Probabilité conditionnelle

4.1 Definition

Soit B un evenement de probabilite non nulle (P(B) > 0). La probabilite conditionnelle de A sachant B est :

P(A | B) = P(A inter B) / P(B)

Interpretation : c'est la probabilite que A se realise, sachant que B est deja realise.

4.2 Formule de la probabilite de l'intersection

En reorganisant la definition, on obtient la formule du produit :

P(A inter B) = P(B) x P(A | B)

De meme :

P(A inter B) = P(A) x P(B | A)

Ces deux ecritures sont equivalentes.

4.3 Exemple detaille 1 : urne

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire une deuxieme boule.

• A = "la deuxieme boule est rouge"
• B = "la premiere boule est rouge"

Calculons P(A | B) :

Si la premiere boule tiree est rouge (evenement B), il reste dans l'urne : 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules.

P(A | B) = 2/4 = 1/2

Calculons P(A | B barre) :

Si la premiere boule tiree est bleue (evenement B barre), il reste dans l'urne : 3 rouges et 1 bleue, soit 4 boules.

P(A | B barre) = 3/4

4.4 Exemple detaille 2 : tableau croise

Dans une entreprise de 200 salaries :

                    Informatique (I)    Autre service (I barre)    Total
Femme (F)                30                     70                  100
Homme (F barre)          50                     50                  100
Total                    80                    120                  200

Calculons P(I | F) = "probabilite d'etre en informatique sachant que c'est une femme".

P(I | F) = P(I inter F) / P(F) = (30/200) / (100/200) = 30/100 = 3/10

Calculons P(F | I) = "probabilite d'etre une femme sachant qu'on est en informatique".

P(F | I) = P(F inter I) / P(I) = (30/200) / (80/200) = 30/80 = 3/8

Remarque importante : P(I | F) et P(F | I) sont differentes en general. L'ordre compte.

4.5 Proprietes de la probabilite conditionnelle

Pour B fixe avec P(B) > 0 :

• 0 <= P(A | B) <= 1
• P(B | B) = 1
• P(Omega | B) = 1
• P(A barre | B) = 1 - P(A | B)