Probabilité de la réunion

3.1 Formule generale

Pour deux evenements quelconques A et B :

P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B)

On soustrait P(A inter B) car les resultats qui sont a la fois dans A et dans B seraient comptes deux fois.

3.2 Cas particulier : evenements incompatibles

Si A inter B = ensemble vide, alors P(A inter B) = 0 et :

P(A union B) = P(A) + P(B)

3.3 Exemple detaille

On lance un de equilibre a 6 faces.

• A = "obtenir un multiple de 2" = {2, 4, 6}
• B = "obtenir un multiple de 3" = {3, 6}

Calculons P(A union B) = P("obtenir un multiple de 2 OU un multiple de 3").

Etape 1 : Identifier A inter B. A inter B = "obtenir un multiple de 2 ET un multiple de 3" = "obtenir un multiple de 6" = {6}

Etape 2 : Calculer chaque probabilite. P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3 P(A inter B) = 1/6

Etape 3 : Appliquer la formule. P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B) P(A union B) = 1/2 + 1/3 - 1/6

Etape 4 : Reduire au meme denominateur (6). P(A union B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 P(A union B) = (3 + 2 - 1) / 6 P(A union B) = 4/6 P(A union B) = 2/3

Verification : A union B = {2, 3, 4, 6}, card = 4, et 4/6 = 2/3. Correct.

3.4 Deuxieme exemple

Dans une classe de 30 eleves, 18 font du sport (S), 12 jouent de la musique (M) et 5 font les deux.

P(S) = 18/30 = 3/5 P(M) = 12/30 = 2/5 P(S inter M) = 5/30 = 1/6

P(S union M) = 3/5 + 2/5 - 1/6 = 18/30 + 12/30 - 5/30 = (18 + 12 - 5) / 30 = 25/30 = 5/6

Donc 25 eleves sur 30 font du sport ou de la musique (ou les deux).