Indépendance de deux événements

5.1 Definition

Deux evenements A et B sont independants si et seulement si :

P(A inter B) = P(A) x P(B)

Cela signifie que la realisation de l'un n'influence pas la probabilite de l'autre.

Equivalence (quand P(B) > 0) : A et B independants <=> P(A | B) = P(A)

5.2 Verification : exemple

On lance un de equilibre. A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}. B = "obtenir un nombre <= 4" = {1, 2, 3, 4}.

P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 4/6 = 2/3 P(A inter B) = P({2, 4}) = 2/6 = 1/3

P(A) x P(B) = 1/2 x 2/3 = 2/6 = 1/3

P(A inter B) = P(A) x P(B), donc A et B sont independants.

5.3 Contre-exemple

On lance un de. A = "obtenir 6" = {6}. B = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}.

P(A) = 1/6 P(B) = 3/6 = 1/2 P(A inter B) = P({6}) = 1/6

P(A) x P(B) = 1/6 x 1/2 = 1/12

P(A inter B) = 1/6 et P(A) x P(B) = 1/12. Or 1/6 est different de 1/12.

Donc A et B ne sont PAS independants.

Verification par la conditionnelle : P(A | B) = P(A inter B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/6 x 2/1 = 2/6 = 1/3, et P(A) = 1/6. Comme 1/3 est different de 1/6, les evenements ne sont pas independants.

5.4 Attention : incompatible et independant, ce n'est pas pareil

• Incompatibles : A et B ne peuvent pas arriver en meme temps (P(A inter B) = 0).
• Independants : la realisation de l'un ne change pas la probabilite de l'autre (P(A inter B) = P(A)P(B)).

Si A et B sont incompatibles et de probabilites non nulles, alors P(A inter B) = 0 mais P(A)P(B) > 0, donc ils ne sont PAS independants.