Loi exponentielle : durée de vie, taux de panne et MTBF

La loi exponentielle de paramètre λ modélise une durée de vie ou un temps d'attente quand l'événement attendu (une panne, l'arrivée d'une requête) a la même probabilité de se produire à chaque instant. Une durée T qui suit cette loi vérifie P(T ≤ t) = 1 − e^(−λt) et a pour espérance 1/λ. En fiabilité, λ est le taux de défaillance et 1/λ le MTBF, le temps moyen entre deux pannes. Ce chapitre montre comment calculer avec cette loi, comment interpréter un MTBF et comment l'appliquer à un serveur, en série ou redondant.

Une durée de vie sans vieillissement

Le taux de défaillance λ d'un équipement est la proportion d'équipements en marche qui tombent en panne par unité de temps. Pour un composant électronique dans sa période de vie utile, après les défauts de jeunesse et avant l'usure, ce taux est à peu près constant : un composant qui fonctionne depuis deux ans a la même probabilité de lâcher dans l'heure qui vient qu'un composant neuf. Les pannes arrivent « par accident », pas par vieillissement.

Sous cette hypothèse, la durée de vie T de l'équipement suit la loi exponentielle de paramètre λ, parfois notée ℰ(λ) : un E calligraphié, pour ne pas la confondre avec l'espérance E(X). Le programme cite justement la fiabilité comme domaine d'application de cette loi.

Densité et calcul des probabilités

T suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 quand sa densité est :

f(t) = λ e^(−λt)   pour t ≥ 0,     f(t) = 0 pour t < 0

La courbe part de λ en t = 0 et décroît vers 0 : les durées courtes sont plus probables que les longues. Le calcul de l'aire sous la courbe entre 0 et t (une intégrale, voir le cours Fonctions et intégrales) donne les trois formules à connaître :

P(T ≤ t) = 1 − e^(−λt)           (en panne avant t)
P(T > t) = e^(−λt)               (encore en marche à t)
P(a ≤ T ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb)

En fiabilité, la probabilité d'être encore en marche à l'instant t s'appelle la fiabilité et se note R(t) = e^(−λt) (de l'anglais reliability).

Espérance et écart type : le MTBF

Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ :

E(T) = 1/λ        V(T) = 1/λ²        σ(T) = 1/λ

L'espérance et l'écart type sont égaux. En fiabilité, l'espérance de la durée de fonctionnement entre deux pannes est le MTBF (Mean Time Between Failures, temps moyen entre pannes). Pour un composant qu'on ne répare pas mais qu'on remplace, comme un disque, on parle plutôt de MTTF (Mean Time To Failure) ; le calcul est le même. Avec la loi exponentielle :

MTBF = 1/λ       λ = 1/MTBF       R(t) = e^(−t / MTBF)

Le cours Haute disponibilité se sert du MTBF et du temps moyen de réparation (MTTR) pour calculer la disponibilité d'un service, disponibilité = MTBF ÷ (MTBF + MTTR). Ce chapitre explique ce que le MTBF dit, et ne dit pas, d'un équipement.

Exemple : l'alimentation d'un serveur

Le constructeur d'un bloc d'alimentation de serveur annonce un MTBF de 100 000 heures. On modélise la durée de vie T de l'alimentation, en heures, par une loi exponentielle : λ = 1 / 100 000 = 10⁻⁵ par heure.

• Panne pendant la première année de fonctionnement continu : P(T ≤ 8 760) = 1 − e^(−10⁻⁵ × 8 760) = 1 − e^(−0,0876) ≈ 0,0839. Environ 8 alimentations sur 100 tombent en panne dans l'année.
• Toujours en marche après 5 ans (43 800 h) : R(43 800) = e^(−0,438) ≈ 0,6453.
• Panne pendant la troisième année (entre 17 520 h et 26 280 h) : e^(−0,1752) − e^(−0,2628) ≈ 0,8393 − 0,7689 ≈ 0,0704.
• Panne avant d'atteindre le MTBF : P(T ≤ 100 000) = 1 − e^(−1) ≈ 0,632.

Le dernier résultat ne dépend pas de λ : avec une loi exponentielle, 63 % des équipements tombent en panne avant leur MTBF, et seulement 37 % le dépassent.

Calculer une médiane ou une durée. Pour trouver la durée t telle que R(t) vaut une valeur donnée, on résout e^(−λt) = r avec le logarithme : −λt = ln(r), donc t = −ln(r) / λ. Pour la médiane, r = 0,5 et t = ln(2) / λ. Pour connaître la durée pendant laquelle 99 % des alimentations fonctionnent encore : t = −ln(0,99) / 10⁻⁵ ≈ 1 005 heures, à peine six semaines.

Retrouver λ à partir d'une probabilité

Les énoncés donnent souvent une probabilité plutôt que λ. Un fabricant de SSD indique que 10 % de ses disques tombent en panne avant 3 ans d'utilisation. Avec une loi exponentielle :

P(T ≤ 3) = 0,10   ⟺   1 − e^(−3λ) = 0,10
                  ⟺   e^(−3λ) = 0,90
                  ⟺   −3λ = ln(0,90)
                  ⟺   λ = −ln(0,90) / 3 ≈ 0,0351 par an

La durée de vie moyenne vaut alors 1/λ ≈ 28,5 ans. Ce chiffre surprend, mais il traduit seulement un faible taux de panne pendant la vie utile : bien avant 28 ans, les SSD seront usés par leurs écritures ou remplacés parce que trop petits, ce que la loi exponentielle ne modélise pas.

L'absence de mémoire

La loi exponentielle a une propriété qui la caractérise : pour toutes durées t et h positives,

P_(T > t)(T > t + h) = P(T > h)

Sachant qu'un équipement fonctionne encore à l'instant t, la probabilité qu'il fonctionne encore h heures plus tard est la même que pour un équipement neuf. La démonstration tient en une ligne :

P_(T > t)(T > t + h) = P(T > t + h) / P(T > t) = e^(−λ(t + h)) / e^(−λt) = e^(−λh) = P(T > h)

(l'événement « T > t + h » est inclus dans « T > t », donc leur intersection est « T > t + h »).

Conséquence pratique. Sous ce modèle, remplacer préventivement un composant qui fonctionne ne sert à rien : l'ancien a exactement les mêmes chances de tenir que le neuf. Le remplacement préventif n'a de sens que pour des pièces qui s'usent, dont le taux de défaillance augmente avec l'âge, comme les disques durs mécaniques en fin de vie ou les batteries d'onduleur.

Fiabilité d'un système en série ou redondant

On reprend les calculs du chapitre 2, avec des durées de vie exponentielles et indépendantes.

En série. Un serveur tombe en panne dès qu'un de ses composants lâche. Avec une alimentation (MTBF 100 000 h, λ₁ = 10⁻⁵), une carte mère (MTBF 200 000 h, λ₂ = 5 × 10⁻⁶) et un disque système (MTBF 1 000 000 h, λ₃ = 10⁻⁶), la fiabilité du serveur est le produit des fiabilités :

R(t) = e^(−λ₁t) × e^(−λ₂t) × e^(−λ₃t) = e^(−(λ₁ + λ₂ + λ₃)t)

Le serveur suit donc une loi exponentielle de paramètre λ = λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1,6 × 10⁻⁵ par heure : en série, les taux de défaillance s'additionnent. Son MTBF vaut 1 / (1,6 × 10⁻⁵) = 62 500 heures, moins que celui de son composant le plus fragile, et sa fiabilité sur un an est e^(−1,6 × 10⁻⁵ × 8 760) ≈ 0,8692.

Redondant. Un serveur équipé de deux alimentations redondantes ne s'arrête que si les deux lâchent. Sur un an, chacune tombe en panne avec la probabilité 0,0839 ; les deux, avec la probabilité 0,0839² ≈ 0,0070. La fiabilité de l'ensemble des deux alimentations est donc 1 − 0,0070 ≈ 0,9930 sur un an, contre 0,9161 pour une alimentation seule. Et en pratique, on remplace l'alimentation défaillante dans la journée, bien avant que la seconde ne lâche : la redondance réelle fait encore mieux que ce calcul.

Le lien avec la loi de Poisson

La loi exponentielle décrit aussi le temps d'attente entre deux événements qui arrivent au hasard à un rythme constant. Si un serveur reçoit en moyenne λ = 3 requêtes par minute, à des instants indépendants, alors :

• le nombre de requêtes reçues en une minute suit la loi de Poisson de paramètre 3 (chapitre 6) ;
• le temps d'attente entre deux requêtes suit la loi exponentielle de paramètre 3 (par minute), d'espérance 1/3 de minute, soit 20 secondes.

Les deux points de vue se rejoignent : « aucune requête pendant t minutes » et « la prochaine requête arrive dans plus de t minutes » sont le même événement. Pour t = 1 minute, la loi exponentielle donne P(T > 1) = e^(−3) ≈ 0,0498, et la loi de Poisson donne P(X = 0) = e^(−3) ≈ 0,0498 : la même valeur. C'est exactement ainsi que le programme du BTS introduit la loi de Poisson, et c'est ainsi qu'on la simule au chapitre 11.

À la calculatrice et en Python

La TI-83 Premium CE et la Casio Graph 90+E n'ont pas de fonction dédiée à la loi exponentielle dans leurs menus de lois : on calcule directement avec la touche exponentielle (2nde ln pour eˣ sur TI, SHIFT ln sur Casio). Par exemple, P(T ≤ 8 760) se tape 1−e^(−8760/100000). Sur NumWorks, l'application Probabilités propose une loi Exponentielle de paramètre λ.

En Python, la bibliothèque standard suffit :

from math import exp, log
import random

lam = 1 / 100_000                 # taux de défaillance par heure (MTBF 100 000 h)

print(1 - exp(-lam * 8760))       # P(T <= 1 an)   ≈ 0.0839
print(exp(-lam * 43_800))         # R(5 ans)       ≈ 0.6453
print(log(2) / lam)               # médiane        ≈ 69 315 h

# Simulation : -ln(1 - U) / lambda suit la loi exponentielle de paramètre lambda
n = 100_000
durees = [-log(1 - random.random()) / lam for _ in range(n)]   # ou random.expovariate(lam)
print(sum(durees) / n)                                          # environ 100 000, le MTBF
print(sum(1 for d in durees if d <= 8760) / n)                  # environ 0.084

La formule −ln(1 − U) / λ transforme un nombre uniforme U entre 0 et 1 en une durée exponentielle : le programme cite cette simulation à partir de la loi uniforme. Le chapitre 11 explique pourquoi elle marche.

Exercices