Espérance, variance et écart type

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire : le nombre de tickets urgents reçus en une heure, le coût d'une panne, le nombre de paquets perdus. Elle est discrète quand ses valeurs sont isolées (0, 1, 2…). Sa loi de probabilité donne la probabilité de chaque valeur ; son espérance est la valeur moyenne qu'on obtient en répétant l'expérience un grand nombre de fois, et son écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne. Ce chapitre montre comment les calculer et comment les combiner.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Le programme précise qu'aucun développement théorique n'est attendu sur la notion de variable aléatoire : retiens qu'une variable aléatoire X est un nombre qui dépend du hasard. On écrit {X = 2} l'événement « X prend la valeur 2 », et P(X = 2) sa probabilité.

La loi de probabilité de X est le tableau des valeurs possibles xᵢ, avec leurs probabilités pᵢ = P(X = xᵢ). La somme des pᵢ vaut 1.

Exemple. Un centre de support a compté, sur un an, le nombre de tickets urgents reçus chaque heure ouvrée. Il en déduit la loi de X, nombre de tickets urgents reçus pendant une heure :

xᵢ (tickets urgents)	0	1	2	3	4
pᵢ = P(X = xᵢ)	0,30	0,35	0,20	0,10	0,05

Vérification : 0,30 + 0,35 + 0,20 + 0,10 + 0,05 = 1.

Les probabilités d'événements se lisent dans le tableau en additionnant les cases concernées :

P(X ≥ 2) = 0,20 + 0,10 + 0,05 = 0,35 : une heure sur trois environ, au moins deux tickets urgents arrivent ;
P(X ≤ 1) = 0,30 + 0,35 = 0,65, qu'on retrouve aussi par 1 − P(X ≥ 2) ;
P(1 ≤ X ≤ 3) = 0,35 + 0,20 + 0,10 = 0,65.

On représente une loi discrète par un diagramme en bâtons : un bâton vertical au-dessus de chaque valeur xᵢ, de hauteur pᵢ. Les chapitres 5 et 6 en dessinent pour la loi binomiale et la loi de Poisson.

L'espérance : la moyenne sur le long terme

L'espérance de X est la moyenne des valeurs, chacune pondérée par sa probabilité :

text

E(X) = x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + … + xₙ × pₙ = Σ xᵢ × pᵢ

Pour les tickets urgents :

text

E(X) = 0 × 0,30 + 1 × 0,35 + 2 × 0,20 + 3 × 0,10 + 4 × 0,05
     = 0 + 0,35 + 0,40 + 0,30 + 0,20
     = 1,25

Interprétation : sur un grand nombre d'heures, le centre reçoit en moyenne 1,25 ticket urgent par heure. Sur une journée de 8 heures ouvrées, il doit donc s'attendre à environ 10 tickets urgents. L'espérance n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : on ne reçoit jamais 1,25 ticket, mais c'est la moyenne vers laquelle tendent les observations, comme une moyenne de notes.

Espérance et décision : faut-il un contrat de maintenance ?

L'espérance sert à comparer des choix. Une PME hésite à souscrire un contrat de maintenance de 900 € par an pour son serveur. Sans contrat, elle estime ainsi ses frais de réparation annuels X, en euros :

Frais xᵢ (€)	0	500	2 000	6 000
pᵢ	0,60	0,25	0,12	0,03

E(X) = 0 + 500 × 0,25 + 2 000 × 0,12 + 6 000 × 0,03 = 125 + 240 + 180 = 545 €.

En moyenne, sans contrat, la PME dépense 545 € par an, moins que les 900 € du contrat. Sur le seul critère de l'espérance, le contrat ne se justifie pas. Mais une année sur trente-trois environ (probabilité 0,03), la facture atteint 6 000 € ; et le contrat garantit souvent un délai d'intervention, qui raccourcit l'arrêt du serveur (MTTR). Pour peser ce risque, il faut une mesure de la dispersion : la variance.

La variance et l'écart type : mesurer la dispersion

La variance de X est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance :

text

V(X) = Σ pᵢ × (xᵢ − E(X))²

L'écart type est sa racine carrée : σ(X) = √V(X). Il s'exprime dans la même unité que X (des tickets, des euros), ce qui le rend plus parlant que la variance.

En pratique, on calcule plus vite avec la formule de König-Huygens :

text

V(X) = E(X²) − (E(X))²        où  E(X²) = Σ xᵢ² × pᵢ

Pour les tickets urgents, les deux méthodes côte à côte :

xᵢ	pᵢ	xᵢ − E(X)	pᵢ × (xᵢ − E(X))²	xᵢ² × pᵢ
0	0,30	−1,25	0,46875	0
1	0,35	−0,25	0,021875	0,35
2	0,20	0,75	0,1125	0,80
3	0,10	1,75	0,30625	0,90
4	0,05	2,75	0,378125	0,80
Total	1		1,2875	2,85

Par la définition : V(X) = 1,2875.
Par König-Huygens : V(X) = 2,85 − 1,25² = 2,85 − 1,5625 = 1,2875.

σ(X) = √1,2875 ≈ 1,1347 ticket. Le nombre de tickets urgents s'écarte en moyenne d'un peu plus d'un ticket de sa moyenne de 1,25.

Pour les frais de réparation, E(X²) = 500² × 0,25 + 2 000² × 0,12 + 6 000² × 0,03 = 62 500 + 480 000 + 1 080 000 = 1 622 500, d'où V(X) = 1 622 500 − 545² = 1 325 475 et σ(X) ≈ 1 151 €. L'écart type dépasse le double de l'espérance : les frais sont très irréguliers. Le contrat de maintenance coûte plus cher en moyenne, mais il supprime ce risque : c'est le principe d'une assurance.

À la calculatrice : les statistiques à une variable

Les calculatrices n'ont pas de menu « espérance », mais leur mode statistiques à une variable fait le calcul :

Saisis les valeurs xᵢ dans une première liste et les probabilités pᵢ dans une seconde. Si ta calculatrice refuse des effectifs décimaux, saisis des effectifs fictifs, par exemple les probabilités multipliées par 100 (30, 35, 20, 10, 5) : la moyenne et l'écart type ne changent pas.
Lance le calcul à une variable en indiquant la première liste comme valeurs et la seconde comme effectifs (« Stats 1-Var » sur TI, « 1-VAR » sur Casio, dans le menu des statistiques).
La moyenne x̄ affichée est E(X), et l'écart type σx (celui qui divise par l'effectif total, pas sx) est σ(X).

Le cours Statistiques détaille ces menus, communs avec la statistique descriptive.

Transformer une variable : aX + b

Un technicien facture ses interventions 60 € de l'heure, plus 40 € de déplacement. La durée X d'une intervention, en heures, a pour espérance 1,5 h et pour écart type 0,5 h. Le montant facturé est C = 60X + 40.

E(C) = 60 × 1,5 + 40 = 130 € et σ(C) = 60 × 0,5 = 30 €. Les 40 € de déplacement n'ajoutent aucune dispersion.

Somme et différence de deux variables indépendantes

Le démarrage d'une machine virtuelle se fait en deux temps : le système démarre en X secondes (espérance 40 s, écart type 6 s), puis l'application en Y secondes (espérance 25 s, écart type 8 s). On admet que X et Y sont indépendantes : la durée de l'un ne renseigne pas sur l'autre.

La durée totale T = X + Y a pour espérance 40 + 25 = 65 s et pour variance 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc σ(T) = 10 s. Remarque : l'écart type de la somme (10 s) n'est pas la somme des écarts types (14 s) ; ce sont les variances qui s'ajoutent.

L'écart D = X − Y entre les deux durées a pour espérance 40 − 25 = 15 s et pour écart type √(36 + 64) = 10 s, le même que la somme.

Le programme demande de savoir déterminer ces paramètres, sans théorie sur l'indépendance des variables aléatoires : les résultats sont admis, et on peut les vérifier par simulation. Avec des lois normales, ils prennent tout leur intérêt au chapitre 9.

En Python

Une loi discrète se range naturellement dans un dictionnaire, valeur → probabilité. Trois sommes suffisent :

python

from math import sqrt

loi = {0: 0.30, 1: 0.35, 2: 0.20, 3: 0.10, 4: 0.05}

assert abs(sum(loi.values()) - 1) < 1e-9          # la somme des probabilités vaut 1
esperance = sum(x * p for x, p in loi.items())
variance = sum(x**2 * p for x, p in loi.items()) - esperance**2
print(esperance, variance, sqrt(variance))         # 1.25 1.2875 1.1346...

Le test abs(...) < 1e-9 remplace un == 1 : les nombres à virgule sont arrondis en binaire, et 0,30 + 0,35 + 0,20 + 0,10 + 0,05 ne fait pas exactement 1 en machine (pourquoi).

Exercices

Exercice 1 sur 5 Compléter une loi et la résumer Réussi À revoir

Une variable aléatoire X a la loi suivante :

xᵢ	0	1	2	3
P(X = xᵢ)	0,50	0,30	a	0,05

Calcule a.
Calcule P(X ≥ 1) et P(X < 2).
Calcule E(X), V(X) et σ(X).