Nombre dérivé et calcul de dérivées : les formules

Le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a : il mesure la vitesse à laquelle f(x) varie quand x passe par a. La fonction dérivée f′ donne ce nombre pour chaque x. Ce chapitre montre d'où vient le nombre dérivé, donne le tableau des dérivées et les règles de calcul, puis l'équation de la tangente.

Taux de variation : une vitesse moyenne

Un compteur relève le volume de données téléchargées par un serveur depuis minuit. Si V(t) est ce volume, en Go, à l'instant t, en heures, le débit moyen entre t₁ et t₂ vaut :

débit moyen = (V(t₂) − V(t₁)) / (t₂ − t₁)

C'est exactement le calcul que fait un outil de supervision comme Zabbix : il relève un compteur d'octets à deux instants et divise la différence par la durée (calculer le débit d'une interface).

En mathématiques, ce quotient s'appelle le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f entre a et a + h :

(f(a + h) − f(a)) / h

Sur la courbe, c'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)), une sécante.

Le nombre dérivé, limite du taux de variation

Le débit moyen sur une heure ne dit pas le débit à 14 h précises. Pour l'obtenir, on rapproche les deux instants : on fait tendre h vers 0. Si le taux de variation se rapproche d'un nombre fini, ce nombre est le nombre dérivé de f en a, et f est dite dérivable en a.

Prenons f(x) = x² et a = 3 :

(f(3 + h) − f(3)) / h = ((3 + h)² − 9) / h = (9 + 6h + h² − 9) / h = (6h + h²) / h = 6 + h

Quand h se rapproche de 0, 6 + h se rapproche de 6 : f′(3) = 6. Au voisinage de 3, f(x) augmente environ 6 fois plus vite que x.

La tangente à une courbe

Quand M se rapproche de A, la sécante (AM) pivote et se rapproche d'une droite limite : la tangente à la courbe en A. Son coefficient directeur est f′(a).

Pour f(x) = x² en a = 3 : f(3) = 9 et f′(3) = 6, donc la tangente a pour équation y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9. Vérification : elle passe bien par A(3 ; 9), puisque 6 × 3 − 9 = 9.

Une tangente horizontale correspond à f′(a) = 0 : c'est là que se cachent les maximums et les minimums (chapitre 3).

Le tableau des dérivées

Refaire le calcul de limite à chaque fois serait long. On le fait une fois pour chaque fonction de référence, et on retient le résultat :

La racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0 : sa tangente y est verticale.

Les règles de calcul

Les fonctions des sujets sont construites à partir des fonctions de référence par somme, produit, quotient ou composition. Chaque construction a sa règle. On note u et v deux fonctions dérivables et k un réel.

Cinq exemples, du plus simple au plus composé :

1. Une somme. f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2. On dérive terme à terme : f′(x) = 3 × 4x³ − 5 × 2x + 7 − 0 = 12x³ − 10x + 7.
2. Un produit. g(x) = (2x + 1)(x² − 3). On pose u = 2x + 1 et v = x² − 3, donc u′ = 2 et v′ = 2x. Alors g′(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1) × 2x = 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6.
3. Un quotient. h(x) = (3x − 1)/(x + 2), pour x ≠ −2. u = 3x − 1, v = x + 2, u′ = 3, v′ = 1. h′(x) = (3(x + 2) − (3x − 1) × 1)/(x + 2)² = (3x + 6 − 3x + 1)/(x + 2)² = 7/(x + 2)².
4. Une puissance. k(x) = (2x − 5)³. u = 2x − 5, u′ = 2, n = 3. k′(x) = 3 × 2 × (2x − 5)² = 6(2x − 5)².
5. Une racine. m(x) = 4√x, pour x > 0. m′(x) = 4 × 1/(2√x) = 2/√x.

La méthode pour dériver sans se tromper

1. Repère la structure de l'expression : la dernière opération qu'on effectuerait pour calculer f(x) (une somme, un produit, un quotient, une puissance).
2. Nomme les morceaux u et v, et écris u′ et v′ à part, sur une ligne.
3. Applique la règle, en recopiant les parenthèses.
4. Simplifie, et si tu dois étudier le signe de f′ ensuite, factorise plutôt que de tout développer. Dans h′(x) = 7/(x + 2)², on voit tout de suite que h′(x) > 0.

Vérifier une dérivée avec Python

Les calculatrices calculent un nombre dérivé par une formule approchée : le taux de variation symétrique (f(a + h) − f(a − h)) / (2h) avec un h très petit. Tu peux faire la même chose en Python pour contrôler un calcul à la main :

def derivee_approchee(f, a, h=1e-4):
    """Nombre dérivé approché de f en a (taux de variation symétrique)."""
    return (f(a + h) - f(a - h)) / (2 * h)


def h(x):
    return (3 * x - 1) / (x + 2)


print(derivee_approchee(h, 1))   # valeur approchée
print(7 / (1 + 2) ** 2)          # formule trouvée à la main : 7/(x + 2)² en x = 1

0.777777778643296
0.7777777777777778

Les deux valeurs coïncident jusqu'à la huitième décimale : la formule est juste. Si elles différaient nettement, l'erreur serait dans le calcul à la main.

Exercices