Approximer une loi binomiale par une loi de Poisson ou une loi normale

Quand n est grand, une loi binomiale B(n ; p) peut être remplacée par une loi plus simple. Si p est petit, on l'approche par la loi de Poisson de même espérance, λ = np. Si p n'est pas trop proche de 0 ou de 1, on l'approche par la loi normale de même espérance et de même écart type, μ = np et σ = √(np(1 − p)), avec une correction de continuité. Ce chapitre montre comment choisir l'approximation, déterminer ses paramètres, et mesurer l'erreur commise en comparant au calcul exact.

Pourquoi approcher une loi binomiale

Avant les calculatrices, P(X ≤ 60) pour B(150 ; 0,3) demandait d'additionner 61 termes énormes : on remplaçait la loi binomiale par une loi tabulée. Aujourd'hui, la calculatrice fait le calcul exact en une seconde. L'approximation reste utile pour trois raisons :

• raisonner sans connaître n : pour compter des pannes dans un grand parc, il suffit de connaître le nombre moyen λ, pas le nombre exact de machines ni la probabilité de chacune ;
• estimer de tête : avec μ et σ et les intervalles de la loi normale, on sait tout de suite où tombent 95 % des valeurs ;
• c'est au programme : il demande de déterminer les paramètres de la loi qui approche une loi binomiale donnée.

Approcher par une loi de Poisson : n grand, p petit

Quand n est grand et p petit, la loi binomiale B(n ; p) est proche de la loi de Poisson de même espérance :

B(n ; p)  ≈  P(λ)     avec  λ = n × p

On parle de loi des événements rares : beaucoup d'occasions, chacune avec une faible probabilité. Des conditions souvent citées sont n ≥ 30 et p ≤ 0,1, avec np modéré ; plus n est grand et p petit, meilleure est l'approximation.

Exemple. Un routeur transmet 2 000 paquets ; chacun est perdu avec une probabilité de 0,001, indépendamment. Le nombre X de paquets perdus suit B(2 000 ; 0,001), qu'on approche par la loi de Poisson de paramètre λ = 2 000 × 0,001 = 2.

Les deux lois coïncident à 10⁻⁴ près. La probabilité de perdre au moins 5 paquets vaut 0,0526 avec la loi binomiale, 0,0527 avec la loi de Poisson.

Le programme cite la fiabilité, la gestion de stocks et la gestion de réseaux comme terrains de cette approximation. Les fausses alertes de la sonde de supervision du chapitre 5 en sont un exemple : avec un seuil à 4 paquets perdus, chaque minute déclenche une fausse alerte avec la probabilité p ≈ 0,00103. Sur les 1 440 minutes d'une journée, le nombre de fausses alertes suit B(1 440 ; 0,00103), proche de la loi de Poisson de paramètre λ = 1 440 × 0,00103 ≈ 1,48. La probabilité d'une journée sans fausse alerte vaut e^(−1,48) ≈ 0,227.

Approcher par une loi normale : n grand, p moyen

Quand n est grand et que p n'est pas trop proche de 0 ou de 1, le diagramme en bâtons de B(n ; p) prend la forme d'une cloche. On l'approche par la loi normale de même espérance et même écart type :

B(n ; p)  ≈  N(μ ; σ)     avec  μ = n × p   et   σ = √(n × p × (1 − p))

Des conditions souvent citées demandent n ≥ 30 avec np et n(1 − p) au moins égaux à 5, voire 10 selon les ouvrages : il faut assez de valeurs probables de chaque côté de la moyenne pour que la cloche soit symétrique.

Exemple. Le service VPN d'un éditeur de logiciels accepte 60 connexions simultanées. Aux heures de pointe, chacun de ses 150 salariés nomades est connecté avec une probabilité de 0,3, indépendamment des autres. Le nombre X de connexions simultanées suit B(150 ; 0,3), qu'on approche par la loi normale de paramètres :

• μ = 150 × 0,3 = 45 ;
• σ = √(150 × 0,3 × 0,7) = √31,5 ≈ 5,6125.

La correction de continuité

La loi binomiale est discrète, la loi normale continue. Pour une loi normale Y, P(Y = 50) = 0, alors que P(X = 50) ≈ 0,047 n'est pas nul. On résout le problème en remplaçant chaque bâton k par l'aire sous la courbe entre k − 0,5 et k + 0,5 : c'est la correction de continuité. Le programme demande d'en comprendre la raison d'être ; les sujets donnent toujours l'intervalle à utiliser.

Le VPN sature-t-il souvent ? Il sature quand plus de 60 nomades sont connectés, c'est-à-dire X ≥ 61.

• Approximation corrigée : P(X ≥ 61) ≈ P(Y ≥ 60,5) = normalFRép(60.5,1E99,45,5.6125) ≈ 0,0029.
• Calcul exact : 1 − binomFRép(150,0.3,60) ≈ 0,0035.
• Sans correction, P(Y ≥ 61) ≈ 0,0022 : l'erreur (environ 0,0013) est deux fois plus grande qu'avec la correction (environ 0,0006).

Près du centre, l'approximation est excellente : P(40 ≤ X ≤ 50) vaut 0,6730 exactement, et P(39,5 ≤ Y ≤ 50,5) ≈ 0,6729. Elle est moins bonne loin de la moyenne, dans les « queues » de la loi, en proportion de la petite probabilité calculée.

Dimensionner le VPN. Combien de connexions simultanées faut-il accepter pour que le service sature moins de 1 % du temps ? On cherche le plus petit entier c tel que P(X ≤ c) ≥ 0,99. Avec la loi normale, FracNormale(0.99,45,5.6125) ≈ 58,06, et la correction de continuité impose c + 0,5 ≥ 58,06, donc c = 58. Le calcul exact confirme : P(X ≤ 57) ≈ 0,9857 < 0,99 et P(X ≤ 58) ≈ 0,9908. La capacité actuelle de 60 a donc une marge.

Quelle approximation choisir ?

Dans le doute, et quand la calculatrice le permet, fais le calcul exact : c'est toujours la bonne réponse. L'approximation sert quand l'énoncé la demande, ou quand tu ne connais que l'ordre de grandeur des paramètres.

Exercices