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Chapitre 1211 minIntermédiaire

Exercices corrigés type EF2 : fonctions et intégrales

Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .

À la fin de ce chapitre, tu sauras

  • dire ce que l'épreuve facultative EF2 demande en analyse ;
  • appliquer une méthode de rédaction à un problème d'étude de fonction ;
  • traiter des problèmes complets, de la dérivée à l'intégrale.

3 exercices corrigés

Ce chapitre rassemble trois problèmes de synthèse dans l'esprit de l'épreuve facultative EF2 « Mathématiques approfondies » : un contexte professionnel, une fonction à étudier, et des questions enchaînées qui mobilisent dérivée, exponentielle ou logarithme, limites, calculatrice et intégrale. Chaque corrigé est rédigé comme on l'attend sur une copie.

Ce que l'EF2 demande en analyse

L'EF2 est un écrit de 2 heures, noté sur 20, avec deux ou trois exercices qui couvrent une partie significative des modules d'analyse et des modules de probabilités et statistiques. Un exercice d'analyse y ressemble souvent à ceux de ce chapitre : une fonction issue d'une situation concrète, un tableau de variation, une équation à résoudre de façon approchée, une intégrale à interpréter. Le déroulement de l'épreuve est détaillé dans le cours sur l'épreuve de maths du BTS SIO.

Le référentiel liste ce qui est évalué : la maîtrise des connaissances du programme, la pertinence des sources d'information mobilisées, l'adaptation de la stratégie au problème et son efficacité, la rigueur dans l'utilisation des savoir-faire, la cohérence de l'argumentation, la rigueur et la pertinence dans l'analyse d'un résultat, et la qualité de la production écrite. Certaines formules de base peuvent être rappelées en tête du sujet. Autrement dit : un résultat juste mais non justifié, ou une valeur sans phrase d'interprétation, ne rapporte pas tous les points.

La méthode de rédaction

  1. Lis tout l'énoncé avant de commencer : les questions suivantes donnent souvent des indications sur les précédentes (« on admet que f′(x) = … »).
  2. Utilise les résultats donnés, même si tu n'as pas su les démontrer : un « on admet » ou un « montrer que » te donne la réponse à exploiter dans la suite.
  3. Écris les étapes : la formule de dérivation utilisée, la factorisation, le signe de chaque facteur.
  4. Distingue valeur exacte et valeur approchée : e⁻¹ est exact, 0,368 est approché ; garde l'exact jusqu'au bout, arrondis à la fin, comme demandé.
  5. Dis quand tu utilises la calculatrice et quelle fonction.
  6. Conclus en français avec l'unité, dans le vocabulaire du contexte : des requêtes par seconde, des euros, des kilowattheures.

Problème 1 : la charge d'un serveur web

Exercice 1 sur 3 Problème 1 : la charge d'un serveur après une campagne Réussi À revoir

Une entreprise envoie une campagne d'e-mails à ses clients. Le nombre de requêtes par seconde reçues par son serveur web, t heures après l'envoi, est modélisé par :

f(t) = 200t e^(−0,5t) + 50, pour t dans [0 ; 12].

Partie A : étude de la fonction

  1. Calcule f(0) et interprète.
  2. Montre que f′(t) = 100(2 − t)e^(−0,5t).
  3. Dresse le tableau de variation de f sur [0 ; 12], avec des valeurs arrondies à l'unité.
  4. À quel moment la charge est-elle maximale ? Que vaut-elle ?

Partie B : un seuil d'alerte

L'outil de supervision déclenche une alerte quand la charge dépasse 150 requêtes par seconde.

  1. Justifie que l'équation f(t) = 150 a exactement deux solutions α et β dans [0 ; 12], avec α < 2 < β.
  2. Donne des valeurs approchées de α et β au centième, à la calculatrice. Pendant combien de temps l'alerte reste-t-elle active ?

Partie C : la charge moyenne

  1. Vérifie que F(t) = −400(t + 2)e^(−0,5t) + 50t est une primitive de f sur [0 ; 12].
  2. Calcule la valeur exacte de ∫₀¹² f(t) dt, puis la charge moyenne sur les 12 heures, arrondie à l'unité.
  3. Combien de requêtes le serveur a-t-il reçues en tout pendant ces 12 heures (ordre de grandeur) ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
  1. f(0) = 0 + 50 = 50 : au moment de l'envoi, le serveur reçoit 50 requêtes par seconde, sa charge habituelle.
  2. On dérive le produit 200t × e^(−0,5t) avec u = 200t, v = e^(−0,5t), u′ = 200, v′ = −0,5e^(−0,5t) : f′(t) = 200e^(−0,5t) + 200t × (−0,5)e^(−0,5t) = (200 − 100t)e^(−0,5t) = 100(2 − t)e^(−0,5t). (La constante 50 a une dérivée nulle.)
  3. 100 > 0 et e^(−0,5t) > 0 : f′(t) a le signe de 2 − t, positif sur [0 ; 2[, nul en 2, négatif sur ]2 ; 12]. f(2) = 400e⁻¹ + 50 ≈ 197 ; f(12) = 2 400e⁻⁶ + 50 ≈ 56. f est croissante sur [0 ; 2], de 50 à environ 197, puis décroissante sur [2 ; 12], d'environ 197 à environ 56.
  4. La charge est maximale 2 heures après l'envoi : f(2) = 400e⁻¹ + 50 ≈ 197 requêtes par seconde.
  5. Sur [0 ; 2], f est continue et strictement croissante, de 50 à 400e⁻¹ + 50 ≈ 197 ; 150 est compris entre ces deux valeurs : l'équation a une seule solution α dans [0 ; 2]. Sur [2 ; 12], f est continue et strictement décroissante, d'environ 197 à environ 56 ; 150 est compris entre les deux : une seule solution β dans [2 ; 12]. Au total, exactement deux solutions.
  6. À la calculatrice (intersection de la courbe avec la droite y = 150) : α ≈ 0,71 et β ≈ 4,31. La charge dépasse 150 requêtes par seconde entre 0,71 h et 4,31 h après l'envoi : l'alerte reste active environ 3,6 heures, soit 3 h 36 min.
  7. On dérive F. Pour −400(t + 2)e^(−0,5t), produit avec u = −400(t + 2), v = e^(−0,5t), u′ = −400, v′ = −0,5e^(−0,5t) : −400e^(−0,5t) + (−400)(t + 2)(−0,5)e^(−0,5t) = (−400 + 200t + 400)e^(−0,5t) = 200t e^(−0,5t). En ajoutant la dérivée de 50t : F′(t) = 200t e^(−0,5t) + 50 = f(t). F est bien une primitive de f.
  8. ∫₀¹² f(t) dt = F(12) − F(0) = (−400 × 14 × e⁻⁶ + 600) − (−400 × 2 × 1 + 0) = 600 − 5 600e⁻⁶ + 800 = 1 400 − 5 600e⁻⁶ ≈ 1 386,1. Charge moyenne : (1/12) × (1 400 − 5 600e⁻⁶) ≈ 116 requêtes par seconde.
  9. L'intégrale est en « requêtes par seconde × heures » : on multiplie par 3 600 secondes par heure. 1 386,1 × 3 600 ≈ 4 990 000 : le serveur a reçu environ 5 millions de requêtes.

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Problème 2 : choisir un algorithme de tri

Exercice 2 sur 3 Problème 2 : deux algorithmes, un seuil Réussi À revoir

Une équipe compare deux algorithmes de tri sur des listes de n éléments. Des mesures donnent les temps d'exécution suivants, en microsecondes :

  • algorithme A (tri par insertion) : a(n) = 0,5n² ;
  • algorithme B (tri fusion) : b(n) = 20n log₂ n.

Partie A : une fonction auxiliaire

On considère h(x) = x − 40 log₂ x = x − 40 ln x / ln 2, pour x dans [2 ; 1 000].

  1. Montre que h′(x) = 1 − 40/(x ln 2), puis que h′(x) s'annule en x₀ = 40/ln 2. Donne une valeur approchée de x₀ au centième.
  2. Dresse le tableau de variation de h sur [2 ; 1 000], avec h(2), h(x₀) et h(1 000) arrondis à l'unité.
  3. Montre que l'équation h(x) = 0 a une unique solution β dans [2 ; 1 000]. Donne un encadrement de β entre deux entiers consécutifs.

Partie B : interprétation

  1. Montre que, pour n ≥ 2, b(n) < a(n) équivaut à h(n) > 0.
  2. À partir de quelle taille de liste l'algorithme B est-il le plus rapide ?
  3. Pour n = 10 000, calcule les deux temps et le rapport a(n)/b(n).
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
  1. La dérivée de ln x / ln 2 est 1/(x ln 2), donc h′(x) = 1 − 40/(x ln 2). h′(x) = 0 ⟺ x ln 2 = 40 ⟺ x₀ = 40/ln 2 ≈ 57,71.
  2. h′(x) = (x ln 2 − 40)/(x ln 2), du signe de x ln 2 − 40 puisque x ln 2 > 0 : négatif pour x < x₀, positif pour x > x₀. h(2) = 2 − 40 × 1 = −38 ; h(x₀) ≈ 57,71 − 40 × 5,851 ≈ −176 ; h(1 000) ≈ 1 000 − 40 × 9,966 ≈ 601. h décroît de −38 à environ −176 sur [2 ; x₀], puis croît d'environ −176 à environ 601 sur [x₀ ; 1 000].
  3. Sur [2 ; x₀], h est décroissante et h(2) = −38 < 0 : h(x) < 0, pas de solution. Sur [x₀ ; 1 000], h est continue, strictement croissante, de −176 à 601 : 0 est compris entre les deux, il y a une unique solution β. Au tableau de valeurs de la calculatrice : h(335) ≈ −0,52 < 0 et h(336) ≈ 0,31 > 0, donc 335 < β < 336.
  4. Pour n ≥ 2 : b(n) < a(n) ⟺ 20n log₂ n < 0,5n² ⟺ (en divisant par 0,5n > 0) 40 log₂ n < n ⟺ n − 40 log₂ n > 0 ⟺ h(n) > 0.
  5. D'après la question 3, h(n) > 0 pour n > β, c'est-à-dire pour n ≥ 336. En dessous de 336 éléments, le tri par insertion est plus rapide ; au-delà, le tri fusion l'emporte, et son avance grandit très vite.
  6. a(10 000) = 0,5 × 10⁸ = 5 × 10⁷ µs = 50 secondes. b(10 000) = 20 × 10 000 × log₂ 10 000 ≈ 200 000 × 13,29 ≈ 2,66 × 10⁶ µs ≈ 2,7 secondes. Rapport ≈ 50/2,66 ≈ 19 : sur 10 000 éléments, le tri fusion est près de 19 fois plus rapide. C'est la croissance comparée du chapitre 7 en action : n² finit toujours par dépasser n log₂ n.

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Problème 3 : l'énergie consommée par une salle serveurs

Exercice 3 sur 3 Problème 3 : puissance et énergie Réussi À revoir

Pendant une fenêtre de maintenance de 6 heures, la puissance électrique appelée par une baie de serveurs, en kilowatts, est modélisée par :

P(t) = 2 + 4t/(t² + 1), pour t dans [0 ; 6], t en heures.

  1. Montre que P′(t) = 4(1 − t²)/(t² + 1)². Déduis-en les variations de P sur [0 ; 6] et la puissance maximale.
  2. Pendant combien de temps la puissance dépasse-t-elle 3 kW ? (Résous l'inéquation P(t) > 3.)
  3. L'énergie consommée, en kilowattheures, est E = ∫₀⁶ P(t) dt. Calcule sa valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.
  4. Déduis-en la puissance moyenne pendant la fenêtre de maintenance.
  5. La méthode des trapèzes avec 6 tranches d'une heure donne environ 18,83 kWh. Calcule l'écart relatif avec la valeur exacte. Que proposerais-tu pour améliorer l'approximation ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
  1. Quotient avec u = 4t, v = t² + 1, u′ = 4, v′ = 2t : P′(t) = (4(t² + 1) − 4t × 2t)/(t² + 1)² = (4 − 4t²)/(t² + 1)² = 4(1 − t²)/(t² + 1)². Le dénominateur est positif ; sur [0 ; 6], 1 − t² = (1 − t)(1 + t) a le signe de 1 − t. P croît sur [0 ; 1], décroît sur [1 ; 6]. Puissance maximale : P(1) = 2 + 4/2 = 4 kW, une heure après le début. P(0) = 2 kW, P(6) = 2 + 24/37 ≈ 2,65 kW.
  2. P(t) > 3 ⟺ 4t/(t² + 1) > 1 ⟺ 4t > t² + 1 (car t² + 1 > 0) ⟺ t² − 4t + 1 < 0. Le trinôme a pour discriminant 16 − 4 = 12 et pour racines 2 − √3 ≈ 0,27 et 2 + √3 ≈ 3,73 ; il est négatif entre ses racines. La puissance dépasse 3 kW pendant (2 + √3) − (2 − √3) = 2√3 ≈ 3,46 heures, soit environ 3 h 28 min.
  3. Une primitive de 2 est 2t ; 4t/(t² + 1) = 2 × 2t/(t² + 1) est de la forme 2u′/u avec u = t² + 1 > 0, de primitive 2 ln(t² + 1). Donc : E = [2t + 2 ln(t² + 1)]₀⁶ = (12 + 2 ln 37) − (0 + 2 ln 1) = 12 + 2 ln 37 ≈ 19,22 kWh.
  4. Puissance moyenne : E/6 = (12 + 2 ln 37)/6 = 2 + (ln 37)/3 ≈ 3,20 kW.
  5. Écart : 19,22 − 18,83 = 0,39 kWh, soit un écart relatif de 0,39/19,22 ≈ 2 %. La méthode sous-estime l'énergie, surtout autour du pic où la courbe est bombée. Pour l'améliorer, on augmente le nombre de tranches : avec 12 tranches d'une demi-heure, on obtient environ 19,13 kWh, et l'écart tombe sous 0,5 %.

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Chapitre terminé !

Fais les 3 exercices avant de passer à la suite : c'est en t'entraînant que tout se fixe.

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