1 ; 2 1 0 ; 1 1 2 ]
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
-
La calculatrice affiche :
A⁻¹ = [ 0 0 1 ] [ -2 1 3 ] [ 3 -1 -5 ]Que des entiers : tu peux vérifier un coefficient de A × A⁻¹ à la main, par exemple la case (1, 1) : 2 × 0 + 1 × (−2) + 1 × 3 = 1.
-
La calculatrice affiche (après conversion en fractions) :
B⁻¹ = [ -2/5 3/5 1/5 ] [ 4/5 -1/5 -2/5 ] [ -1/5 -1/5 3/5 ]On peut l'écrire B⁻¹ = ⅕
[ -2 3 1 ; 4 -1 -2 ; -1 -1 3 ].
Tu avais trouvé ?
Exercice 2 sur 3 Une puissance à la machine Réussi À revoir
Soit M = [ 0 1 1 ; 1 0 1 ; 1 1 0 ]. Calcule M⁵ à la calculatrice. Quelle est la somme des coefficients de sa première ligne ? Pouvais-tu la prévoir ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
La calculatrice donne M⁵ = [ 10 11 11 ; 11 10 11 ; 11 11 10 ]. La somme de la première ligne vaut 10 + 11 + 11 = 32 = 2⁵. On pouvait la prévoir : chaque ligne de M a pour somme 2, donc chaque ligne de M × M a pour somme 2 × 2, et ainsi de suite. (En termes de graphes, M est la matrice d'un graphe où chaque sommet a 2 successeurs : il part 2⁵ chemins de longueur 5 de chaque sommet.)
Tu avais trouvé ?
Exercice 3 sur 3 Diagnostiquer une erreur Réussi À revoir
Un étudiant veut résoudre AX = B, avec A une matrice 3 × 3 et B une colonne 3 × 1. Sa calculatrice affiche successivement les trois erreurs suivantes. Explique chacune.
- Il a tapé [B] × [A]⁻¹.
- Il a saisi B en 1 × 3 au lieu de 3 × 1, puis tapé [A]⁻¹ × [B].
- Il a tapé [A]⁻¹ et obtenu « matrice singulière », alors que l'énoncé dit que A est inversible.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
- Erreur de dimension : B (3 × 1) × A⁻¹ (3 × 3), 1 ≠ 3, le produit n'existe pas. La solution est A⁻¹ × B, dans cet ordre.
- Erreur de dimension : A⁻¹ (3 × 3) × B (1 × 3), 3 ≠ 1. B est une colonne : 3 lignes, 1 colonne.
- Une faute de saisie dans A : un coefficient oublié (un 0 laissé vide ou remplacé), un signe moins tapé avec la touche de soustraction, ou deux coefficients inversés. Il faut relire A case par case avec l'énoncé.
Tu avais trouvé ?