Formule des probabilités totales

7.1 Enonce

Soit B1, B2, ..., Bn des evenements formant une partition de Omega (ils sont deux a deux incompatibles et leur reunion est Omega, avec P(Bi) > 0 pour tout i).

Alors pour tout evenement A :

P(A) = P(B1) x P(A | B1) + P(B2) x P(A | B2) + ... + P(Bn) x P(A | Bn)

Cas le plus frequent (partition en deux) : B et B barre.

P(A) = P(B) x P(A | B) + P(B barre) x P(A | B barre)

7.2 Demonstration par l'arbre

L'evenement A correspond a toutes les feuilles ou A apparait. Chaque feuille est un chemin dont la probabilite est le produit des branches. La probabilite totale de A est la somme de ces chemins. C'est exactement la formule ci-dessus.

7.3 Exemple (suite du test de composants)

Calculons P(T+) = probabilite qu'un composant soit declare positif par le test.

P(T+) = P(D) x P(T+ | D) + P(D barre) x P(T+ | D barre) P(T+) = 0.05 x 0.90 + 0.95 x 0.03 P(T+) = 0.045 + 0.0285 P(T+) = 0.0735

Donc 7.35% des composants sont declares positifs par le test.

7.4 Deuxieme exemple : fournisseurs

Une entreprise achete des disques durs a trois fournisseurs :

• Fournisseur F1 : 50% des achats, taux de panne 2%
• Fournisseur F2 : 30% des achats, taux de panne 5%
• Fournisseur F3 : 20% des achats, taux de panne 8%

P(Panne) = P(F1) x P(Panne | F1) + P(F2) x P(Panne | F2) + P(F3) x P(Panne | F3) P(Panne) = 0.50 x 0.02 + 0.30 x 0.05 + 0.20 x 0.08 P(Panne) = 0.010 + 0.015 + 0.016 P(Panne) = 0.041

Le taux de panne global est de 4.1%.