Probabilité d'un événement : vocabulaire et premiers calculs

La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure ses chances de se produire : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain. Quand toutes les issues ont la même chance, elle se calcule en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Ce chapitre pose le vocabulaire (expérience aléatoire, univers, événement), puis les trois calculs de base : l'événement contraire, l'intersection et la réunion.

Expérience aléatoire, issues et univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prédire lequel va sortir. Chaque résultat possible s'appelle une issue, et l'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté Ω (oméga).

Les deux dernières lignes annoncent la suite du cours : un nombre de requêtes se modélise par une loi de Poisson, une durée de vie par une loi exponentielle. Ce chapitre se limite aux univers finis.

Les événements

Un événement est une partie de l'univers : un ensemble d'issues. On le décrit par une phrase ou en extension, entre accolades. Pour le caractère tiré au hasard :

• C = « le caractère est un chiffre » = {0, 1, 2, …, 9}, qui contient 10 issues ;
• {7} est un événement élémentaire : il ne contient qu'une issue ;
• Ω est l'événement certain : il se réalise toujours ;
• ∅ (l'ensemble vide) est l'événement impossible : « le caractère est un emoji » ne se réalise jamais.

Un événement se réalise quand l'issue obtenue lui appartient. Si le générateur sort « 7 », l'événement C est réalisé ; s'il sort « k », C n'est pas réalisé.

Le vocabulaire des événements est celui des ensembles, vu dans le cours ensembles :

Loi de probabilité sur un univers fini

Une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre positif, sa probabilité, de sorte que la somme de toutes ces probabilités vaut 1. La probabilité d'un événement est alors la somme des probabilités des issues qui le composent.

Exemple. Le centre de support d'un prestataire d'infogérance a classé ses tickets de l'année. Il en déduit la loi suivante pour la catégorie du prochain ticket :

La somme vaut bien 0,35 + 0,40 + 0,15 + 0,10 = 1. La probabilité que le prochain ticket concerne le matériel ou le réseau est P({Matériel, Réseau}) = 0,35 + 0,15 = 0,5.

Ces probabilités viennent de fréquences observées : 35 % des tickets de l'année concernaient le matériel. C'est la démarche la plus courante en informatique : on mesure ce qui s'est passé, et on s'en sert comme modèle pour la suite.

Équiprobabilité : cas favorables sur cas possibles

Quand toutes les issues ont la même probabilité, on parle d'équiprobabilité. Les énoncés le signalent par « au hasard », « de façon équiprobable », « un dé équilibré ». Chaque issue a alors la probabilité 1 / (nombre d'issues), et :

           nombre d'issues favorables à A     card(A)
P(A)  =  ———————————————————————————————  =  ———————
            nombre d'issues possibles         card(Ω)

card(A), le cardinal de A, est son nombre d'éléments.

Exemple. Le générateur tire un caractère au hasard parmi les 62 lettres et chiffres. La probabilité d'obtenir un chiffre est :

P(C) = 10 / 62 = 5 / 31 ≈ 0,1613.

La probabilité d'obtenir une lettre majuscule est 26 / 62 = 13 / 31 ≈ 0,4194.

L'événement contraire et le réflexe « au moins un »

Une issue est soit dans A, soit dans Ā. Les probabilités de A et de Ā se complètent donc à 1 :

P(Ā) = 1 − P(A)

Exemple. La probabilité de ne pas tirer un chiffre est 1 − 5/31 = 26/31 ≈ 0,8387.

L'événement contraire sert surtout quand l'énoncé dit « au moins un ». Le contraire de « au moins un ticket urgent dans l'heure » est « aucun ticket urgent dans l'heure », souvent bien plus simple à calculer :

P(au moins un) = 1 − P(aucun)

Tu retrouveras ce réflexe à chaque chapitre, en particulier avec la loi binomiale.

Intersection, réunion et tableau à double entrée

Pour deux événements quelconques A et B :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

On retire P(A ∩ B) parce que les issues communes à A et à B ont été comptées deux fois, une fois dans P(A) et une fois dans P(B). Si A et B sont incompatibles, A ∩ B = ∅ et la formule devient P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Les énoncés donnent souvent les effectifs dans un tableau à double entrée. C'est la forme la plus sûre : chaque case est une intersection, chaque total une probabilité simple.

Exemple. Une entreprise de 240 postes prépare le renouvellement de son parc. On choisit un poste au hasard dans l'inventaire. On note P l'événement « c'est un portable » et V l'événement « il a plus de quatre ans ».

Le tirage se fait au hasard : il y a équiprobabilité, et chaque probabilité est un effectif divisé par 240.

• P(P) = 90 / 240 = 0,375
• P(V) = 60 / 240 = 0,25
• P(P ∩ V) = 15 / 240 = 0,0625 : c'est la case au croisement de la ligne P et de la colonne V.
• P(P ∪ V) = 0,375 + 0,25 − 0,0625 = 0,5625

Vérification par les effectifs : les postes qui sont portables ou vieux sont les 90 portables et les 45 fixes de plus de quatre ans, soit 135 postes, et 135 / 240 = 0,5625.

Fréquence observée et probabilité

Si tu répètes une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement (nombre de fois où il se réalise, divisé par le nombre de répétitions) se rapproche de sa probabilité. C'est la loi des grands nombres, admise au lycée. Elle justifie les deux usages des probabilités en informatique : estimer une probabilité à partir des journaux (fréquence observée sur un an de tickets), et vérifier un calcul par simulation.

Ce programme Python tire 100 000 caractères au hasard et compte les chiffres. La fréquence obtenue est proche de 5/31 ≈ 0,1613 :

import random
import string

caracteres = string.ascii_letters + string.digits   # les 62 lettres et chiffres
n = 100_000
chiffres = 0
for _ in range(n):
    if random.choice(caracteres) in string.digits:
        chiffres += 1
print(chiffres / n)   # environ 0.161, un peu différent à chaque exécution

Le chapitre 11 montre comment simuler chaque loi du programme et comment juger la précision d'une simulation.

Exercices