Variables aléatoires discrètes

9.1 Definition

Une variable aleatoire discrete X est une fonction qui associe a chaque resultat de l'univers Omega un nombre reel. L'ensemble des valeurs possibles est fini (ou denombrable).

Exemple : on lance un de. X = "le numero obtenu". Les valeurs possibles sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

9.2 Loi de probabilite

La loi de probabilite de X est le tableau qui donne chaque valeur possible xi et sa probabilite P(X = xi).

Exemple : on lance deux pieces. X = "nombre de Pile obtenus".

    xi    |    0    |    1    |    2
  --------+---------+---------+--------
  P(X=xi) |   1/4   |   2/4   |   1/4
          |  = 1/4  |  = 1/2  |  = 1/4

Verification : 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1/4 + 2/4 + 1/4 = 4/4 = 1. Correct.

9.3 Esperance E(X)

L'esperance est la valeur moyenne theorique de X sur un grand nombre de repetitions.

E(X) = somme de [ xi x P(X = xi) ] pour toutes les valeurs xi

Exemple avec les deux pieces :

E(X) = 0 x 1/4 + 1 x 1/2 + 2 x 1/4 E(X) = 0 + 1/2 + 2/4 E(X) = 0 + 1/2 + 1/2 E(X) = 1

En moyenne, on obtient 1 Pile sur deux lancers. C'est intuitif.

9.4 Variance V(X)

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'esperance.

V(X) = somme de [ (xi - E(X))^2 x P(X = xi) ]

Formule de Koenig-Huygens (plus pratique pour les calculs) :

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

ou E(X^2) = somme de [ xi^2 x P(X = xi) ].

Exemple (suite des deux pieces) :

E(X^2) = 0^2 x 1/4 + 1^2 x 1/2 + 2^2 x 1/4 E(X^2) = 0 + 1/2 + 4/4 E(X^2) = 1/2 + 1 E(X^2) = 3/2

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 V(X) = 3/2 - 1^2 V(X) = 3/2 - 1 V(X) = 1/2

9.5 Ecart-type sigma(X)

sigma(X) = racine carree de V(X)

Exemple : sigma(X) = racine(1/2) = racine(2)/2 = 0.7071 environ.