Loi normale : courbe en cloche, calculatrice et intervalles

La loi normale N(μ ; σ), aussi appelée loi de Gauss, est la loi continue dont la densité dessine une courbe en cloche, symétrique autour de son espérance μ, plus ou moins étalée selon son écart type σ. Elle modélise une grandeur qui résulte de nombreux petits effets indépendants : un volume de données quotidien, une autonomie de batterie, une erreur de mesure. Environ 68 % des valeurs tombent à moins d'un écart type de la moyenne, 95 % à moins de deux, 99,7 % à moins de trois. Ce chapitre montre comment calculer avec elle à la calculatrice, trouver un seuil, et combiner plusieurs lois normales.

La courbe en cloche

Une variable X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ, notée N(μ ; σ), quand sa densité est :

             1              (x − μ)²
f(x) = ——————————— × exp( − ————————— )
         σ × √(2π)             2σ²

Tu n'auras jamais à calculer avec cette formule : retiens la forme de la courbe et le rôle de ses deux paramètres.

• La courbe est symétrique par rapport à la droite verticale x = μ, et son sommet est en μ. Donc P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5.
• σ règle l'étalement : plus σ est grand, plus la cloche est large et basse (l'aire totale reste égale à 1).
• La courbe ne touche jamais l'axe, mais elle s'en approche très vite : au-delà de μ ± 4σ, il ne reste presque rien.

D'où vient-elle ? Quand une grandeur est la somme de nombreuses petites contributions indépendantes, sa loi se rapproche d'une loi normale, quelle que soit la loi de chaque contribution. Le volume d'une sauvegarde nocturne est la somme des modifications faites par des dizaines d'utilisateurs ; une erreur de mesure, la somme de petites perturbations. Le programme propose de l'observer par simulation, en additionnant des nombres tirés selon une loi uniforme : le chapitre 11 le fait en Python.

Calculer une probabilité à la calculatrice

La densité de la loi normale n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles : les probabilités se calculent à la calculatrice, et le programme précise qu'une table de la loi normale n'est pas nécessaire.

Sur NumWorks, choisis la loi Normale dans l'application Probabilités, entre μ et σ, puis le type de calcul.

Les bornes infinies. Pour P(X ≤ b), la borne inférieure est −∞ ; pour P(X ≥ a), la borne supérieure est +∞. On les remplace par des nombres immenses : −10⁹⁹ et 10⁹⁹, qui se tapent -1E99 et 1E99 (la touche EE, 2nde , sur TI, ou ×10ˣ sur Casio). Autre méthode : P(X ≥ a) = 1 − P(X ≤ a), et P(X ≤ b) = 0,5 + P(μ ≤ X ≤ b) quand b > μ.

Exemple : le volume de la sauvegarde nocturne

Chaque nuit, le serveur de fichiers d'une PME envoie une sauvegarde incrémentale vers un disque externe. Le volume V de cette sauvegarde, en gigaoctets (Go), suit la loi normale N(420 ; 25) : en moyenne 420 Go, avec un écart type de 25 Go.

• Une nuit ordinaire : P(400 ≤ V ≤ 440) = normalFRép(400,440,420,25) ≈ 0,5763.
• Une petite nuit : P(V ≤ 400) = normalFRép(-1E99,400,420,25) ≈ 0,2119.
• Une grosse nuit : P(V ≥ 450) = normalFRép(450,1E99,420,25) ≈ 0,1151.
• Le disque déborde : il reste 480 Go libres sur le disque de sauvegarde. P(V > 480) ≈ 0,0082.

Sur un an, la sauvegarde déborde en moyenne 365 × 0,0082 ≈ 3 nuits. C'est trop pour une sauvegarde : l'administrateur doit agrandir le disque ou mieux faire tourner les supports (supports de sauvegarde).

Les intervalles μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ

Le programme demande de connaître et interpréter graphiquement trois valeurs, valables pour toute loi normale :

Pour la sauvegarde : 68 % des nuits, le volume est entre 395 et 445 Go ; 95 % des nuits, entre 370 et 470 Go ; presque toutes les nuits (99,7 %), entre 345 et 495 Go.

Ces valeurs suffisent pour beaucoup de questions sans calculatrice, avec la symétrie. Par exemple, P(V ≥ 470) = P(V ≥ μ + 2σ) : en dehors de [μ − 2σ ; μ + 2σ], il reste 1 − 0,954 = 0,046, réparti à parts égales des deux côtés, d'où P(V ≥ 470) ≈ 0,046 / 2 = 0,023.

Trouver un seuil : la fonction inverse

Le problème inverse est fréquent : l'administrateur veut un disque assez grand pour que la sauvegarde tienne 99 % des nuits. Il cherche le volume v tel que P(V ≤ v) = 0,99. La calculatrice le donne directement :

• TI : FracNormale(0.99,420,25) ≈ 478,2 ;
• Casio : InvN, Tail Left, aire 0,99, σ = 25, μ = 420.

Il faut donc au moins 478,2 Go libres ; les 480 Go actuels suffisent tout juste pour l'objectif de 99 %, mais pas pour 99,9 % (FracNormale(0.999,420,25) ≈ 497,3 Go).

La loi normale centrée réduite

Si X suit N(μ ; σ), la variable Z = (X − μ) / σ suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) : espérance 0, écart type 1. Z mesure un écart à la moyenne en nombre d'écarts types. Pour la sauvegarde, un volume de 480 Go correspond à z = (480 − 420) / 25 = 2,4 : il est à 2,4 écarts types au-dessus de la moyenne.

Deux valeurs de N(0 ; 1) servent souvent : P(Z ≤ 1,645) ≈ 0,95 et P(Z ≤ 2,326) ≈ 0,99, que donnent FracNormale(0.95) et FracNormale(0.99) (μ = 0 et σ = 1 par défaut).

Z sert surtout à retrouver μ ou σ quand l'énoncé impose une probabilité. Quel écart type maximal tolérer pour que la sauvegarde tienne dans 480 Go 99 % des nuits, avec une moyenne de 420 Go ?

P(V ≤ 480) ≥ 0,99   ⟺   P(Z ≤ (480 − 420) / σ) ≥ 0,99
                     ⟺   60 / σ ≥ 2,326
                     ⟺   σ ≤ 60 / 2,326 ≈ 25,8 Go

Avec σ = 25, la condition est remplie de justesse, ce qu'on avait trouvé avec la fonction inverse.

Transformer et additionner : aX + b, X + Y, X − Y

Les règles du chapitre 4 donnent l'espérance et l'écart type ; avec des lois normales, on sait en plus que le résultat reste une loi normale.

Transformation affine. Si X suit N(μ ; σ), alors aX + b suit N(aμ + b ; |a|σ). La sauvegarde est compressée : le volume écrit vaut C = 0,6V + 5 (en Go, l'en-tête de l'archive ajoute 5 Go). C suit N(0,6 × 420 + 5 ; 0,6 × 25) = N(257 ; 15).

Somme et différence de lois normales

Si X suit N(μ₁ ; σ₁) et Y suit N(μ₂ ; σ₂), indépendantes, alors :

X + Y  suit  N( μ₁ + μ₂ ; √(σ₁² + σ₂²) )
X − Y  suit  N( μ₁ − μ₂ ; √(σ₁² + σ₂²) )

Les espérances s'ajoutent ou se retranchent, les variances s'ajoutent dans les deux cas.

Une semaine de sauvegardes. Les volumes des 7 nuits d'une semaine sont indépendants et suivent tous N(420 ; 25). Le volume hebdomadaire suit N(7 × 420 ; √(7 × 25²)) = N(2 940 ; 66,14), car les 7 variances 625 s'ajoutent. L'écart type de la semaine (66 Go) n'est que √7 ≈ 2,6 fois celui d'une nuit, et non 7 fois : les grosses et les petites nuits se compensent. La probabilité que la semaine dépasse 3 000 Go est 1 − P(S ≤ 3 000) ≈ 0,1822.

L'écart entre deux nuits. D = V₁ − V₂ suit N(0 ; √(625 + 625)) = N(0 ; 35,36). Deux nuits consécutives diffèrent de plus de 50 Go avec la probabilité P(|D| > 50) = 2 × P(D > 50) ≈ 0,1573.

Le programme demande exactement cela : déterminer les paramètres des lois de aX + b, X + Y et X − Y quand X et Y sont indépendantes. Les résultats sont admis.

En Python

Depuis Python 3.8, le module statistics de la bibliothèque standard fournit la loi normale :

from statistics import NormalDist

V = NormalDist(mu=420, sigma=25)
print(V.cdf(440) - V.cdf(400))   # P(400 <= V <= 440) ≈ 0.5763
print(1 - V.cdf(480))            # P(V > 480)         ≈ 0.0082
print(V.inv_cdf(0.99))           # seuil à 99 %       ≈ 478.16

sept_fois = NormalDist(420, 25) * 7               # loi de 7 × V : UNE nuit multipliée par 7
print(sept_fois.stdev)                             # 175.0, ce n'est pas la somme de 7 nuits
semaine = NormalDist(7 * 420, (7 * 25**2) ** 0.5)  # somme de 7 nuits indépendantes
print(semaine.stdev, 1 - semaine.cdf(3000))        # 66.14...  ≈ 0.1822

Les deux dernières lois illustrent un piège : NormalDist(420, 25) * 7 calcule la loi de 7V, une seule nuit multipliée par 7, d'écart type 7 × 25 = 175. La somme de 7 nuits indépendantes a un écart type de 66 seulement. NormalDist sait additionner deux lois indépendantes : NormalDist(420, 25) + NormalDist(420, 25) donne bien N(840 ; 35,36).

Exercices