Formule de Bayes

8.1 Enonce

Soit B un evenement de probabilite non nulle, et A un evenement tel que P(A) > 0. Alors :

P(B | A) = P(B) x P(A | B) / P(A)

Avec la formule des probabilites totales au denominateur :

P(B | A) = P(B) x P(A | B) / [ P(B) x P(A | B) + P(B barre) x P(A | B barre) ]

8.2 Demonstration

Par definition de la probabilite conditionnelle :

P(B | A) = P(A inter B) / P(A)

Or P(A inter B) = P(B) x P(A | B) (formule du produit).

Donc :

P(B | A) = P(B) x P(A | B) / P(A)

C'est la formule de Bayes.

8.3 Interpretation : "retourner l'arbre"

L'arbre donne naturellement P(A | B) (probabilite de la deuxieme etape sachant la premiere). La formule de Bayes permet de calculer P(B | A), c'est-a-dire de "remonter" l'arbre : connaitre la cause sachant l'effet observe.

8.4 Exemple 1 : test medical

Un test de depistage d'une maladie a les caracteristiques suivantes :

• La maladie touche 1% de la population : P(M) = 0.01
• Le test detecte 95% des malades : P(T+ | M) = 0.95 (sensibilite)
• Le test donne un faux positif dans 3% des cas : P(T+ | M barre) = 0.03 (1 - specificite)

Question : une personne est testee positive. Quelle est la probabilite qu'elle soit reellement malade ?

On cherche P(M | T+).

Arbre :

                          +----- T+    0.01 x 0.95 = 0.0095
                   0.95  /
            M ----+
     0.01  /       0.05  \
          /                +----- T-    0.01 x 0.05 = 0.0005
  Racine +
          \                +----- T+    0.99 x 0.03 = 0.0297
     0.99  \       0.03  /
            Mb ---+
                   0.97  \
                          +----- T-    0.99 x 0.97 = 0.9603

Etape 1 : Calculer P(T+) par la formule des probabilites totales. P(T+) = P(M) x P(T+ | M) + P(M barre) x P(T+ | M barre) P(T+) = 0.01 x 0.95 + 0.99 x 0.03 P(T+) = 0.0095 + 0.0297 P(T+) = 0.0392

Etape 2 : Appliquer Bayes. P(M | T+) = P(M) x P(T+ | M) / P(T+) P(M | T+) = 0.0095 / 0.0392 P(M | T+) = 95/392

Calculons cette fraction : 95/392 = 0.24234... soit environ 24.2%

Resultat remarquable : meme avec un test "fiable" (sensibilite 95%, specificite 97%), un resultat positif ne donne que 24.2% de chance d'etre reellement malade, car la maladie est rare.

8.5 Exemple 2 : filtre anti-spam (Bayes naif)

Un filtre anti-spam analyse les emails. Donnees :

• 40% des emails recus sont du spam : P(S) = 0.40
• Le mot "gratuit" apparait dans 80% des spams : P(G | S) = 0.80
• Le mot "gratuit" apparait dans 10% des emails normaux : P(G | S barre) = 0.10

Un email contient le mot "gratuit". Quelle est la probabilite que ce soit du spam ?

On cherche P(S | G).

P(G) = P(S) x P(G | S) + P(S barre) x P(G | S barre) P(G) = 0.40 x 0.80 + 0.60 x 0.10 P(G) = 0.32 + 0.06 P(G) = 0.38

P(S | G) = P(S) x P(G | S) / P(G) P(S | G) = 0.32 / 0.38 P(S | G) = 32/38 P(S | G) = 16/19

Calculons : 16/19 = 0.8421... soit environ 84.2%.

Si un email contient "gratuit", il y a environ 84% de chances que ce soit du spam.

8.6 Exemple 3 : panne informatique

Un serveur peut tomber en panne a cause du materiel (H) ou du logiciel (L) ou d'un probleme reseau (R). Historiquement :

• P(H) = 0.30, P(L) = 0.50, P(R) = 0.20
• En cas de panne materielle, le redemarrage echoue 70% du temps : P(E | H) = 0.70
• En cas de panne logicielle, le redemarrage echoue 20% du temps : P(E | L) = 0.20
• En cas de panne reseau, le redemarrage echoue 10% du temps : P(E | R) = 0.10

Le redemarrage echoue. Quelle est la probabilite que la cause soit materielle ?

P(E) = P(H) x P(E | H) + P(L) x P(E | L) + P(R) x P(E | R) P(E) = 0.30 x 0.70 + 0.50 x 0.20 + 0.20 x 0.10 P(E) = 0.21 + 0.10 + 0.02 P(E) = 0.33

P(H | E) = P(H) x P(E | H) / P(E) P(H | E) = 0.21 / 0.33 P(H | E) = 21/33 P(H | E) = 7/11

7/11 = 0.6363... soit environ 63.6%.