Chapitre 512 minIntermédiaire
Le logarithme népérien ln : définition et propriétés
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- passer de eʸ = x à y = ln x, et inversement ;
- transformer une expression avec les propriétés de ln ;
- dériver ln(u) et étudier une fonction qui contient ln ;
- résoudre une équation ou une inéquation dont l'inconnue est en exposant.
5 exercices corrigés1 schéma
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle : pour tout x > 0, ln x est l'unique nombre y tel que eʸ = x. Il transforme les produits en sommes (ln(ab) = ln a + ln b) et sert surtout à résoudre les équations dont l'inconnue est en exposant, comme e^(0,2t) = 3 ou 1,05ⁿ ≥ 2.
Définition : la réciproque de l'exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante et prend toutes les valeurs strictement positives. Pour chaque x > 0, il existe donc un seul y tel que eʸ = x : c'est ln x.
Retiens deux valeurs : ln 2 ≈ 0,693 et ln 10 ≈ 2,303. Elles servent dès qu'on passe à la base 2 ou à la base 10 (chapitre 6).
Les propriétés algébriques de ln
Chaque règle de l'exponentielle a sa jumelle pour le logarithme : là où exp transforme une somme en produit, ln transforme un produit en somme.
Exemples :
- ln 8 = ln(2³) = 3 ln 2 ;
- ln 50 − ln 2 = ln(50/2) = ln 25 = ln(5²) = 2 ln 5 ;
- ln(e³) − ln(√e) = 3 − ½ = 2,5.
Variations et courbe du logarithme
La courbe de ln est la symétrique de celle de exp par rapport à la droite y = x : le point (0 ; 1) de la courbe de exp devient le point (1 ; 0) de celle de ln, le point (1 ; e) devient (e ; 1). Le logarithme plonge vers −∞ quand x se rapproche de 0, et monte vers +∞ quand x grandit, mais très lentement : ln 1 000 ≈ 6,9, ln 1 000 000 ≈ 13,8. Multiplier x par 1 000 n'ajoute qu'environ 6,9 à ln x.
La dérivée de ln(u)
| Fonction | Valable pour | u′ | Dérivée |
|---|---|---|---|
| ln(2x + 1) | x > −0,5 | 2 | 2/(2x + 1) |
| ln(x² + 1) | tout x (x² + 1 > 0) | 2x | 2x/(x² + 1) |
| x ln x | x > 0 | — | ln x + x × (1/x) = ln x + 1 |
| (ln x)/x | x > 0 | — | ((1/x) × x − ln x × 1)/x² = (1 − ln x)/x² |
Les deux dernières lignes sont un produit et un quotient : on applique (uv)′ et (u/v)′ du chapitre 2, avec ln′ = 1/x.
Résoudre eˣ = k et ln x = k
Le logarithme « défait » l'exponentielle, et inversement :
- pour k > 0 : eˣ = k ⟺ x = ln k ; si k ≤ 0, l'équation n'a pas de solution, puisqu'une exponentielle est toujours positive ;
- pour tout réel k : ln x = k ⟺ x = eᵏ.
Pour les inéquations, on applique ln ou exp aux deux membres : ces fonctions sont croissantes, le sens de l'inégalité ne change pas.
- e^(0,2t) = 3 ⟺ 0,2t = ln 3 ⟺ t = ln 3 / 0,2 ≈ 5,49.
- ln(3x − 2) = 0 ⟺ 3x − 2 = e⁰ = 1 ⟺ x = 1 (et 3x − 2 > 0 est bien vérifié).
- e^(−0,5x) < 0,2 ⟺ −0,5x < ln 0,2 ⟺ x > −2 ln 0,2, soit x > 2 ln 5 ≈ 3,22. Le sens change à la dernière étape parce qu'on divise par −0,5, un nombre négatif, pas à cause du logarithme.
L'inconnue en exposant : calculer un seuil
Une question revient dans tous les problèmes de croissance : au bout de combien de temps une grandeur dépasse-t-elle un seuil ? Quand l'inconnue est en exposant, on applique ln aux deux membres et on utilise ln(qⁿ) = n ln q.
Une croissance. Un volume de données augmente de 5 % par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ? On cherche le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ ≥ 2.
1,05ⁿ ≥ 2 ⟺ n × ln 1,05 ≥ ln 2 ⟺ n ≥ ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2 (ln 1,05 > 0)
Le volume aura doublé au bout de 15 ans.
Une décroissance. Une probabilité est multipliée par 0,8 à chaque étape. À partir de quelle étape passe-t-elle sous 0,1 ? On cherche n tel que 0,8ⁿ ≤ 0,1.
0,8ⁿ ≤ 0,1 ⟺ n × ln 0,8 ≤ ln 0,1 ⟺ n ≥ ln 0,1 / ln 0,8 ≈ 10,3 (ln 0,8 < 0 : le sens change)
À partir de n = 11.
Avec les modèles du chapitre 4 :
- l'application atteint 5 000 utilisateurs quand 500 e^(0,2t) = 5 000, soit e^(0,2t) = 10, t = ln 10 / 0,2 ≈ 11,5 mois, donc au cours du douzième mois ;
- le serveur vaut moins de 1 000 € quand 8 000 e^(−0,4t) < 1 000, soit e^(−0,4t) < 0,125, −0,4t < ln 0,125 et t > ln 8 / 0,4 ≈ 5,2 ans.
Le cours sur les suites numériques pose la même question pour une suite géométrique : c'est le calcul d'un seuil, que l'on peut aussi trouver par un algorithme qui calcule les termes un par un.
Le temps de doublement
Pour prévoir la capacité d'un stockage ou d'un lien réseau, une question revient : en combien de temps la grandeur double-t-elle ? Pour f(t) = C e^(kt) avec k > 0, on cherche T tel que e^(kT) = 2 :
- L'application à 500 e^(0,2t) utilisateurs double tous les ln 2 / 0,2 ≈ 3,5 mois : 1 000 utilisateurs vers 3,5 mois, 2 000 vers 7 mois, 4 000 vers 10,4 mois.
- Un volume de données qui augmente de 5 % par an double en ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2 ans ; à 10 % par an, en ln 2 / ln 1,1 ≈ 7,3 ans.
Exercices
Exercice 1 sur 5 Calculer avec ln Réussi À revoir
Simplifie, sans calculatrice.
- ln 12 − ln 3
- ln(e³) + ln(1/e)
- e^(2 ln 3)
- ln 32 en fonction de ln 2
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- ln(12/3) = ln 4 = 2 ln 2.
- 3 + (−1) = 2.
- e^(2 ln 3) = e^(ln 9) = 9 (car 2 ln 3 = ln 3² = ln 9).
- ln 32 = ln(2⁵) = 5 ln 2.
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Exercice 2 sur 5 Résoudre Réussi À revoir
Résous dans ℝ, en donnant la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
- e^(2x) = 7
- ln(x − 1) = 2
- e^(x + 1) ≥ 3
- 3 e^(−0,1t) + 2 = 4
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
- 2x = ln 7, x = ln 7 / 2 ≈ 0,97.
- Condition : x > 1. x − 1 = e², x = 1 + e² ≈ 8,39, qui vérifie x > 1.
- x + 1 ≥ ln 3, x ≥ ln 3 − 1 ≈ 0,10.
- 3 e^(−0,1t) = 2, e^(−0,1t) = 2/3, −0,1t = ln(2/3), donc t = −10 ln(2/3) = 10 ln 1,5 ≈ 4,05.
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Exercice 3 sur 5 Étudier une fonction avec ln Réussi À revoir
Soit f(x) = x − 2 ln x sur ]0 ; +∞[.
- Calcule f′(x) et étudie son signe.
- Dresse le tableau de variation de f (sans les limites).
- Démontre que f(x) > 0 pour tout x > 0.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
- f′(x) = 1 − 2/x = (x − 2)/x. Sur ]0 ; +∞[, x > 0 : f′(x) a le signe de x − 2. Négatif sur ]0 ; 2[, nul en 2, positif sur ]2 ; +∞[.
- f est décroissante sur ]0 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[, avec un minimum f(2) = 2 − 2 ln 2 ≈ 0,61.
- Le minimum de f sur ]0 ; +∞[ vaut 2 − 2 ln 2 ≈ 0,61 > 0 (puisque ln 2 < 1). Toutes les valeurs de f sont supérieures ou égales à ce minimum : f(x) > 0 pour tout x > 0.
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Exercice 4 sur 5 Un abonnement qui augmente Réussi À revoir
Le prix d'un abonnement à un logiciel en ligne augmente de 3 % par mois. On cherche au bout de combien de mois il aura augmenté de 50 %.
- Écris l'inéquation à résoudre.
- Résous-la avec ln et conclus.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
- Le prix est multiplié par 1,03 chaque mois. On cherche le plus petit entier n tel que 1,03ⁿ ≥ 1,5.
- n ln 1,03 ≥ ln 1,5, et ln 1,03 > 0, donc n ≥ ln 1,5 / ln 1,03 ≈ 13,7. Le prix aura augmenté de 50 % au bout de 14 mois. Vérification : 1,03¹³ ≈ 1,469 et 1,03¹⁴ ≈ 1,513.
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Exercice 5 sur 5 Des journaux qui grossissent Réussi À revoir
Le volume des journaux conservés par un SIEM est modélisé par V(t) = 2 e^(0,35t), en téraoctets (To), t en années.
- Calcule V(3), arrondi au dixième.
- Calcule le temps de doublement du volume.
- Le stockage dédié fait 20 To. Au bout de combien de temps sera-t-il plein ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 5
- V(3) = 2 e^1,05 ≈ 5,7 To.
- T = ln 2 / 0,35 ≈ 1,98 an, soit un peu moins de deux ans.
- 2 e^(0,35t) = 20 ⟺ e^(0,35t) = 10 ⟺ t = ln 10 / 0,35 ≈ 6,58 ans. Le stockage sera plein au cours de la septième année : il faut prévoir l'extension, ou une durée de conservation plus courte, bien avant.
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