Dérivée et intégrale à la calculatrice : TI et Casio

Ta calculatrice graphique trace une courbe, dresse un tableau de valeurs, calcule un nombre dérivé en un point, une intégrale, un maximum ou une solution approchée d'équation. Ce chapitre donne les menus de la TI-83 Premium CE Edition Python, de la Casio Graph 90+E et de la Casio Graph Math+, trois modèles courants en BTS, et dit ce que ta copie doit contenir en plus du nombre affiché.

Ce que la calculatrice fait, et ce qu'elle ne fait pas

Le programme demande de savoir calculer une dérivée, une primitive ou une intégrale « à la main dans les cas simples », et « à l'aide d'un logiciel de calcul formel dans tous les cas ». Les fonctions de ces calculatrices donnent des valeurs numériques : le nombre dérivé f′(2), l'intégrale de 0 à 1, l'abscisse d'un maximum. Elles ne donnent ni l'expression de f′(x), ni une primitive, ni la justification du signe de f′.

La calculatrice est autorisée à l'écrit en mode examen, que tu actives dans la salle à la demande du surveillant ; la manipulation pour chaque modèle est dans le cours sur l'épreuve E3. En mode examen, les programmes que tu as enregistrés ne sont plus accessibles : tout ce qui suit fonctionne sans programme, avec les menus de la calculatrice.

Et le calcul formel ?

Un logiciel de calcul formel, lui, donne l'expression exacte : la dérivée, une primitive, la valeur exacte d'une intégrale. GeoGebra, gratuit, en a un : la vue Calcul formel. Tape Dérivée(x*ln(x)) : il affiche ln(x) + 1. Intégrale(x*exp(x)) donne une primitive, x eˣ − eˣ, plus une constante, et Intégrale(x^2, 0, 2) affiche 8/3. Sers-t'en pour vérifier tes calculs pendant tes révisions ; à l'écrit de l'EF2, tu n'as que ta calculatrice.

Tracer une courbe et lire un tableau de valeurs

Dans les tableaux, 2nde désigne la touche de seconde fonction de la TI, SHIFT celle de la Casio, et les touches de fonction F1 à F6 sont sous l'écran de la Graph 90+E.

Calculer un nombre dérivé

Exemple : pour f(x) = x ln x, le calcul à la main donne f′(x) = ln x + 1, donc f′(2) = ln 2 + 1 ≈ 1,693. La calculatrice affiche 1,693 147…, ce qui confirme le calcul.

Calculer une intégrale

Exemple : ∫₀¹ e^(−x²) dx, qu'aucune primitive ne permet de calculer (chapitre 10), s'affiche 0,746 824 1… sur les trois modèles.

Maximum, minimum et solution d'une équation

Pour résoudre f(x) = k, trace aussi la droite y = k (en Y2) et cherche l'intersection, ou résous f(x) − k = 0. La calculatrice cherche une solution entre les bornes que tu lui donnes : s'il y en a plusieurs, ton tableau de variation te dit combien et où les chercher, une par intervalle.

Conjecturer, puis démontrer

La calculatrice est la plus utile avant les calculs : elle te dit où tu vas. Une démarche qui marche sur la plupart des questions d'étude de fonction :

1. Trace la courbe sur l'intervalle de l'énoncé : tu vois combien de fois elle monte et descend, et à peu près où.
2. Affiche le tableau de valeurs autour des points intéressants : tu repères un maximum, un changement de signe.
3. Fais le calcul demandé à la main : dérivée, signe, tableau de variation.
4. Compare : si ton tableau dit « croissante sur [0 ; 2] » et que la courbe descend à cet endroit, l'erreur est dans ton calcul, et tu le sais avant de rendre ta copie.

Les pièges de la calculatrice

Python sur la calculatrice

La TI-83 Premium CE Edition Python, la Graph 90+E et la Graph Math+ ont une application Python. Les fonctions du chapitre 10 y tournent avec from math import * pour exp, log et sqrt. Écris les grands nombres sans le séparateur _ (100000 et non 100_000) et garde des valeurs de n raisonnables : 1 000 points, quelques centaines de tranches. Deux précautions :

• dans le module math, log(x) est le logarithme népérien ln x. Pour log₂ x, écris log(x) / log(2), qui fonctionne partout ;
• l'affichage est petit et les boucles sont bien plus lentes que sur un ordinateur : lance d'abord le calcul avec un petit n, puis augmente-le.

Exercices

Exercice 1 sur 4 Une solution approchée Réussi À revoir

Soit f(x) = eˣ + x − 3.

1. Justifie que l'équation f(x) = 0 a une seule solution α dans [0 ; 1].
2. À l'aide de ta calculatrice, donne une valeur approchée de α à 10⁻³ près, en indiquant la fonction utilisée.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1

1. f′(x) = eˣ + 1 > 0 : f est strictement croissante sur [0 ; 1]. f(0) = −2 < 0 et f(1) = e − 2 > 0, et f est continue : l'équation f(x) = 0 a exactement une solution α dans [0 ; 1].
2. Avec la fonction zéro (TI), ROOT (Graph 90+E) ou Racines (Graph Math+), sur [0 ; 1] : α ≈ 0,792.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 2 sur 4 Vérifier une dérivée Réussi À revoir

Pour g(x) = (x² + 1)e⁻ˣ, tu as trouvé g′(x) = −(x − 1)²e⁻ˣ.

1. Calcule g′(3) avec ta formule.
2. Calcule le nombre dérivé de g en 3 à la calculatrice et compare.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. g′(3) = −(3 − 1)² e⁻³ = −4e⁻³ ≈ −0,199 1.
2. La calculatrice affiche −0,199 148… : la formule est confirmée. Un écart dès la deuxième décimale aurait signalé une erreur de calcul.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 3 sur 4 Combien de solutions ? Réussi À revoir

Soit f(x) = x³ − 3x + 1 sur [−2 ; 2].

1. Avec la calculatrice, trace la courbe et conjecture le nombre de solutions de f(x) = 0.
2. Démontre-le avec un tableau de variation.
3. Donne une valeur approchée au centième de chaque solution.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. La courbe coupe l'axe des abscisses trois fois.
2. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). f croît sur [−2 ; −1], décroît sur [−1 ; 1], croît sur [1 ; 2]. f(−2) = −8 + 6 + 1 = −1, f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1, f(2) = 8 − 6 + 1 = 3. Sur chacun des trois intervalles, f est continue et strictement monotone, et 0 est compris entre les valeurs aux bornes (−1 et 3, 3 et −1, −1 et 3) : une solution par intervalle, trois en tout.
3. Avec la fonction zéro (ou Racines), intervalle par intervalle : x ≈ −1,88, x ≈ 0,35 et x ≈ 1,53.

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Exercice 4 sur 4 Une intégrale et une aire Réussi À revoir

1. Calcule ∫₁ᵉ ln x dx à la calculatrice.
2. Sachant que G(x) = x ln x − x est une primitive de ln x sur ]0 ; +∞[ (chapitre 8), calcule cette intégrale exactement.
3. Interprète le résultat en termes d'aire.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4

1. La calculatrice affiche 1.
2. [x ln x − x]₁ᵉ = (e × 1 − e) − (1 × 0 − 1) = 0 − (−1) = 1.
3. ln x ≥ 0 sur [1 ; e] : l'aire du domaine sous la courbe de ln, entre x = 1 et x = e, vaut exactement 1 unité d'aire.

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