Arbres pondérés

6.1 Principe de construction

Un arbre pondre est un outil graphique pour representer et calculer des probabilites dans une experience a plusieurs etapes. Chaque branche porte la probabilite (conditionnelle) de l'evenement correspondant.

Regles fondamentales :

1. Regle du produit : la probabilite d'un chemin (de la racine a une feuille) est le produit des probabilites le long des branches.
2. Regle de la somme : la somme des probabilites des branches partant d'un meme noeud vaut 1.

6.2 Exemple : test de composants

Une usine produit des composants. 5% sont defectueux (D). Un test de controle detecte 90% des composants defectueux (positif T+) mais donne aussi un faux positif dans 3% des cas (composant bon mais test positif).

Donnees :

• P(D) = 0.05, donc P(D barre) = 0.95
• P(T+ | D) = 0.90, donc P(T- | D) = 0.10
• P(T+ | D barre) = 0.03, donc P(T- | D barre) = 0.97

Arbre :

                          +----- T+    P(D) x P(T+|D) = 0.05 x 0.90 = 0.045
                   0.90  /
            D ----+
     0.05  /       0.10  \
          /                +----- T-    P(D) x P(T-|D) = 0.05 x 0.10 = 0.005
  Racine +
          \                +----- T+    P(Db) x P(T+|Db) = 0.95 x 0.03 = 0.0285
     0.95  \       0.03  /
            Db ---+
                   0.97  \
                          +----- T-    P(Db) x P(T-|Db) = 0.95 x 0.97 = 0.9215

(Db = D barre = non defectueux)

Verification : la somme des quatre feuilles doit valoir 1. 0.045 + 0.005 + 0.0285 + 0.9215 = 1.000. Correct.

6.3 Lecture de l'arbre

A partir de cet arbre, on peut lire directement :

• P(D inter T+) = 0.045
• P(D inter T-) = 0.005
• P(D barre inter T+) = 0.0285
• P(D barre inter T-) = 0.9215