Loi de Poisson : compter des événements sur une durée

La loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ), est la loi du nombre d'événements qui se produisent au hasard pendant un intervalle de temps donné, quand ils arrivent indépendamment les uns des autres et à un rythme moyen constant. λ est le nombre moyen d'événements dans l'intervalle : c'est à la fois l'espérance et la variance de la loi. En informatique, elle modélise le nombre de requêtes reçues par un serveur en une minute, de tickets ouverts en une heure, de pannes dans un parc en un an. Ce chapitre montre quand l'utiliser, comment calculer avec elle et comment s'en servir pour dimensionner un service.

Quand utiliser une loi de Poisson

La loi de Poisson s'applique quand on compte des événements qui arrivent :

• au hasard, sans qu'on puisse prévoir le moment du prochain ;
• indépendamment les uns des autres : l'arrivée d'une requête ne provoque pas la suivante ;
• à un rythme moyen constant sur la période étudiée ;
• un par un : deux événements ne tombent pas exactement au même instant.

La variable X compte alors le nombre d'événements dans un intervalle de longueur fixée (une minute, une heure, un an, ou 10 000 lignes de journal). Contrairement à la loi binomiale, il n'y a pas de nombre n d'essais : X peut prendre toutes les valeurs entières 0, 1, 2, 3…, sans maximum.

La quatrième ligne s'appuie sur une mesure réelle : Backblaze, qui publie chaque année les statistiques de panne de ses centaines de milliers de disques durs, a mesuré en 2025 un taux de panne annualisé de 1,36 %.

Le paramètre λ et la durée de l'intervalle

λ (« lambda ») est le nombre moyen d'événements dans l'intervalle. Il est proportionnel à la longueur de l'intervalle : si un serveur reçoit en moyenne 3 requêtes par minute, il en reçoit en moyenne 30 en 10 minutes, 1 en 20 secondes, 180 en une heure.

La formule de la loi de Poisson

Si X suit la loi de Poisson de paramètre λ, alors pour tout entier k ≥ 0 :

                 λᵏ
P(X = k) = e⁻λ × ——
                 k!

où k! (« factorielle k ») vaut 1 × 2 × … × k, avec 0! = 1. La somme de toutes ces probabilités vaut 1.

Exemple : les requêtes nocturnes d'un serveur web

Entre 2 h et 4 h du matin, le site de suivi des livraisons d'une entreprise de transport reçoit en moyenne 3 requêtes par minute, à des instants indépendants et imprévisibles. Le nombre X de requêtes reçues en une minute suit la loi de Poisson de paramètre λ = 3.

• Aucune requête dans la minute : P(X = 0) = e⁻³ ≈ 0,0498. Environ une minute sur vingt est silencieuse.
• Exactement 3 requêtes : P(X = 3) = e⁻³ × 3³ / 3! = e⁻³ × 27 / 6 ≈ 0,2240.
• Au plus 5 requêtes : P(X ≤ 5) ≈ 0,9161.
• Au moins 8 requêtes : P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) ≈ 1 − 0,9881 = 0,0119.

Le diagramme montre deux traits de la loi de Poisson : les valeurs les plus probables sont autour de λ (ici 2 et 3, qui ont exactement la même probabilité), et la loi est d'autant plus étalée et symétrique que λ est grand. Pour λ = 10, elle ressemble déjà à une courbe en cloche : c'est ce qui permettra de l'approcher par une loi normale.

Calculer à la calculatrice

Sur NumWorks, choisis la loi Poisson dans l'application Probabilités, entre λ, puis le type de calcul. Les traductions de « au moins », « plus de », « entre » sont les mêmes que pour la loi binomiale (tableau du chapitre 5) : la calculatrice donne P(X ≤ k), et P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

Espérance, variance et écart type

Si X suit la loi de Poisson de paramètre λ :

E(X) = λ        V(X) = λ        σ(X) = √λ

L'espérance et la variance sont égales : c'est la signature de la loi de Poisson. Pour le serveur web, E(X) = 3 requêtes par minute et σ(X) = √3 ≈ 1,73.

Interprétation : sur un grand nombre de minutes, le serveur reçoit en moyenne 3 requêtes par minute, avec des écarts typiques d'un peu moins de 2 requêtes autour de cette moyenne.

Cette propriété aide à vérifier un modèle sur des données réelles. Si, sur 500 minutes observées, le nombre de requêtes par minute a une moyenne de 3,02 et une variance de 2,95, la loi de Poisson est plausible. Si la variance vaut 9, les requêtes arrivent par rafales (un robot d'indexation, une page qui en charge vingt autres) : elles ne sont pas indépendantes, et la loi de Poisson sous-estimera les pics.

Dimensionner une capacité

Le serveur traite au plus k requêtes par minute ; au-delà, les requêtes attendent et le site ralentit. Quelle capacité choisir pour que, 99 % des minutes, le serveur absorbe toutes les requêtes ? On cherche le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,99.

Avec k = 7, on n'atteint pas tout à fait 0,99 ; avec k = 8, on le dépasse. Une capacité de 8 requêtes par minute suffit 99,6 % des minutes, soit plus de deux fois la moyenne. C'est la leçon du dimensionnement : on ne dimensionne pas sur la moyenne, mais sur une probabilité de débordement acceptable.

Pour trouver k à la calculatrice, calcule P(X ≤ k) pour plusieurs valeurs de k autour de la moyenne, ou affiche une table de valeurs : sur TI, saisis Y1=poissonFRép(3,X) dans l'éditeur de fonctions, puis ouvre la table.

Changer d'intervalle

La même hypothèse (3 requêtes par minute en moyenne) répond à des questions sur d'autres durées, à condition d'adapter λ :

• en 10 minutes, X suit la loi de Poisson de paramètre 30 : la probabilité de recevoir au moins 40 requêtes est 1 − P(X ≤ 39) ≈ 0,0463 ;
• en 20 secondes, X suit la loi de Poisson de paramètre 1 : la probabilité de ne recevoir aucune requête est e⁻¹ ≈ 0,3679.

La deuxième ligne annonce le chapitre 8 : « aucune requête pendant 20 secondes », c'est « la prochaine requête arrive dans plus de 20 secondes ». Le programme introduit justement la loi de Poisson à partir du temps d'attente entre deux événements, qui suit une loi exponentielle.

Exercices