Produit de deux matrices : la règle ligne par colonne

Le produit A × B de deux matrices existe quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B ; son coefficient de la ligne i et de la colonne j s'obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B, terme à terme, puis en additionnant. Ce chapitre explique d'où vient cette règle, comment la poser sans erreur, comment interpréter le résultat et quels réflexes du calcul ordinaire ne marchent plus.

D'où vient la règle : des quantités et des prix

Reprenons la commande Q de Sorbier Logistique (lignes : Comptabilité, Commercial ; colonnes : écrans, claviers, casques) et la matrice colonne P des prix unitaires (écran 149 €, clavier 25 €, casque 59 €) :

Q = [ 2  3  1 ]        P = [ 149 ]
    [ 4  2  5 ]            [  25 ]
                           [  59 ]

Combien coûte la commande de la Comptabilité ? 2 écrans, 3 claviers, 1 casque : 2 × 149 + 3 × 25 + 1 × 59 = 298 + 75 + 59 = 432 €. On a multiplié la ligne de la Comptabilité par la colonne des prix, terme à terme, et additionné. Pour le Commercial : 4 × 149 + 2 × 25 + 5 × 59 = 596 + 50 + 295 = 941 €. Ces deux résultats forment le produit Q × P :

Q × P = [ 2×149 + 3×25 + 1×59 ]  =  [ 432 ]
        [ 4×149 + 2×25 + 5×59 ]     [ 941 ]

Le produit matriciel est défini exactement pour que ce calcul, le plus naturel qui soit (quantités × prix unitaires = coût), s'écrive en une opération. Ajoutons un deuxième fournisseur, dont les prix sont 139 € l'écran, 29 € le clavier et 49 € le casque. La matrice des prix a maintenant une colonne par fournisseur :

P₂ = [ 149  139 ]
     [  25   29 ]
     [  59   49 ]

Chaque coefficient de Q × P₂ est une ligne de Q (un service) multipliée par une colonne de P₂ (un fournisseur) :

Q × P₂ = [ 432  414 ]      ligne 1 : Comptabilité
         [ 941  859 ]      ligne 2 : Commercial
       fournisseur 1, fournisseur 2

Le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 vaut 2 × 139 + 3 × 29 + 1 × 49 = 278 + 87 + 49 = 414 : c'est le coût de la commande de la Comptabilité chez le fournisseur 2. Les lignes du résultat sont celles de Q (les services), ses colonnes celles de P₂ (les fournisseurs). Le fournisseur 2 est moins cher pour les deux services.

La condition sur les dimensions

On multiplie une ligne de A par une colonne de B terme à terme : il faut donc qu'une ligne de A ait autant de termes qu'une colonne de B, c'est-à-dire que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.

Une façon de retenir la condition : écris les dimensions côte à côte, (m × p)(p × n). Les deux nombres du milieu doivent être égaux, ceux des extrémités donnent le résultat. Pour Q (2 × 3) et P₂ (3 × 2) : (2 × 3)(3 × 2), le produit existe et il est 2 × 2.

Poser le calcul sans erreur

Exemple 1 : deux matrices d'ordre 2.

A = [ 1  3 ]        B = [ 2  0 ]
    [ 2  4 ]            [ 1  5 ]

A et B sont 2 × 2, le produit AB existe et il est 2 × 2. On calcule ses quatre coefficients, chacun avec sa ligne et sa colonne :

c₁₁ = ligne 1 de A × colonne 1 de B = 1×2 + 3×1 = 2 + 3  =  5
c₁₂ = ligne 1 de A × colonne 2 de B = 1×0 + 3×5 = 0 + 15 = 15
c₂₁ = ligne 2 de A × colonne 1 de B = 2×2 + 4×1 = 4 + 4  =  8
c₂₂ = ligne 2 de A × colonne 2 de B = 2×0 + 4×5 = 0 + 20 = 20

AB = [ 5  15 ]
     [ 8  20 ]

Exemple 2 : une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 2.

A = [  1  0  2 ]        B = [ 3   1 ]
    [ -1  3  1 ]            [ 0   2 ]
                            [ 4  -1 ]

(2 × 3)(3 × 2) : le produit existe et il est 2 × 2.

c₁₁ = 1×3 + 0×0 + 2×4          = 3 + 0 + 8   = 11
c₁₂ = 1×1 + 0×2 + 2×(-1)       = 1 + 0 - 2   = -1
c₂₁ = (-1)×3 + 3×0 + 1×4       = -3 + 0 + 4  =  1
c₂₂ = (-1)×1 + 3×2 + 1×(-1)    = -1 + 6 - 1  =  4

AB = [ 11  -1 ]
     [  1   4 ]

Le produit BA existe aussi : (3 × 2)(2 × 3), il est 3 × 3. Ce n'est pas du tout la même matrice :

BA = [  2   3   7 ]
     [ -2   6   2 ]
     [  5  -3   7 ]

Vérifie par exemple le coefficient (3, 1) : ligne 3 de B (4, −1) × colonne 1 de A (1, −1) = 4 × 1 + (−1) × (−1) = 4 + 1 = 5.

Une matrice fois une colonne

Le produit d'une matrice m × n par une matrice colonne n × 1 donne une matrice colonne m × 1. C'est le cas de Q × P plus haut, et c'est ainsi qu'on écrit un système d'équations. Par exemple :

[ 2  1 ]   [ x ]   [ 2x + y  ]
[ 5  3 ] × [ y ] = [ 5x + 3y ]

Le système { 2x + y = 5 ; 5x + 3y = 13 } s'écrit donc en une seule égalité matricielle, A × X = B, avec X la colonne des inconnues (chapitre 6).

C'est aussi ce que fait la carte graphique quand elle fait tourner une forme : la rotation d'un quart de tour autour de l'origine est la matrice [ 0 -1 ; 1 0 ], et le point (3 ; 2) devient le point (0 × 3 + (−1) × 2 ; 1 × 3 + 0 × 2) = (−2 ; 3).

Les propriétés, et les pièges

Trois réflexes du calcul ordinaire deviennent faux avec les matrices.

1. On ne change pas l'ordre. Comme AB ≠ BA, on n'écrit jamais AB à la place de BA. Quand on multiplie les deux membres d'une égalité par une matrice, on le fait du même côté des deux membres.

2. Un produit nul n'implique pas un facteur nul. Avec des nombres, ab = 0 entraîne a = 0 ou b = 0. Avec des matrices, non :

   textCopier le code de la section Les propriétés, et les pièges

   [ 1  1 ]   [  1  -1 ]   [ 0  0 ]
   [ 1  1 ] × [ -1   1 ] = [ 0  0 ]
   

   Aucune des deux matrices n'est nulle, et leur produit est la matrice nulle. Par conséquent, AB = AC n'entraîne pas B = C : on ne « simplifie » pas par A.

3. Les identités remarquables changent. (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B², et ce n'est égal à A² + 2AB + B² que si AB = BA. Avec les matrices de l'exemple 1, (A + B)² = [ 18 36 ; 36 90 ], alors que A² + 2AB + B² = [ 21 45 ; 33 87 ].

Exercices

A = [ 1   2  0 ]     B = [ 2   1 ]     C = [ 1  -1 ]
    [ 3  -1  4 ]         [ 0   3 ]         [ 2   0 ]
                         [ 5  -2 ]