Fonctions de référence : affine, second degré, racine carrée, inverse

Une fonction f d'une variable réelle associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre f(x), appelé l'image de x. Ce chapitre fixe le vocabulaire (ensemble de définition, image, antécédent, courbe) et passe en revue les fonctions de référence du programme : affines, polynômes du second degré, racine carrée et inverse. L'exponentielle et les logarithmes ont leurs propres chapitres, du 4 au 6.

Fonction, image et antécédent

Un hébergeur loue une machine virtuelle 4 € par mois, plus 0,05 € par heure de fonctionnement. Pour x heures dans le mois, la facture vaut :

f(x) = 0,05x + 4        pour x dans [0 ; 744]

744 heures, c'est un mois de 31 jours sans interruption. On écrit aussi f : x ↦ 0,05x + 4, qui se lit « f est la fonction qui à x associe 0,05x + 4 ».

• L'image de 200 est f(200) = 0,05 × 200 + 4 = 14 : 200 heures coûtent 14 €.
• Un antécédent de 20 est un nombre x tel que f(x) = 20. On résout 0,05x + 4 = 20, soit 0,05x = 16 et x = 320 : avec 20 €, la machine a tourné 320 heures.

Un nombre de l'ensemble de définition a une seule image. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents : c'est toute la différence entre « calculer f(x) » (on remplace) et « résoudre f(x) = k » (on cherche).

Le programme insiste sur les trois façons de donner une fonction, que tu croiseras toutes dans les sujets :

Ensemble de définition

L'ensemble de définition de f, noté Df, est l'ensemble des nombres x pour lesquels f(x) existe. Deux opérations posent des conditions :

• on ne divise pas par zéro : 1/(x − 2) existe si x ≠ 2 ;
• on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif : √(x − 3) existe si x − 3 ≥ 0, c'est-à-dire x ≥ 3.

Le chapitre 5 en ajoute une troisième : ln(x) n'existe que si x > 0.

Dans un problème concret, le contexte restreint encore l'ensemble : un nombre d'heures est positif, un nombre de postes est un entier. Le sujet le précise toujours (« pour x dans [0 ; 744] »).

Courbe représentative et lecture graphique

La courbe représentative de f, notée Cf, est l'ensemble des points M(x ; f(x)) du plan muni d'un repère. Un point A(a ; b) est sur la courbe si et seulement si f(a) = b. Pour savoir si A(100 ; 9) est sur la courbe de la facture, on calcule f(100) = 9 : oui.

Sur une courbe, tu lis :

• l'image de a : tu pars de a sur l'axe des abscisses, tu montes jusqu'à la courbe, tu lis l'ordonnée ;
• les antécédents de k : tu traces la droite horizontale y = k, tu relèves les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe ;
• les solutions de f(x) > k : les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite y = k ;
• les solutions de f(x) = g(x) : les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Une lecture graphique donne des valeurs approchées. Si l'énoncé demande une valeur exacte, il faut la calculer.

Fonctions affines

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, avec a et b réels. Sa courbe est une droite.

• a est le coefficient directeur (la pente) : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a. Entre deux points, a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).
• b est l'ordonnée à l'origine : b = f(0), l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.
• Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, décroissante ; si a = 0, constante.
• Si b = 0, la fonction est linéaire : f(x) = ax, une situation de proportionnalité.

Les fonctions affines modélisent tout ce qui coûte « un fixe plus un prix unitaire ». Une PME compare deux offres de stockage en ligne pour x gigaoctets par mois :

• offre A : 20 € d'abonnement, puis 0,02 € par Go, soit A(x) = 0,02x + 20 ;
• offre B : sans abonnement, 0,06 € par Go, soit B(x) = 0,06x.

Les deux offres coûtent autant quand 0,02x + 20 = 0,06x, c'est-à-dire 0,04x = 20 et x = 500 Go. En dessous de 500 Go, l'offre B est moins chère ; au-dessus, l'offre A. Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

Fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

Une petite entreprise de dépannage informatique estime son bénéfice mensuel, en milliers d'euros, à f(x) = −2x² + 12x − 10, où x est le nombre de techniciens embauchés (de 0 à 6).

• Δ = 12² − 4 × (−2) × (−10) = 144 − 80 = 64, donc √Δ = 8.
• Racines : x₁ = (−12 − 8) / (−4) = 5 et x₂ = (−12 + 8) / (−4) = 1. Donc f(x) = −2(x − 1)(x − 5).
• Sommet : α = −12 / (2 × (−2)) = 3 et β = f(3) = −18 + 36 − 10 = 8.
• Signe : a = −2 < 0, donc f(x) est négatif à l'extérieur des racines et positif entre 1 et 5.

L'entreprise est bénéficiaire avec 2, 3 ou 4 techniciens (strictement entre 1 et 5), à l'équilibre avec 1 ou 5, et le bénéfice est maximal avec 3 techniciens : 8 000 €.

Fonction racine carrée et fonction inverse

La fonction racine carrée, x ↦ √x, est définie sur [0 ; +∞[ et croissante. Sa courbe part de l'origine et monte de moins en moins vite : √100 = 10, √10 000 = 100. Le temps de certains algorithmes et l'écart type d'une série statistique font intervenir des racines carrées.

La fonction inverse, x ↦ 1/x, est définie sur ℝ \ {0}. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[ ; sa courbe est une hyperbole en deux morceaux. Attention : elle n'est pas « décroissante sur ℝ \ {0} », puisque 1/(−1) = −1 est plus petit que 1/1 = 1.

La fonction inverse apparaît dès qu'on répartit un coût fixe. Une licence de supervision coûte 1 200 € par an, plus 3 € par poste supervisé. Pour n postes, le coût moyen par poste vaut :

CM(n) = (1200 + 3n) / n = 3 + 1200/n

CM(100) = 15 €, CM(400) = 6 €, CM(1200) = 4 € : plus il y a de postes, plus le coût fixe se dilue, et le coût moyen se rapproche de 3 € sans jamais l'atteindre. Le chapitre 7 traduit cette phrase en limite et en asymptote.

Ce qu'il faut retenir sur les fonctions de référence

Exercices