Calcul intégral : intégrale, aire et valeur moyenne

L'intégrale de a à b d'une fonction f, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, se calcule avec une primitive F de f : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Quand f est positive, elle mesure l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Elle sert aussi à calculer une valeur moyenne, un volume de données transféré à partir d'un débit, ou une énergie consommée à partir d'une puissance.

Définition et notation

Le crochet [F(x)]ₐᵇ est une étape d'écriture : on y met la primitive, puis on calcule « valeur en haut moins valeur en bas ». La lettre x est muette : ∫ₐᵇ f(t) dt est le même nombre. Le dx indique la variable par rapport à laquelle on intègre.

                  b
Notation :        ∫  f(x) dx       se lit « intégrale de a à b de f(x) dx »
                  a

Trois exemples à refaire au brouillon :

• ∫₀² (3x² + 1) dx = [x³ + x]₀² = (8 + 2) − (0 + 0) = 10 ;
• ∫₁ᵉ (1/x) dx = [ln x]₁ᵉ = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1 ;
• ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e − 1 ≈ 1,718.

L'intégrale et l'aire sous la courbe

L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les unités des deux axes. Si une unité vaut 2 cm sur l'axe horizontal et 1 cm sur l'axe vertical, 1 u.a. = 2 cm².

Si f est négative sur [a ; b], l'intégrale est l'opposé de l'aire. Si f change de signe, l'intégrale fait la somme algébrique : les parties sous l'axe comptent en négatif.

∫₋₁² x dx = [x²/2]₋₁² = 2 − 0,5 = 1,5, alors que l'aire géométrique du domaine entre la droite y = x et l'axe, de −1 à 2, vaut 0,5 + 2 = 2,5 u.a. : le triangle de −1 à 0, d'aire 0,5, est sous l'axe et compte en négatif dans l'intégrale. Pour une aire, découpe l'intervalle là où f change de signe.

Les propriétés : Chasles, linéarité, positivité

La relation de Chasles sert à découper une intégrale, par exemple quand une fonction est définie par morceaux (un tarif qui change à partir d'un seuil) ou pour calculer une aire quand f change de signe. La linéarité permet de calculer terme à terme.

L'aire entre deux courbes

Exemple : l'aire entre la droite y = x et la parabole y = x² sur [0 ; 1]. Sur cet intervalle, x² ≤ x (par exemple 0,25 ≤ 0,5). L'aire vaut ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.

La méthode complète : trouver les points d'intersection (résoudre f(x) = g(x)), déterminer quelle courbe est au-dessus sur chaque intervalle (étudier le signe de g − f), puis intégrer « dessus moins dessous ».

La valeur moyenne d'une fonction

Elle prolonge la moyenne d'une série de nombres : au lieu d'additionner des valeurs et de diviser par leur nombre, on intègre la fonction et on divise par la longueur de l'intervalle.

Pour f(x) = 3x² + 1 sur [0 ; 2], on a calculé ∫₀² f(x) dx = 10, donc μ = 10/2 = 5. La fonction varie de 1 à 13, sa valeur moyenne est 5.

Débit, volume et valeur moyenne

Chez Sorbier Logistique, la copie de secours hebdomadaire d'une machine virtuelle vers le NAS TrueNAS srv-nas (cours TrueNAS) dure 10 minutes. Son débit d'écriture, en Mo/s, est modélisé par d(t) = −1,2t² + 12t + 60, où t est le temps en minutes (0 ≤ t ≤ 10). Il démarre à 60 Mo/s, monte à 90 Mo/s à mi-parcours, puis redescend à 60 Mo/s.

Le débit moyen est la valeur moyenne de d :

∫₀¹⁰ d(t) dt = [−0,4t³ + 6t² + 60t]₀¹⁰ = (−400 + 600 + 600) − 0 = 800
débit moyen = 800 / 10 = 80 Mo/s

Le volume écrit demande d'abord de regarder les unités. L'intégrale d'une fonction a pour unité « unité de f × unité de t » : ici des Mo/s × minutes, ce qui n'est pas une unité de volume. Chaque minute dure 60 secondes, donc le volume vaut 800 × 60 = 48 000 Mo, soit environ 48 Go. Autre façon de le voir : 80 Mo/s en moyenne pendant 600 secondes, 80 × 600 = 48 000 Mo.

Cette relation entre débit et volume, c'est aussi ce qu'il y a derrière un compteur d'octets : la différence entre deux relevés du compteur est l'intégrale du débit entre ces deux instants, et le débit qu'affiche l'outil de supervision (métrologie réseau) est la valeur moyenne du débit réel sur l'intervalle de mesure. C'est pourquoi un relevé toutes les 5 minutes lisse les pics : il donne une moyenne, pas un maximum.

Intégrales et probabilités continues

En probabilités, une variable aléatoire continue (une durée de vie, un temps de réponse) est décrite par une densité f : la probabilité que X tombe entre a et b est l'aire sous la courbe de f entre a et b, P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx.

Pour la loi exponentielle de paramètre λ > 0, la densité est f(t) = λ e^(−λt) sur [0 ; +∞[. Une primitive est F(t) = −e^(−λt) (forme u′eᵘ), donc :

P(T ≤ t) = ∫₀ᵗ λ e^(−λx) dx = [−e^(−λx)]₀ᵗ = −e^(−λt) − (−1) = 1 − e^(−λt)

C'est la formule que le cours de probabilités utilise pour la durée de vie d'un composant.

Exercices