Chapitre 211 minIntermédiaire
Addition de matrices et multiplication par un réel
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- additionner et soustraire deux matrices de mêmes dimensions ;
- multiplier une matrice par un réel ;
- calculer une combinaison comme 3A − 2B ;
- résoudre une équation matricielle simple comme 2X + A = B.
5 exercices corrigés
La somme de deux matrices de mêmes dimensions s'obtient en additionnant leurs coefficients situés à la même place ; le produit d'une matrice par un réel k s'obtient en multipliant chacun de ses coefficients par k. Ces deux opérations se font « case par case » et suivent les règles du calcul ordinaire. Ce chapitre les détaille, avec leurs propriétés, leur interprétation et la résolution d'équations comme 2X + A = B.
La somme de deux matrices
Reprenons les commandes de Sorbier Logistique. La matrice Q₁ donne les quantités commandées au premier trimestre, Q₂ celles du deuxième, avec les mêmes lignes (Comptabilité, Commercial) et les mêmes colonnes (écrans, claviers, casques) :
Q₁ = [ 2 3 1 ] Q₂ = [ 1 0 2 ]
[ 4 2 5 ] [ 3 1 1 ]
Pour connaître les quantités du semestre, on additionne les quantités qui correspondent au même service et au même article, donc les coefficients situés à la même place :
Q₁ + Q₂ = [ 2+1 3+0 1+2 ] = [ 3 3 3 ]
[ 4+3 2+1 5+1 ] [ 7 3 6 ]
Le Commercial commande 7 écrans sur le semestre (4 + 3), la Comptabilité 3 casques (1 + 2).
La différence se calcule de la même façon. Q₁ − Q₂ mesure l'écart entre les deux trimestres :
Q₁ - Q₂ = [ 2-1 3-0 1-2 ] = [ 1 3 -1 ]
[ 4-3 2-1 5-1 ] [ 1 1 4 ]
Le −1 signifie que la Comptabilité a commandé un casque de moins au premier trimestre qu'au deuxième. Un coefficient négatif n'a rien d'anormal dans une différence.
Le produit d'une matrice par un réel
L'an prochain, chaque service prévoit de commander le double des quantités du premier trimestre. On multiplie chaque coefficient de Q₁ par 2 :
2 × Q₁ = [ 2×2 2×3 2×1 ] = [ 4 6 2 ]
[ 2×4 2×2 2×5 ] [ 8 4 10 ]
Autre usage : les prix unitaires (écran 149 €, clavier 25 €, casque 59 €) augmentent de 4 %. Multiplier un prix par 1,04 l'augmente de 4 % ; on multiplie la matrice ligne des prix par 1,04 :
1,04 × [ 149 25 59 ] = [ 154,96 26 61,36 ]
Les propriétés : on calcule comme avec des nombres
Parce que ces opérations se font case par case, elles héritent des règles des nombres. Pour des matrices A, B, C de mêmes dimensions et des réels k et l :
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Commutativité de l'addition | A + B = B + A |
| Associativité | (A + B) + C = A + (B + C) |
| La matrice nulle est neutre | A + O = A |
| Opposée | A + (−A) = O |
| Distributivité | k(A + B) = kA + kB et (k + l)A = kA + lA |
| Associativité mixte | k(lA) = (kl)A |
| Multiplier par 1 ou par 0 | 1 × A = A et 0 × A = O |
Ces règles permettent de calculer des combinaisons sans réfléchir à l'ordre. Avec
A = [ 2 -1 ] B = [ 1 4 ]
[ 0 3 ] [ -2 5 ]
calculons 3A − 2B. On calcule d'abord 3A et 2B, puis la différence :
3A = [ 6 -3 ] 2B = [ 2 8 ]
[ 0 9 ] [ -4 10 ]
3A - 2B = [ 6-2 -3-8 ] = [ 4 -11 ]
[ 0+4 9-10 ] [ 4 -1 ]
Attention à la case (2, 1) : 0 − (−4) = +4.
Résoudre une équation matricielle
On résout une équation comme 2X + A = B exactement comme 2x + a = b avec des nombres, en isolant l'inconnue X (une matrice) :
- 2X + A = B
- 2X = B − A (on retranche A des deux côtés)
- X = ½(B − A) (on multiplie par ½)
Avec les matrices A et B ci-dessus :
B - A = [ 1-2 4-(-1) ] = [ -1 5 ]
[ -2-0 5-3 ] [ -2 2 ]
X = ½ (B - A) = [ -1/2 5/2 ]
[ -1 1 ]
Vérification : 2X = [ -1 5 ; -2 2 ], et 2X + A = [ -1+2 5-1 ; -2+0 2+3 ] = [ 1 4 ; -2 5 ] = B. La vérification prend dix secondes et évite de perdre les points de toutes les questions suivantes.
Ce que fait la calculatrice
La calculatrice additionne et multiplie par un réel avec les touches habituelles : [A] + [B], 3[A] − 2[B]. Si les dimensions ne correspondent pas, elle affiche un message d'erreur de dimension. Le pas-à-pas est au chapitre 7. Pour ces opérations case par case, le calcul à la main est souvent plus rapide que la saisie, surtout en ordre 2.
Exercices
Exercice 1 sur 5 Calculs case par case Réussi À revoir
On donne :
A = [ 1 -2 ] B = [ 4 1 ] C = [ 1 0 2 ]
[ 3 0 ] [ -1 2 ] [ 0 1 3 ]
Calcule, si elles existent : A + B, A − B, 2A + B, −3B et A + C.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- A + B =
[ 1+4 -2+1 ; 3-1 0+2 ]=[ 5 -1 ; 2 2 ] - A − B =
[ 1-4 -2-1 ; 3+1 0-2 ]=[ -3 -3 ; 4 -2 ] - 2A + B =
[ 2 -4 ; 6 0 ]+[ 4 1 ; -1 2 ]=[ 6 -3 ; 5 2 ] - −3B =
[ -12 -3 ; 3 -6 ] - A + C n'existe pas : A est 2 × 2 et C est 2 × 3.
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Exercice 2 sur 5 Le stock du service informatique Réussi À revoir
Le service informatique tient le stock de sa réserve : la ligne 1 compte le matériel neuf, la ligne 2 le matériel reconditionné ; les colonnes sont les écrans, les claviers et les souris. Au 1er octobre, le stock est S. En octobre, il reçoit les livraisons E et sort du stock les quantités T pour équiper les postes.
S = [ 12 20 15 ] E = [ 10 0 20 ] T = [ 8 6 25 ]
[ 3 5 4 ] [ 2 4 0 ] [ 4 3 2 ]
- Écris le calcul matriciel qui donne le stock F au 31 octobre, puis calcule F.
- Combien de souris neuves reste-t-il ? Combien d'écrans en tout ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
-
Le stock final est le stock initial, plus les entrées, moins les sorties : F = S + E − T.
F = [ 12+10-8 20+0-6 15+20-25 ] = [ 14 14 10 ] [ 3+2-4 5+4-3 4+0-2 ] [ 1 6 2 ] -
Les souris neuves sont à la ligne 1, colonne 3 : 10. Les écrans sont dans la colonne 1 : 14 neufs et 1 reconditionné, soit 15 écrans.
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Exercice 3 sur 5 Une équation matricielle Réussi À revoir
Résous l'équation 3X − A = 2B, d'inconnue X, avec :
A = [ 3 0 ] B = [ 0 3 ]
[ 6 -3 ] [ -3 6 ]
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
On isole X : 3X = A + 2B, donc X = ⅓(A + 2B).
2B = [ 0 6 ] A + 2B = [ 3 6 ] X = ⅓ (A + 2B) = [ 1 2 ]
[ -6 12 ] [ 0 9 ] [ 0 3 ]
Vérification : 3X − A = [ 3 6 ; 0 9 ] − [ 3 0 ; 6 -3 ] = [ 0 6 ; -6 12 ] = 2B. Correct.
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Exercice 4 sur 5 La moyenne des deux trimestres Réussi À revoir
On reprend les commandes de Sorbier Logistique du début du chapitre (lignes : Comptabilité, Commercial ; colonnes : écrans, claviers, casques) :
Q₁ = [ 2 3 1 ] Q₂ = [ 1 0 2 ]
[ 4 2 5 ] [ 3 1 1 ]
- Calcule M = ½(Q₁ + Q₂). Interprète le coefficient m₂₁.
- Pour le troisième trimestre, chaque service prévoit de commander le double de sa moyenne trimestrielle, moins le matériel qui lui reste en réserve, donné par R =
[ 1 1 0 ; 2 0 1 ]. Écris Q₃ en fonction de M et de R, puis calcule Q₃. Combien d'écrans le Commercial commande-t-il ? - Le responsable des achats a égaré le détail du premier trimestre, mais il connaît M et Q₂. Exprime Q₁ en fonction de M et de Q₂, et vérifie avec les valeurs.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
-
Q₁ + Q₂ =
[ 3 3 3 ; 7 3 6 ](calculée plus haut dans le chapitre), donc :M = ½ (Q₁ + Q₂) = [ 1,5 1,5 1,5 ] [ 3,5 1,5 3 ]m₂₁ = 3,5 : le Commercial a commandé en moyenne 3,5 écrans par trimestre sur le semestre. Une moyenne n'a pas à être entière : aucun trimestre n'a compté 3,5 écrans, mais 7 écrans en deux trimestres font 3,5 par trimestre.
-
Q₃ = 2M − R. Comme 2M = Q₁ + Q₂ :
Q₃ = [ 3-1 3-1 3-0 ] = [ 2 2 3 ] [ 7-2 3-0 6-1 ] [ 5 3 5 ]Le Commercial commande 5 écrans (ligne 2, colonne 1).
-
De M = ½(Q₁ + Q₂), on tire 2M = Q₁ + Q₂, donc Q₁ = 2M − Q₂. Vérification : 2M − Q₂ =
[ 3-1 3-0 3-2 ; 7-3 3-1 6-1 ]=[ 2 3 1 ; 4 2 5 ], c'est bien Q₁. On résout une équation matricielle comme une équation entre nombres, case par case.
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Exercice 5 sur 5 Vrai ou faux Réussi À revoir
- Pour toutes matrices A et B de mêmes dimensions, A − B = B − A.
- 2(A + B) = 2A + 2B.
- Si A + B = A + C, alors B = C.
- On peut additionner une matrice 2 × 3 et une matrice 3 × 2, car elles ont toutes les deux 6 coefficients.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 5
- Faux : A − B = −(B − A). Les deux sont égales seulement si A = B.
- Vrai : c'est la distributivité, case par case : 2(aᵢⱼ + bᵢⱼ) = 2aᵢⱼ + 2bᵢⱼ.
- Vrai : on ajoute −A des deux côtés. Pour l'addition, on « simplifie » comme avec des nombres. Ce ne sera plus vrai pour la multiplication (chapitre 3).
- Faux : la somme exige les mêmes dimensions, pas le même nombre de coefficients.
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