Chapitre 139 minIntermédiaire
Aide-mémoire de probabilités : formules, lois et calculatrice
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- retrouver une formule ou une commande de calculatrice en un coup d'œil ;
- choisir la bonne loi à partir de l'énoncé ;
- éviter les erreurs qui coûtent le plus de points.
Cet aide-mémoire rassemble sur une page les formules de probabilités du programme de l'épreuve EF2 du BTS SIO, le tableau des lois, la méthode pour choisir la bonne loi, les commandes des calculatrices TI, Casio et NumWorks, leurs équivalents au tableur et en Python, et les erreurs les plus fréquentes. Chaque ligne renvoie au chapitre qui l'explique.
Les formules de base
| Formule | Quand l'utiliser | Chapitre |
|---|---|---|
| P(Ā) = 1 − P(A) | Contraire, « au moins un » | 1 |
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | Probabilité de « A ou B » | 1 |
| P(A) = card(A) / card(Ω) | Seulement en cas d'équiprobabilité | 1 |
| P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) | Probabilité de B sachant A | 2 |
| P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) | Probabilité d'un chemin d'arbre | 2 |
| P(A ∩ B) = P(A) × P(B) | Définition de l'indépendance | 2 |
| P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B) | Probabilités totales : somme des chemins | 3 |
| P_B(A) = P(A) × P_A(B) / P(B) | Bayes : remonter l'arbre | 3 |
| E(X) = Σ xᵢ pᵢ | Espérance d'une loi discrète | 4 |
| V(X) = Σ xᵢ² pᵢ − E(X)² et σ(X) = √V(X) | Variance (König-Huygens), écart type | 4 |
| E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X) | Transformation affine | 4 |
| E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) et V(X ± Y) = V(X) + V(Y) | Somme ou différence, X et Y indépendantes | 4 |
Le tableau des lois
| Loi | Notation | Situation | Probabilités | E(X) | σ(X) |
|---|---|---|---|---|---|
| Binomiale | B(n ; p) | Nombre de succès en n épreuves identiques et indépendantes | P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ | np | √(np(1 − p)) |
| Poisson | P(λ) | Nombre d'événements au hasard sur une durée, à rythme constant | P(X = k) = e⁻λ λᵏ / k! | λ | √λ |
| Uniforme | U([a ; b]) | Valeur au hasard dans [a ; b], sans préférence | P(c ≤ X ≤ d) = (d − c) / (b − a) | (a + b) / 2 | (b − a) / √12 |
| Exponentielle | ℰ(λ) | Durée de vie sans vieillissement, attente entre deux événements | P(T ≤ t) = 1 − e^(−λt) | 1/λ | 1/λ |
| Normale | N(μ ; σ) | Grandeur issue de nombreux petits effets indépendants | Calculatrice ; 68 %, 95 %, 99,7 % à 1, 2, 3 σ | μ | σ |
Les formules de P(X = k) pour les lois binomiale et de Poisson ne sont pas exigibles : la calculatrice les remplace.
Approximations (chapitre 10) : B(n ; p) ≈ P(np) quand n est grand et p petit ; B(n ; p) ≈ N(np ; √(np(1 − p))) quand n est grand et p ni proche de 0 ni de 1, avec la correction de continuité (P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5)).
Lois normales (chapitre 9) : aX + b suit N(aμ + b ; |a|σ) ; X + Y et X − Y, indépendantes, suivent N(μ₁ ± μ₂ ; √(σ₁² + σ₂²)) ; Z = (X − μ) / σ suit N(0 ; 1).
Fiabilité (chapitre 8) : MTBF = 1/λ ; R(t) = e^(−λt) ; P(T ≤ MTBF) ≈ 0,632 ; en série, les λ s'additionnent ; en parallèle, P(panne) = produit des P(panne).
Quelle loi choisir ?
| L'énoncé parle de… | Questions à te poser | Loi |
|---|---|---|
| un nombre de succès parmi n essais | n fixé ? deux issues ? même p ? indépendance ? | Binomiale B(n ; p) |
| un nombre d'événements pendant une durée, sans maximum | arrivées au hasard, indépendantes, à rythme moyen constant ? | Poisson P(λ), λ adapté à la durée |
| une valeur « au hasard entre a et b » | toutes les valeurs également possibles ? | Uniforme U([a ; b]) |
| une durée de vie, un MTBF, un taux de panne, une attente | taux constant, pas d'usure ? | Exponentielle de paramètre λ |
| une moyenne et un écart type, une « courbe en cloche » | l'énoncé dit-il « loi normale » ? | Normale N(μ ; σ) |
| une cause et un effet, « sachant que » | probabilités conditionnelles données ? | Arbre, probabilités totales, Bayes |
Les commandes de calculatrice
| Calcul | TI-83 Premium CE Edition Python (2nde var) | Casio Graph 90+E (menu Statistique, F5 DIST) | Casio Graph Math+ (application Probabilités) |
|---|---|---|---|
| Binomiale, P(X = k) | binomFdp(n,p,k) | BINOMIAL, Bpd : k, n, p | Binomiale, P(X = x) |
| Binomiale, P(X ≤ k) | binomFRép(n,p,k) | BINOMIAL, Bcd : bornes 0 et k, n, p | Binomiale, P(X ≤ x) |
| Poisson, P(X = k) | poissonFdp(λ,k) | ▷, POISSON, Ppd : k, λ | Poisson, P(X = x) |
| Poisson, P(X ≤ k) | poissonFRép(λ,k) | ▷, POISSON, Pcd : bornes 0 et k, λ | Poisson, P(X ≤ x) |
| Normale, P(a ≤ X ≤ b) | normalFRép(a,b,μ,σ) | NORM, Ncd : a, b, σ, μ | Normale, P(Inf ≤ X ≤ Sup) |
| Normale, x tel que P(X ≤ x) = p | FracNormale(p,μ,σ) | NORM, InvN : Left, p, σ, μ | Normale, modifier p dans les résultats |
| Exponentielle | 1−e^(−λt) au clavier | 1−e^(−λt) au clavier | 1−e^(−λt) au clavier |
| Coefficient binomial | n Combinaison k (menu math, PROB) | n nCr k (OPTN, PROB) | — |
| Bornes infinies | -1E99 et 1E99 | -1E99 et 1E99 | Inf et Sup très grands |
Sur NumWorks, l'application Probabilités propose les cinq lois du cours, la loi exponentielle comprise : choisis la loi, ses paramètres, puis le type de calcul (P(X ≤ a), P(a ≤ X), P(a ≤ X ≤ b), et P(X = a) pour une loi discrète).
Les équivalents au tableur et en Python
| Calcul | Tableur (LibreOffice Calc, Excel) | Python (bibliothèque standard) |
|---|---|---|
| Binomiale, P(X = k) | =LOI.BINOMIALE(k;n;p;0) | comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) |
| Binomiale, P(X ≤ k) | =LOI.BINOMIALE(k;n;p;1) | somme des P(X = i) pour i de 0 à k |
| Poisson, P(X ≤ k) | =LOI.POISSON(k;λ;1) | somme de exp(-lam) * lam**i / factorial(i) |
| Exponentielle, P(T ≤ t) | =LOI.EXPONENTIELLE(t;λ;1) | 1 - exp(-lam * t) |
| Normale, P(X ≤ x) | =LOI.NORMALE(x;μ;σ;1) | NormalDist(mu, sigma).cdf(x) |
| Normale, seuil | =LOI.NORMALE.INVERSE(p;μ;σ) | NormalDist(mu, sigma).inv_cdf(p) |
| Nombre uniforme dans [0 ; 1[ | =ALEA() | random.random() |
Les fonctions Python comb, exp et factorial viennent du module math, et NormalDist du module statistics (chapitre 11).
Traduire l'énoncé, avec une loi discrète
| L'énoncé dit | Événement | Avec la calculatrice |
|---|---|---|
| au plus k | X ≤ k | P(X ≤ k) |
| moins de k | X ≤ k − 1 | P(X ≤ k − 1) |
| au moins k | X ≥ k | 1 − P(X ≤ k − 1) |
| plus de k | X ≥ k + 1 | 1 − P(X ≤ k) |
| entre a et b inclus | a ≤ X ≤ b | P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1) |
| au moins un | X ≥ 1 | 1 − P(X = 0) |
Avec une loi continue (uniforme, exponentielle, normale), P(X = a) = 0 : « moins de » et « au plus » donnent la même probabilité.
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Confondre P_A(B) et P_B(A) | Écris la phrase « sachant que… » : ce qu'on sait est en indice |
| Confondre P_A(B) et P(A ∩ B) | « 70 % des A sont B » donne P_A(B) = 0,7 |
| Confondre incompatibles et indépendants | Incompatibles : P(A ∩ B) = 0 ; indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
| Appliquer « cas favorables sur cas possibles » sans équiprobabilité | Vérifie que chaque issue a la même chance |
| P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) | P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) avec une loi discrète |
| Garder λ « par minute » pour une question « par heure » | λ est proportionnel à la durée : multiplie |
| Mélanger heures et années dans λt | Même unité de temps pour λ et t ; 1 an = 8 760 h |
| Croire qu'un équipement « dure » son MTBF | 63 % tombent en panne avant leur MTBF |
| Saisir σ et μ dans le mauvais ordre sur Casio | Casio : σ avant μ ; TI : μ avant σ |
| Prendre la variance pour l'écart type, N(μ ; σ²) au lieu de N(μ ; σ) | Lis « d'écart type » dans l'énoncé |
| Additionner les écarts types d'une somme | Ce sont les variances qui s'additionnent |
| Oublier la correction de continuité quand l'énoncé la demande | Chaque bâton k devient l'intervalle [k − 0,5 ; k + 0,5] |
| Donner un résultat sans phrase | Conclus toujours dans le contexte de l'énoncé |