Exercices corrigés

Exercice 1 : Probabilites de base avec un de

On lance un de equilibre a 6 faces. Soient :

• A = "obtenir un nombre impair"
• B = "obtenir un nombre strictement superieur a 3"

1. Calculer P(A) et P(B). 2. Calculer P(A inter B). 3. En deduire P(A union B). 4. A et B sont-ils independants ?

Correction :

1. A = {1, 3, 5}, donc P(A) = 3/6 = 1/2. B = {4, 5, 6}, donc P(B) = 3/6 = 1/2.

2. A inter B = {5}, donc P(A inter B) = 1/6.

3. P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B) = 1/2 + 1/2 - 1/6 = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

4. P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 = 1/4. P(A inter B) = 1/6. 1/4 est different de 1/6, donc A et B ne sont PAS independants.

Exercice 2 : Probabilite conditionnelle avec tableau

Dans un lycee de 400 eleves :

                BTS SIO (S)    BTS Compta (C)    Total
Fille (F)           60              100            160
Garcon (G)         140              100            240
Total              200              200            400

1. Calculer P(S), P(F), P(S inter F). 2. Calculer P(S | F) et P(F | S). 3. S et F sont-ils independants ?

Correction :

1. P(S) = 200/400 = 1/2 P(F) = 160/400 = 2/5 P(S inter F) = 60/400 = 3/20

2. P(S | F) = P(S inter F) / P(F) = (3/20) / (2/5) = (3/20) x (5/2) = 15/40 = 3/8

   P(F | S) = P(S inter F) / P(S) = (3/20) / (1/2) = (3/20) x (2/1) = 6/20 = 3/10

3. P(S) x P(F) = 1/2 x 2/5 = 2/10 = 1/5 P(S inter F) = 3/20 1/5 = 4/20. Or 3/20 est different de 4/20. Donc S et F ne sont PAS independants.

Exercice 3 : Arbre pondre -- tirage sans remise

Une urne contient 4 boules rouges (R) et 6 boules vertes (V). On tire deux boules successivement sans remise.

1. Construire l'arbre pondre. 2. Calculer la probabilite d'obtenir deux boules rouges. 3. Calculer la probabilite d'obtenir exactement une boule rouge.

Correction :

1. Arbre :

                          +----- R    (4/10) x (3/9) = 12/90
                   3/9   /
            R ----+
     4/10  /       6/9   \
          /                +----- V    (4/10) x (6/9) = 24/90
  Racine +
          \                +----- R    (6/10) x (4/9) = 24/90
     6/10  \       4/9   /
            V ----+
                   5/9   \
                          +----- V    (6/10) x (5/9) = 30/90

Verification : 12/90 + 24/90 + 24/90 + 30/90 = 90/90 = 1. Correct.

2. P(R puis R) = 4/10 x 3/9 = 12/90

   Simplifions : PGCD(12, 90) = 6. 12/90 = 2/15

3. P(exactement une rouge) = P(R puis V) + P(V puis R) = 24/90 + 24/90 = 48/90

   Simplifions : PGCD(48, 90). 48 = 2^4 x 3. 90 = 2 x 3^2 x 5. PGCD = 6. 48/90 = 8/15

Exercice 4 : Probabilites totales et Bayes -- pieces de monnaie

On a deux pieces de monnaie :

• Piece 1 (equilibree) : P(Pile | P1) = 1/2
• Piece 2 (truquee) : P(Pile | P2) = 3/4

On choisit une piece au hasard (equiprobablement) et on la lance.

1. Construire l'arbre. 2. Calculer P(Pile). 3. On a obtenu Pile. Quelle est la probabilite que ce soit la piece truquee ?

Correction :

1. Arbre :

                            +----- Pile    (1/2) x (1/2) = 1/4
                     1/2   /
            P1 -----+
     1/2   /         1/2   \
          /                  +----- Face    (1/2) x (1/2) = 1/4
  Racine +
          \                  +----- Pile    (1/2) x (3/4) = 3/8
     1/2   \         3/4   /
            P2 -----+
                     1/4   \
                            +----- Face    (1/2) x (1/4) = 1/8

Verification : 1/4 + 1/4 + 3/8 + 1/8 = 2/8 + 2/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1. Correct.

2. P(Pile) = P(P1) x P(Pile | P1) + P(P2) x P(Pile | P2) = 1/2 x 1/2 + 1/2 x 3/4 = 1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

3. P(P2 | Pile) = P(P2) x P(Pile | P2) / P(Pile) = (3/8) / (5/8) = (3/8) x (8/5) = 3/5

   La probabilite que ce soit la piece truquee sachant qu'on a obtenu Pile est 3/5 = 0.6.

Exercice 5 : Test de depistage (Bayes classique)

Une maladie touche 2% de la population. Un test a les caracteristiques suivantes :

• Sensibilite : P(T+ | M) = 0.98
• Specificite : P(T- | M barre) = 0.95, donc P(T+ | M barre) = 0.05

1. Construire l'arbre. 2. Calculer P(T+). 3. Calculer P(M | T+). 4. Calculer P(M barre | T-).

Correction :

1. Arbre :

                           +----- T+    0.02 x 0.98 = 0.0196
                    0.98  /
            M -----+
     0.02  /        0.02  \
          /                 +----- T-    0.02 x 0.02 = 0.0004
  Racine +
          \                 +----- T+    0.98 x 0.05 = 0.0490
     0.98  \        0.05  /
            Mb ----+
                    0.95  \
                           +----- T-    0.98 x 0.95 = 0.9310

Verification : 0.0196 + 0.0004 + 0.0490 + 0.9310 = 1.0000. Correct.

2. P(T+) = 0.0196 + 0.0490 = 0.0686

3. P(M | T+) = P(M inter T+) / P(T+) = 0.0196 / 0.0686

   Calculons : 0.0196/0.0686 = 196/686. PGCD(196, 686) : 196 = 4 x 49 = 2^2 x 7^2. 686 = 2 x 343 = 2 x 7^3. PGCD = 2 x 7^2 = 98. 196/686 = 2/7

   P(M | T+) = 2/7 = 0.2857 environ 28.6%.

4. P(M barre | T-) = P(M barre inter T-) / P(T-) P(T-) = 1 - P(T+) = 1 - 0.0686 = 0.9314 P(M barre | T-) = 0.9310 / 0.9314 = 0.99957...

   Pratiquement 100% : un resultat negatif est tres fiable.

Exercice 6 : Loi binomiale -- controle qualite

Un lot de cles USB contient 10% de cles defectueuses. On preleve 8 cles au hasard (avec remise, ou lot suffisamment grand). X = nombre de cles defectueuses. X ~ B(8, 0.1).

1. Calculer P(X = 0). 2. Calculer P(X = 1). 3. Calculer P(X >= 2).

Correction :

1. P(X = 0) = C(8,0) x 0.1^0 x 0.9^8 = 1 x 1 x 0.9^8

   0.9^2 = 0.81 0.9^4 = 0.81^2 = 0.6561 0.9^8 = 0.6561^2 = 0.43046721

   P(X = 0) = 0.4305 environ 43.05%.

2. P(X = 1) = C(8,1) x 0.1^1 x 0.9^7 = 8 x 0.1 x 0.9^7

   0.9^7 = 0.9^8 / 0.9 = 0.43046721 / 0.9 = 0.4782969

   P(X = 1) = 8 x 0.1 x 0.4782969 = 0.8 x 0.4782969 = 0.38263752

   P(X = 1) = 0.3826 environ 38.26%.

3. P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.43046721 - 0.38263752 = 1 - 0.81310473 = 0.18689527

   P(X >= 2) = 0.1869 environ 18.69%.

Exercice 7 : Bayes -- diagnostic de panne serveur

Un serveur tombe en panne. Les causes possibles sont :

• Disque dur (D) : P(D) = 0.40
• RAM (R) : P(R) = 0.35
• Alimentation (A) : P(A) = 0.25

Le temps de redemarrage depasse 5 minutes (evenement L pour "long") avec les probabilites :

• P(L | D) = 0.80
• P(L | R) = 0.50
• P(L | A) = 0.30

Le redemarrage a pris plus de 5 minutes. Quelle est la cause la plus probable ?

Correction :

Etape 1 : Calculer P(L). P(L) = P(D) x P(L|D) + P(R) x P(L|R) + P(A) x P(L|A) = 0.40 x 0.80 + 0.35 x 0.50 + 0.25 x 0.30 = 0.320 + 0.175 + 0.075 = 0.570

Etape 2 : Appliquer Bayes pour chaque cause.

P(D | L) = P(D) x P(L|D) / P(L) = 0.320 / 0.570

Simplifions : 320/570. PGCD(320, 570) = 10. 320/570 = 32/57. 32/57 = 0.5614 environ 56.1%.

P(R | L) = P(R) x P(L|R) / P(L) = 0.175 / 0.570 = 175/570. PGCD(175, 570) = 5. = 35/114. 35/114 = 0.3070 environ 30.7%.

P(A | L) = P(A) x P(L|A) / P(L) = 0.075 / 0.570 = 75/570. PGCD(75, 570) = 15. = 5/38. 5/38 = 0.1316 environ 13.2%.

Verification : 32/57 + 35/114 + 5/38 = 64/114 + 35/114 + 15/114 = 114/114 = 1. Correct.

La cause la plus probable est le disque dur (56.1%).

Exercice 8 : Variable aleatoire -- jeu de des

On lance deux des equilibres. X = somme des deux des.

1. Determiner la loi de probabilite de X. 2. Calculer E(X). 3. Calculer V(X).

Correction :

1. L'univers contient 6 x 6 = 36 resultats equiprobables.

Denombrons les facons d'obtenir chaque somme :

  X = k  |  2 |  3 |  4 |  5 |  6 |  7 |  8 |  9 | 10 | 11 | 12
  -------+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----
  Nb cas |  1 |  2 |  3 |  4 |  5 |  6 |  5 |  4 |  3 |  2 |  1
  P(X=k) | 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 5  | 4  | 3  | 2  | 1
         | /36| /36| /36| /36| /36| /36| /36| /36| /36| /36| /36

Verification : 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36. Correct.

2. E(X) = (2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x5 + 9x4 + 10x3 + 11x2 + 12x1) / 36

Numerateur : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12 = 252

E(X) = 252/36 = 7

3. E(X^2) = (4x1 + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x5 + 81x4 + 100x3 + 121x2 + 144x1) / 36

Numerateur : 4 + 18 + 48 + 100 + 180 + 294 + 320 + 324 + 300 + 242 + 144 = 1974

E(X^2) = 1974/36 = 329/6

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 329/6 - 49 = 329/6 - 294/6 = 35/6

V(X) = 35/6 (environ 5.833) sigma(X) = racine(35/6) environ 2.415

Exercice 9 : Loi binomiale -- QCM

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question propose 4 reponses dont une seule est correcte. Un eleve repond au hasard a toutes les questions. X = nombre de bonnes reponses. X ~ B(10, 1/4).

1. Calculer E(X). 2. Calculer P(X = 0). 3. Calculer P(X >= 5).

Correction :

1. E(X) = np = 10 x 1/4 = 10/4 = 5/2 = 2.5

   En moyenne, l'eleve obtient 2.5 bonnes reponses sur 10.

2. P(X = 0) = C(10,0) x (1/4)^0 x (3/4)^10 = 1 x 1 x (3/4)^10

   (3/4)^2 = 9/16 (3/4)^4 = (9/16)^2 = 81/256 (3/4)^8 = (81/256)^2 = 6561/65536 (3/4)^10 = (3/4)^8 x (3/4)^2 = (6561/65536) x (9/16) = 59049/1048576

   P(X = 0) = 59049/1048576 = 0.05631 environ 5.6%.

3. P(X >= 5) = somme de P(X = k) pour k = 5, 6, ..., 10.

   Il est plus rapide de calculer chaque terme :

   P(X = 5) = C(10,5) x (1/4)^5 x (3/4)^5 C(10,5) = 252 (1/4)^5 = 1/1024 (3/4)^5 = 243/1024 P(X=5) = 252 x 243 / 1048576 = 61236/1048576

   P(X = 6) = C(10,6) x (1/4)^6 x (3/4)^4 C(10,6) = 210 (1/4)^6 = 1/4096 (3/4)^4 = 81/256 P(X=6) = 210 x 81 / 1048576 = 17010/1048576

   P(X = 7) = C(10,7) x (1/4)^7 x (3/4)^3 C(10,7) = 120 (1/4)^7 = 1/16384 (3/4)^3 = 27/64 P(X=7) = 120 x 27 / 1048576 = 3240/1048576

   P(X = 8) = C(10,8) x (1/4)^8 x (3/4)^2 C(10,8) = 45 (1/4)^8 = 1/65536 (3/4)^2 = 9/16 P(X=8) = 45 x 9 / 1048576 = 405/1048576

   P(X = 9) = C(10,9) x (1/4)^9 x (3/4)^1 C(10,9) = 10 (1/4)^9 = 1/262144 (3/4)^1 = 3/4 P(X=9) = 10 x 3 / 1048576 = 30/1048576

   P(X = 10) = C(10,10) x (1/4)^10 x (3/4)^0 = 1/1048576

   P(X >= 5) = (61236 + 17010 + 3240 + 405 + 30 + 1) / 1048576 = 81922 / 1048576 = 40961 / 524288 = 0.07813 environ 7.8%.

   Un eleve repondant au hasard a moins de 8% de chances d'avoir au moins la moitie des reponses correctes.

Exercice 10 : Filtre anti-spam a deux criteres

Un filtre anti-spam analyse deux criteres independants :

• Presence du mot "promo" (evenement W)
• Expediteur inconnu (evenement U)

Donnees :

• P(Spam) = 0.30
• P(W | Spam) = 0.70, P(W | Non-spam) = 0.05
• P(U | Spam) = 0.60, P(U | Non-spam) = 0.15

Un email contient "promo" et vient d'un expediteur inconnu.

1. Calculer P(W inter U | Spam) et P(W inter U | Non-spam) (par independance des criteres sachant la classe). 2. Calculer P(Spam | W inter U).

Correction :

1. Par l'hypothese d'independance conditionnelle (Bayes naif) :

   P(W inter U | Spam) = P(W | Spam) x P(U | Spam) = 0.70 x 0.60 = 0.42

   P(W inter U | Non-spam) = P(W | Non-spam) x P(U | Non-spam) = 0.05 x 0.15 = 0.0075

2. P(W inter U) = P(Spam) x P(W inter U | Spam) + P(Non-spam) x P(W inter U | Non-spam) = 0.30 x 0.42 + 0.70 x 0.0075 = 0.126 + 0.00525 = 0.13125

   P(Spam | W inter U) = P(Spam) x P(W inter U | Spam) / P(W inter U) = 0.126 / 0.13125

   Simplifions : 126/131.25. Multiplions par 8 : 1008/1050. PGCD(1008, 1050) = 42. 1008/1050 = 24/25.

   P(Spam | W inter U) = 24/25 = 0.96

   Probabilite de 96% que ce soit du spam.

Exercice 11 : Systeme informatique avec redondance

Un serveur web utilise 2 disques en miroir (RAID 1). Chaque disque a une probabilite de panne de 0.05 sur un an. Les pannes sont independantes.

1. Calculer la probabilite que les deux disques tombent en panne (perte de donnees). 2. Calculer la probabilite qu'au moins un disque fonctionne. 3. On ajoute un troisieme disque. Recalculer.

Correction :

Soit D1 = "disque 1 en panne" et D2 = "disque 2 en panne". P(D1) = P(D2) = 0.05. Independance.

1. P(D1 inter D2) = P(D1) x P(D2) = 0.05 x 0.05 = 0.0025

   Probabilite de perte de donnees : 0.25%.

2. P(au moins un fonctionne) = 1 - P(tous en panne) = 1 - 0.0025 = 0.9975

   Fiabilite : 99.75%.

3. Avec 3 disques independants, perte de donnees = les 3 en panne. P = 0.05^3 = 0.000125

   P(au moins un fonctionne) = 1 - 0.000125 = 0.999875

   Fiabilite : 99.9875%.

Exercice 12 : Evenement contraire et probabilites totales

Dans un reseau, un paquet traverse 3 routeurs en serie. Chaque routeur, independamment, a une probabilite de 0.02 de perdre le paquet.

1. Calculer la probabilite que le paquet arrive a destination (les 3 routeurs le transmettent). 2. Calculer la probabilite qu'il soit perdu. 3. Sur 100 paquets envoyes (independants), X = nombre de paquets arrives. Quelle est la loi de X ? Calculer E(X).

Correction :

1. P(passe un routeur) = 1 - 0.02 = 0.98. P(passe les 3) = 0.98^3 = 0.98 x 0.98 x 0.98

   0.98 x 0.98 = 0.9604 0.9604 x 0.98 = 0.941192

   P(arrive) = 0.941192 environ 94.12%.

2. P(perdu) = 1 - 0.941192 = 0.058808 environ 5.88%.

3. Chaque paquet arrive avec probabilite p = 0.941192, independamment. X ~ B(100, 0.941192).

   E(X) = 100 x 0.941192 = 94.12 paquets en moyenne arrivent.

Exercice 13 : Arbre a trois niveaux

Un site web propose un formulaire d'inscription. Les visiteurs viennent de :

• Moteur de recherche (M) : 60%
• Reseaux sociaux (R) : 30%
• Acces direct (D) : 10%

Taux d'inscription selon la source :

• P(I | M) = 0.05
• P(I | R) = 0.08
• P(I | D) = 0.15

Parmi les inscrits, le taux de premier achat :

• P(A | I inter M) = 0.20
• P(A | I inter R) = 0.15
• P(A | I inter D) = 0.30

1. Calculer P(I). 2. Calculer P(M | I) (un inscrit vient-il probablement de Google ?). 3. Calculer P(I inter A) (inscription ET achat).

Correction :

1. P(I) = P(M) x P(I|M) + P(R) x P(I|R) + P(D) x P(I|D) = 0.60 x 0.05 + 0.30 x 0.08 + 0.10 x 0.15 = 0.030 + 0.024 + 0.015 = 0.069

2. P(M | I) = P(M) x P(I|M) / P(I) = 0.030 / 0.069 = 30/69 PGCD(30, 69) = 3. = 10/23 = 0.4348 environ 43.5%.

3. P(I inter A) = somme sur les sources de P(source) x P(I|source) x P(A|I inter source)

   = 0.60 x 0.05 x 0.20 + 0.30 x 0.08 x 0.15 + 0.10 x 0.15 x 0.30 = 0.006 + 0.0036 + 0.0045 = 0.0141

   1.41% des visiteurs s'inscrivent ET effectuent un achat.

Exercice 14 : Loi binomiale -- mot de passe

Un mot de passe est compose de 6 caracteres. Chaque caractere est choisi independamment parmi 36 possibilites (26 lettres + 10 chiffres). X = nombre de chiffres dans le mot de passe. X ~ B(6, 10/36) = B(6, 5/18).

1. Calculer E(X). 2. Calculer P(X = 0) (mot de passe sans chiffre). 3. Calculer P(X >= 1) (au moins un chiffre).

Correction :

1. E(X) = np = 6 x 5/18 = 30/18 = 5/3 environ 1.67.

   En moyenne, un mot de passe contient 5/3 chiffres.

2. P(X = 0) = C(6,0) x (5/18)^0 x (13/18)^6 = (13/18)^6

   Calculons pas a pas : (13/18)^2 = 169/324 (13/18)^3 = (169 x 13) / (324 x 18) = 2197/5832 (13/18)^6 = (2197/5832)^2 = 4826809 / 34012224

   4826809 / 34012224 = 0.14191 environ 14.2%.

3. P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.14191 = 0.85809 environ 85.8%.

   Environ 86% des mots de passe aleatoires contiennent au moins un chiffre.

Exercice 15 : Exercice complet de synthese -- controle de production

Une usine fabrique des cartes electroniques. La production se fait en deux etapes :

Etape 1 : soudure. 8% des cartes ont un defaut de soudure (S). Etape 2 : test. Le test detecte 95% des cartes defectueuses et accepte 97% des cartes bonnes.

1. Construire l'arbre complet. 2. Calculer la probabilite qu'une carte soit acceptee par le test. 3. Sachant qu'une carte est rejetee, calculer la probabilite qu'elle ait un vrai defaut. 4. On teste un lot de 20 cartes toutes bonnes. Y = nombre de cartes rejetees a tort. Donner la loi de Y, E(Y) et P(Y >= 2).

Correction :

1. Arbre :

                            +----- T+ (rejet)    0.08 x 0.95 = 0.0760
                     0.95  /
            S ------+
     0.08  /         0.05  \
          /                  +----- T- (accepte)  0.08 x 0.05 = 0.0040
  Racine +
          \                  +----- T+ (rejet)    0.92 x 0.03 = 0.0276
     0.92  \         0.03  /
            Sb -----+
                     0.97  \
                            +----- T- (accepte)  0.92 x 0.97 = 0.8924

Verification : 0.0760 + 0.0040 + 0.0276 + 0.8924 = 1.0000. Correct.

2. P(acceptee) = P(T-) = P(S inter T-) + P(Sb inter T-) = 0.0040 + 0.8924 = 0.8964

   Environ 89.64% des cartes sont acceptees.

3. P(rejetee) = P(T+) = 1 - 0.8964 = 0.1036

   P(S | T+) = P(S inter T+) / P(T+) = 0.0760 / 0.1036

   Simplifions : 760/1036. PGCD(760, 1036). 760 = 8 x 95 = 2^3 x 5 x 19. 1036 = 4 x 259 = 2^2 x 7 x 37. PGCD = 4. 760/1036 = 190/259.

   190/259 = 0.7336 environ 73.4%.

   Si une carte est rejetee, il y a environ 73% de chances qu'elle ait un vrai defaut (et 27% de faux positifs).

4. Les 20 cartes sont bonnes, donc chacune a une probabilite d'etre rejetee a tort de P(T+ | Sb) = 0.03.

   Y ~ B(20, 0.03).

   E(Y) = 20 x 0.03 = 0.60. En moyenne, 0.6 carte est rejetee a tort.

   P(Y >= 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)

   P(Y = 0) = C(20,0) x 0.03^0 x 0.97^20 = 0.97^20

   Calculons 0.97^20 : 0.97^2 = 0.9409 0.97^4 = 0.9409^2 = 0.88529281 0.97^8 = 0.88529281^2 = 0.78374 0.97^16 = 0.78374^2 = 0.61425 0.97^20 = 0.97^16 x 0.97^4 = 0.61425 x 0.88529 = 0.54379

   P(Y = 0) = 0.5438 environ.

   P(Y = 1) = C(20,1) x 0.03^1 x 0.97^19 = 20 x 0.03 x (0.97^20 / 0.97) = 20 x 0.03 x (0.54379 / 0.97) = 20 x 0.03 x 0.56061 = 0.6 x 0.56061 = 0.33637

   P(Y >= 2) = 1 - 0.5438 - 0.3364 = 1 - 0.8802 = 0.1198

   Environ 12% de chances que 2 cartes ou plus soient rejetees a tort dans le lot.

Exercice 16 : Exercice type examen -- entreprise informatique

Une entreprise de services informatiques intervient chez ses clients. L'intervention concerne :

• Un probleme materiel (M) dans 45% des cas
• Un probleme logiciel (L) dans 55% des cas

La probabilite de resoudre le probleme en une seule visite est :

• P(R | M) = 0.70
• P(R | L) = 0.90

1. Construire l'arbre pondre et calculer toutes les probabilites des feuilles. 2. Calculer P(R). 3. L'intervention a necessite une deuxieme visite. Calculer la probabilite que le probleme soit materiel. 4. Sur une semaine, le technicien effectue 12 interventions independantes. Z = nombre d'interventions resolues en une visite. Determiner la loi de Z, E(Z) et sigma(Z).

Correction :

1. Arbre :

                           +----- R     0.45 x 0.70 = 0.315
                    0.70  /
            M -----+
     0.45  /        0.30  \
          /                 +----- Rb    0.45 x 0.30 = 0.135
  Racine +
          \                 +----- R     0.55 x 0.90 = 0.495
     0.55  \        0.90  /
            L -----+
                    0.10  \
                           +----- Rb    0.55 x 0.10 = 0.055

Verification : 0.315 + 0.135 + 0.495 + 0.055 = 1.000. Correct.

2. P(R) = 0.315 + 0.495 = 0.810

   81% des interventions sont resolues en une visite.

3. "Necessite une deuxieme visite" = R barre. P(Rb) = 1 - 0.810 = 0.190.

   P(M | Rb) = P(M inter Rb) / P(Rb) = 0.135 / 0.190 = 135/190

   PGCD(135, 190) = 5. = 27/38 = 0.7105 environ 71.1%.

   Si une deuxieme visite est necessaire, il y a 71% de chances que ce soit un probleme materiel.

4. Chaque intervention est resolue en une visite avec probabilite p = 0.810. Z ~ B(12, 0.810).

   E(Z) = 12 x 0.810 = 9.72

   V(Z) = 12 x 0.810 x 0.190 = 12 x 0.1539 = 1.8468

   sigma(Z) = racine(1.8468) = 1.359 environ.

   En moyenne, environ 10 interventions sur 12 sont resolues en une seule visite.

Exercice 17 : Complement -- P("au moins un") avec le complementaire

Une application mobile plante avec une probabilite de 0.02 a chaque lancement. On la lance 50 fois (independamment).

Calculer la probabilite qu'elle plante au moins une fois.

X = nombre de plantages. X ~ B(50, 0.02).

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)

P(X = 0) = C(50,0) x 0.02^0 x 0.98^50 = 0.98^50

Calculons 0.98^50 : ln(0.98^50) = 50 x ln(0.98) = 50 x (-0.02020) = -1.0101 0.98^50 = e^(-1.0101) = 0.3642

P(X >= 1) = 1 - 0.3642 = 0.6358

Il y a environ 63.6% de chances que l'application plante au moins une fois en 50 lancements.

Fiche de formules récapitulative

+-----------------------------------------------------------+
| PROBABILITES - FORMULES ESSENTIELLES                      |
+-----------------------------------------------------------+
|                                                           |
| P(A barre) = 1 - P(A)                                    |
|                                                           |
| P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B)                |
|                                                           |
| P(A | B) = P(A inter B) / P(B)                            |
|                                                           |
| P(A inter B) = P(B) x P(A | B)                           |
|                                                           |
| Independance : P(A inter B) = P(A) x P(B)                |
|                                                           |
| Probabilites totales :                                    |
| P(A) = P(B)P(A|B) + P(Bb)P(A|Bb)                         |
|                                                           |
| Bayes :                                                   |
| P(B|A) = P(B)P(A|B) / P(A)                               |
|                                                           |
| E(X) = somme xi.P(X=xi)                                  |
| V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2                                 |
| sigma(X) = racine(V(X))                                   |
|                                                           |
| Bernoulli B(p) : E=p, V=p(1-p)                           |
|                                                           |
| Binomiale B(n,p) :                                        |
| P(X=k) = C(n,k) . p^k . (1-p)^(n-k)                     |
| E(X) = np                                                 |
| V(X) = np(1-p)                                            |
|                                                           |
| C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]                                 |
+-----------------------------------------------------------+

Méthode de résolution type examen

Pour tout exercice de probabilites au BTS SIO, suivre cette demarche :

Etape 1 : Identifier les evenements. Nommer chaque evenement avec une lettre. Ecrire les probabilites donnees dans l'enonce.

Etape 2 : Construire l'arbre pondre. Placer les evenements de la premiere etape en premier, puis les evenements conditionnels. Verifier que les branches partant d'un meme noeud somment a 1.

Etape 3 : Calculer les probabilites des feuilles. Multiplier le long de chaque chemin (regle du produit). Verifier que la somme de toutes les feuilles vaut 1.

Etape 4 : Repondre aux questions.

• "Calculer P(A)" -> Probabilites totales (somme des feuilles correspondantes).
• "Sachant que B, calculer P(A|B)" -> Formule de Bayes ou definition.
• "Loi binomiale" -> Identifier n et p, appliquer la formule, simplifier.

Etape 5 : Verifier. La somme des probabilites d'une partition vaut toujours 1. Toute probabilite est entre 0 et 1. Simplifier les fractions jusqu'au bout.