Résoudre un système d'équations avec les matrices (AX = B)

Un système de n équations linéaires à n inconnues s'écrit sous la forme matricielle AX = B, où A est la matrice carrée des coefficients, X la colonne des inconnues et B la colonne des seconds membres. Si A est inversible, le système a une solution unique, X = A⁻¹B. Ce chapitre montre comment écrire un système sous cette forme, le résoudre à la main en ordre 2 et à la calculatrice au-delà, et comment mettre en équation un problème concret.

Écrire un système sous la forme AX = B

Prenons le système :

{ 2x +  y =  5
{ 5x + 3y = 13

On range les coefficients des inconnues dans une matrice A, les inconnues dans une colonne X, les seconds membres dans une colonne B :

A = [ 2  1 ]      X = [ x ]      B = [  5 ]
    [ 5  3 ]          [ y ]          [ 13 ]

Le produit A × X vaut [ 2x + y ; 5x + 3y ] (chapitre 3), donc le système équivaut à l'égalité A × X = B : deux matrices colonnes sont égales quand leurs coefficients le sont.

Pour un système plus grand, trois précautions :

1. Ordonne les inconnues de la même façon dans chaque équation (x, puis y, puis z), et écris-les dans cet ordre dans X.
2. Une inconnue absente a le coefficient 0. Dans « y + 3z = 9 », le coefficient de x est 0.
3. Fais passer les constantes à droite et les inconnues à gauche avant de lire les coefficients. « 2x = 7 − y » devient « 2x + y = 7 ».

{ x + 2y      = 1               [ 1  2  0 ]       [ x ]       [ 1 ]
{      y + 3z = 9      →    A = [ 0  1  3 ]   X = [ y ]   B = [ 9 ]
{ x      + 2z = 5               [ 1  0  2 ]       [ z ]       [ 5 ]

La solution : X = A⁻¹B

Si A est inversible, on multiplie les deux membres de AX = B à gauche par A⁻¹ :

• A⁻¹ × (A × X) = A⁻¹ × B
• (A⁻¹ × A) × X = A⁻¹ × B (associativité)
• I × X = A⁻¹ × B
• X = A⁻¹ × B

Résoudre un système d'ordre 2 à la main

Pour le système { 2x + y = 5 ; 5x + 3y = 13 }, l'inverse de A = [ 2 1 ; 5 3 ] a été calculé au chapitre 5 : A⁻¹ = [ 3 -1 ; -5 2 ]. Donc :

X = A⁻¹ × B = [  3  -1 ] × [  5 ]  =  [  3×5 + (-1)×13 ]  =  [ 2 ]
              [ -5   2 ]   [ 13 ]     [ -5×5 +  2×13   ]     [ 1 ]

La solution est x = 2 et y = 1. Vérification dans le système d'origine : 2 × 2 + 1 = 5 et 5 × 2 + 3 × 1 = 13. Les deux équations sont vérifiées.

En ordre 2, tu peux aussi résoudre par substitution ou par combinaison, comme au lycée : si l'énoncé n'impose pas la méthode matricielle, choisis la plus rapide. S'il dit « en utilisant le calcul matriciel » ou « en déduire », c'est X = A⁻¹B qui est attendu.

Résoudre un système d'ordre 3 ou plus à la calculatrice

Pour le système 3 × 3 écrit plus haut, A est la matrice dont l'inverse a été calculé au chapitre 5. Avec la calculatrice, on saisit A et B, puis on calcule [A]⁻¹ × [B] :

X = A⁻¹ × B = [  1/4   -1/2    3/4 ]   [ 1 ]   [ -1/2 ]
              [  3/8    1/4   -3/8 ] × [ 9 ] = [  3/4 ]
              [ -1/8    1/4    1/8 ]   [ 5 ]   [ 11/4 ]

La solution est x = −1/2, y = 3/4, z = 11/4. Vérification dans la première équation : −1/2 + 2 × 3/4 = −1/2 + 3/2 = 1. Dans la deuxième : 3/4 + 3 × 11/4 = 3/4 + 33/4 = 36/4 = 9. Dans la troisième : −1/2 + 2 × 11/4 = −1/2 + 11/2 = 5.

Mettre un problème en équation

La vraie difficulté est souvent de passer de l'énoncé au système. La méthode en quatre temps :

1. Nomme les inconnues par une phrase : « soit x le prix d'un écran en euros ».
2. Traduis chaque information par une équation.
3. Écris AX = B, en précisant A, X et B.
4. Résous, vérifie et conclus par une phrase dans le contexte.

Exemple. Le service informatique de Sorbier Logistique a passé trois commandes chez le même fournisseur, sans que la facture détaille les prix unitaires :

• commande 1 : 5 écrans, 10 claviers et 3 casques, pour 1 172 € ;
• commande 2 : 2 écrans, 4 claviers et 6 casques, pour 752 € ;
• commande 3 : 8 écrans et 2 casques, pour 1 310 €.

Soit x le prix d'un écran, y celui d'un clavier, z celui d'un casque, en euros. Les trois commandes donnent :

{ 5x + 10y + 3z = 1172          [ 5  10  3 ]       [ x ]       [ 1172 ]
{ 2x +  4y + 6z =  752      A = [ 2   4  6 ]   X = [ y ]   B = [  752 ]
{ 8x        + 2z = 1310         [ 8   0  2 ]       [ z ]       [ 1310 ]

La commande 3 ne contient pas de clavier : le coefficient de y dans la troisième équation est 0. À la calculatrice, A est inversible et [A]⁻¹[B] donne X = (149 ; 25 ; 59). Un écran coûte 149 €, un clavier 25 €, un casque 59 €. Vérification sur la commande 1 : 5 × 149 + 10 × 25 + 3 × 59 = 745 + 250 + 177 = 1 172. On retrouve d'ailleurs les prix du chapitre 3 : le système a « défait » le produit quantités × prix.

Le même raisonnement en ordre 4

Le programme parle de systèmes de n équations à n inconnues : la méthode ne change pas avec la taille, seule la saisie s'allonge. Un hébergeur facture chaque mois ses machines virtuelles selon quatre ressources : un prix a par processeur virtuel (vCPU), b par Go de mémoire vive, c par tranche de 10 Go de disque et d par adresse IP publique. Quatre machines lui coûtent :

Le tableau se lit directement comme le système AX = B, avec A la matrice 4 × 4 des quatre colonnes de ressources, X = (a ; b ; c ; d) et B = (37 ; 70 ; 18 ; 192). La calculatrice donne X = A⁻¹B = (9 ; 3 ; 1 ; 2) : 9 € par vCPU, 3 € par Go de RAM, 1 € par tranche de 10 Go de disque et 2 € par adresse IP publique. Vérification sur la VM 3 : 9 + 2 × 3 + 3 × 1 + 0 = 18.

Quand A n'est pas inversible

Si la calculatrice refuse d'inverser A (erreur de matrice singulière), le système n'est pas un système de Cramer : il a soit aucune solution, soit une infinité. C'est le cas quand une équation est une combinaison des autres, par exemple si deux commandes sont exactement proportionnelles : elles n'apportent qu'une seule information. Ce cas est hors programme ; dans un sujet, la matrice est inversible, et si ta machine dit le contraire, c'est presque toujours une erreur de saisie.

Exercices

A⁻¹ = [  1/2  -1/2   1/2 ]
      [  1/2   1/2  -1/2 ]
      [ -1/2   1/2   1/2 ]

{  a +  b +  c +  d =  5
{  a + 2b       +  d =  1
{ 2a +  b +  c       =  6
{  a       + 2c + 3d = 11