Exercices corrigés de calcul matriciel type E3

Exercice 1 sur 6 Sujet 1 (produit, interprétation, paramètre) Réussi À revoir

Un prestataire de maintenance facture ses interventions à l'heure, selon le type de matériel (poste de travail, serveur, équipement réseau) et le moment (heures ouvrées, astreinte). Ses tarifs, en euros par heure, sont donnés par la matrice T, dont la ligne 1 correspond aux heures ouvrées et la ligne 2 à l'astreinte ; les colonnes correspondent, dans l'ordre, aux postes, aux serveurs et aux équipements réseau.

T = [ 40   75  60 ]
    [ 60  110  90 ]

En mars, une entreprise a consommé 6 heures sur des postes, 2 heures sur des serveurs et 3 heures sur des équipements réseau. On note N la matrice colonne (6 ; 2 ; 3).

1. Calcule T × N et interprète chaque coefficient.
2. Le prestataire envisage de modifier son tarif horaire en heures ouvrées pour les serveurs, noté t. On note T' la matrice obtenue. Exprime le premier coefficient de T' × N en fonction de t.
3. Quelle valeur de t ferait passer la facture de mars en heures ouvrées à 600 € ?
4. En avril, l'entreprise a consommé 4 heures sur des postes, 5 sur des serveurs et 1 sur des équipements réseau. On note M la matrice dont la première colonne est N et la seconde la consommation d'avril. Calcule T × M (avec la matrice T de départ) et interprète la case de la ligne 2, colonne 2.

Exercice 2 sur 6 Sujet 2 (mise en équation, système 3 × 3) Réussi À revoir

Un intégrateur vend trois licences annuelles par poste : une suite bureautique, un antivirus et un logiciel de sauvegarde. Trois clients ont reçu leur facture, sans le détail des prix :

• le client 1 a pris 10 licences bureautiques, 10 antivirus et 2 sauvegardes, pour 1 460 € ;
• le client 2 a pris 4 licences bureautiques, 6 antivirus et 1 sauvegarde, pour 666 € ;
• le client 3 a pris 2 licences bureautiques et 3 sauvegardes, pour 378 €.

On note x, y et z les prix respectifs, en euros, d'une licence bureautique, d'une licence d'antivirus et d'une licence de sauvegarde.

1. Traduis l'énoncé par un système, puis par une égalité matricielle AX = B.
2. On donne C = [ 9 -15 -1 ; -5 13 -1 ; -6 10 10 ]. Calcule A × C. En déduire que A est inversible et exprimer A⁻¹ en fonction de C.
3. En déduire le prix de chaque licence.

Exercice 3 sur 6 Sujet 3 (puissance, inverse, système) Réussi À revoir

On considère la matrice A = [ 2 1 1 ; 1 2 1 ; 1 1 2 ] et la matrice identité I = I₃.

1. Calcule A².
2. Vérifie que A² = 5A − 4I.
3. En déduire que A est inversible et que A⁻¹ = ¼(5I − A). Écris A⁻¹.
4. Résous le système { 2x + y + z = 10 ; x + 2y + z = 12 ; x + y + 2z = 14 }.

Exercice 4 sur 6 Sujet 4 (matrices booléennes, séparation des tâches) Réussi À revoir

Dans une entreprise, l'accès aux applications passe par des rôles. La matrice R indique les rôles de quatre utilisateurs u1, u2, u3, u4 (colonnes : rôle Comptabilité, rôle Paie, rôle Support). La matrice P indique les applications ouvertes par chaque rôle (lignes : les trois rôles ; colonnes : applications Compta, Paie, Banque, Assistance).

R = [ 1  1  0 ]  u1          P = [ 1  0  1  0 ]  Comptabilité
    [ 0  1  0 ]  u2              [ 0  1  1  0 ]  Paie
    [ 0  0  1 ]  u3              [ 0  0  0  1 ]  Support
    [ 1  0  1 ]  u4

1. Donne les dimensions de R ⊗ P, puis calcule ce produit booléen.
2. À quelles applications l'utilisateur u4 a-t-il accès ?
3. Calcule le coefficient de la ligne u1 et de la colonne Banque dans le produit ordinaire R × P. Interprète-le.
4. Une règle de séparation des tâches interdit qu'une même personne puisse à la fois saisir la paie (application Paie) et émettre des virements (application Banque). Quels utilisateurs ne respectent pas cette règle ?
5. On retire l'application Banque au rôle Paie. Calcule la nouvelle ligne de u1 et de u2 dans le produit booléen. La règle est-elle respectée ?

Exercice 5 sur 6 Sujet 5 (matrices modulo 26) Réussi À revoir

On numérote les lettres de A = 0 à Z = 25. Pour chiffrer un mot, on le découpe en paires ; chaque paire de rangs X = (x₁ ; x₂) est remplacée par la paire de rangs Y ≡ K × X [26], avec K = [ 5 8 ; 3 5 ].

1. Chiffre le mot LOGS.
2. On pose K' = [ 5 18 ; 23 5 ]. Calcule K' × K, puis montre que K' × K ≡ I₂ [26].
3. Explique pourquoi K' permet de déchiffrer, puis déchiffre FLDQ.

Exercice 6 sur 6 Sujet 6 (algorithme, situation d'algorithmique) Réussi À revoir

On reprend les mots binaires sans deux 1 consécutifs (chapitre 4) : Xₙ = (xₙ ; yₙ), avec X₁ = (1 ; 1) et Xₙ₊₁ = A × Xₙ, où A = [ 1 1 ; 1 0 ]. Le nombre de mots valables de longueur n est xₙ + yₙ.

On veut le plus petit entier n tel qu'il existe plus de 1 000 mots valables de longueur n. On propose l'algorithme incomplet :

x ← 1
y ← 1
n ← 1
Tant que ........ faire
    x, y ← ........ , ........
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

1. Complète l'algorithme. Pour la deuxième ligne de la boucle, utilise la relation Xₙ₊₁ = A × Xₙ.
2. Traduis-le en Python et donne la valeur affichée.
3. Pourquoi faut-il une affectation simultanée de x et y ?