Loi binomiale — Probabilités | Réussir mon BTS SIO

11.1 Schema de Bernoulli

On repete n fois de maniere independante une epreuve de Bernoulli de parametre p. C'est un schema de Bernoulli.

La variable X = "nombre de succes parmi les n epreuves" suit une loi binomiale de parametres n et p. On note X ~ B(n, p).

11.2 Coefficient binomial

Le coefficient binomial C(n, k) (aussi note "n parmi k" ou C_n^k) est le nombre de facons de choisir k elements parmi n.

C(n, k) = n! / [ k! x (n - k)! ]

ou n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1 (factorielle).

Exemples de calcul detaille :

C(5, 2) = 5! / (2! x 3!) = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [(2 x 1) x (3 x 2 x 1)] = 120 / (2 x 6) = 120 / 12 = 10

C(6, 3) = 6! / (3! x 3!) = 720 / (6 x 6) = 720 / 36 = 20

Cas particuliers :

C(n, 0) = 1
C(n, 1) = n
C(n, n) = 1
C(n, k) = C(n, n-k)

11.3 Formule de la loi binomiale

Si X ~ B(n, p), alors pour k allant de 0 a n :

P(X = k) = C(n, k) x p^k x (1 - p)^(n - k)

Interpretation : C(n,k) est le nombre de facons de placer les k succes parmi les n epreuves, p^k est la probabilite d'avoir k succes, (1-p)^(n-k) est la probabilite d'avoir (n-k) echecs.

11.4 Calcul pas a pas complet

Exemple : X ~ B(4, 1/3). Calculons P(X = 2).

P(X = 2) = C(4, 2) x (1/3)^2 x (2/3)^2

Etape 1 : Calculer C(4, 2). C(4, 2) = 4! / (2! x 2!) = 24 / (2 x 2) = 24 / 4 = 6

Etape 2 : Calculer (1/3)^2. (1/3)^2 = 1/9

Etape 3 : Calculer (2/3)^2. (2/3)^2 = 4/9

Etape 4 : Multiplier le tout. P(X = 2) = 6 x (1/9) x (4/9) = 6 x 4 / (9 x 9) = 24 / 81

Etape 5 : Simplifier. 24/81 : PGCD(24, 81). 24 = 8 x 3. 81 = 27 x 3. PGCD = 3. 24/81 = 8/27

P(X = 2) = 8/27 (environ 0.2963)

11.5 Loi complete de X ~ B(4, 1/3)

Calculons chaque P(X = k) :

P(X = 0) = C(4,0) x (1/3)^0 x (2/3)^4 = 1 x 1 x 16/81 = 16/81

P(X = 1) = C(4,1) x (1/3)^1 x (2/3)^3 = 4 x (1/3) x (8/27) = 4 x 8 / (3 x 27) = 32/81

P(X = 2) = 8/27 = 24/81 (calcule ci-dessus)

P(X = 3) = C(4,3) x (1/3)^3 x (2/3)^1 = 4 x (1/27) x (2/3) = 4 x 2 / (27 x 3) = 8/81

P(X = 4) = C(4,4) x (1/3)^4 x (2/3)^0 = 1 x 1/81 x 1 = 1/81

Verification : 16/81 + 32/81 + 24/81 + 8/81 + 1/81 = 81/81 = 1. Correct.

    k     |    0    |    1    |    2    |    3    |    4
  --------+---------+---------+---------+---------+---------
  P(X=k)  |  16/81  |  32/81  |  24/81  |   8/81  |   1/81

11.6 Esperance et variance de la loi binomiale

Si X ~ B(n, p) :

E(X) = n x p
V(X) = n x p x (1 - p)
sigma(X) = racine(n x p x (1 - p))

Exemple : X ~ B(4, 1/3). E(X) = 4 x 1/3 = 4/3 (environ 1.33) V(X) = 4 x 1/3 x 2/3 = 8/9 (environ 0.89) sigma(X) = racine(8/9) = 2 x racine(2) / 3 (environ 0.94)

11.7 Probabilites cumulees

Pour calculer P(X <= k), P(X >= k), P(X < k) ou P(X > k), on additionne les probabilites individuelles correspondantes.

Exemple : X ~ B(4, 1/3). Calculer P(X >= 2).

P(X >= 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 24/81 + 8/81 + 1/81 = 33/81 = 11/27

Autre methode (par le complementaire) : P(X >= 2) = 1 - P(X <= 1) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 16/81 - 32/81 = 81/81 - 16/81 - 32/81 = 33/81 = 11/27